1.6—1.7 线段垂直平分线的性质 角平分线的性质 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（浙教版2024新教材）

1.6—1.7 线段垂直平分线的性质 角平分线的性质 一、线段垂直平分线的性质 1 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 2 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 3 判定定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4 作图方法：连接线段两个端点，并分别作它们的中垂线（即过中点且垂直于线段的直线），如果两条中垂线重合，则重合的直线就是线段的垂直平分线。 二、角平分线的性质 1 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 3 判定定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上。 4 作图方法：使用圆规和直尺，可以通过作图来找出角的平分线。具体方法包括在角的两边上分别截取相等的线段，然后连接这两个线段的端点，所形成的角的平分线即为所求。 巩固课内例1:尺规作垂直平分线 1．如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点．若的周长为，则的长为（    ） A．14 B．12 C．7 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，则，再结合的周长，得出，即可求解． 【详解】解：由作法可知，垂直平分， ， 的周长为， ， ， ， 故选：D 2．如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若的周长为18，的长为3，则的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，，根据的周长为18，推出，即可求出的周长． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，． 的周长为18， ， 的周长为． 故答案为：． 3．如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧，交于点，连接． (1)请用尺规作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)若交于点，连接，且，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）根据题意作线段的垂直平分线，即可求解； （2）根据作图可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据三角形的周长公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求． （2）解：因为以点为圆心，以为半径作弧，交于点，所以． 因为垂直平分，所以． 所以的周长为． 巩固课内例2:垂直平分线中的周长问题 1．如图，在中，，是AC的垂直平分线，的周长为，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质“垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”．根据线段垂直平分线的性质可得到，再根据的周长为22可得，进而求得的长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为22， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点D，E，若，则的周长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 利用线段垂直平分线的性质，得出相等的线段，然后利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别与交于点D，E， ∴， ∴的周长为， 故答案为：4． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 巩固课内例3:尺规作角平分线 1．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（   ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了作图﹣基本作图和角平分线的性质，过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 【详解】解：过F点作于H点，如图， ∵，， ∴， 由作图痕迹得平分， ∵，， ∴，即点F到的距离为4． 故选：B． 2．如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点D作于H，由作图方法可得平分，则由角平分线的性质得到，再由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可得平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点D到的距离是， 故答案为：3． 3．如图，在中，，是边上的高． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，若，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查作图-基本作图、直角三角形的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由题意得，，由角平分线的定义得，则． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：在中，，， ， 是的角平分线， ， 是边上的高， ， ． 巩固课内例4:角平分线的性质定理证边角相等 1．如图，和分别是的内角和外角的角平分线，，连接．以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； 过点D作于点，于点，于点，如图， ∵和分别是的内角和外角的角平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，符合题意； ∵和分别是的内角和外角的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 2．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④． 故答案为：①②④． 3．如图，在中，，平分，交于点．过点作于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由角平分线的性质得出，再由证，即可得出结论； （2）先由证，得出，结合（1）中进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，平分，，， ，． 在和中， ，，， （）． ． （2）解：在和中， ，， ． ． 类型一、垂直平分线的性质求解 1．如图，在中，，平分，垂直平分，，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质，由边的垂直平分线交于点D，得出，由平分得出，进一步求得即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，，，点C在的垂直平分线上．若，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 由，得到，点在的垂直平分线上，得到，即可得到结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， ， ． 故答案为：8． 3．如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)45° (3)点在边的垂直平分线上，见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 类型二、角平分线的性质求解 1．如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．35 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图所示，过点D作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接 与的角平分线交于点D， ， ∴ ∴， ， ∴， ∴点D到的距离为1， 故选：A． 2．如图，是的角平分线，于点，的面积是，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质， 过D作于F，根据角平分线的性质得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于F， 又是的角平分线，，， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， 故答案为∶6． 3．如图，在中，，平分，交于点D．若，，求的面积． 【答案】40 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，由于平分，所以点到距离相等， 即为边上的高，等于，由此可求面积． 【详解】解：过点作于点，即为边上的高，如图所示， ∵， ∴， 平分， ， 的面积为． 类型三、角平分线性质的依据 1．如图，按以下方法作一个角的平分线：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求．这种作图方法的依据是（   ） A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA 【答案】C 【分析】利用基本作图得到，，又因为为公共边，根据全等三角形的判定方法可证明． 【详解】解：由作法得，， 而又为公共边， 所以根据“”可判定， 所以，即平分． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了作图复杂作图，全等三角形的判定，角平分线，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 2．如下图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”这样说的依据是 ． 【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【分析】根据角的内部到角两边的距离相等的点在这个角平分线上，可得平分． 【详解】 解：如图，过点P作，，垂足分别为和， 两把完全相同的长方形直尺宽度相同， ， 平分． 故答案为：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，熟知角平分线的性质是解题的关键． 3．阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (2)相等 (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． （1）根据题意可直接进行作答； （2）结合（1）可得答案； （3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中， 依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； （2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等． 故答案为：相等； （3）∵，，，， ∴， ∴ ， 即的面积表示为． 类型一、垂直平分线的判定证明 1．如图，在中，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，角平分线的性质，先利用角平分线的性质可判定①，证明可判断②，利用线段的垂直平分线的判定可判定③④，从而可得答案. 【详解】解析：平分，，，、为垂足， ，故①正确； 平分， ， 在与中， ， ，故②正确； ，， 垂直平分，故③正确； 与，与不一定相等， 不一定垂直平分，故④错误； 综上所述，①②③共3个正确． 故答案为：B． 2．如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了垂直平分的判定，根据垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线，即， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 类型二、角平分线的判定证明 1．如图，在和中，，，．连接，交于点，连接．下列结论：①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；由证明得出，，②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质可得出，①正确；作于G，于H，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； 同时， 由三角形的外角性质得： ， ∴，故①正确； 作于G，于H，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴平分，故④正确； 假设平分，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 而，故③错误； 正确的结论是①②④， 故选：C． 2．如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据角平分线的定义及性质得，，，，继而得到，，，进一步证明平分，得，最后根据三角形外角的性质得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设， ∵平分，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在在的角平分线上，即平分， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作辅助线． 3．如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）如图：过点D作于点F，证明得到，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明得到，由（1）知，，得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：过点D作于点F， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的平分线上， ∴平分． （2）解：，理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． 类型三、角平分线中的面积问题 1．如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，由角平分线的性质推出，求出，由三角形的面积公式得到的面积的面积，得，即可求出． 【详解】解：如图，过作于， ∵是的平分线，， ∴， ∵是中线，，的面积是， ∴，的面积的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 2．如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可． 【详解】如下图，连接，过作于，于， 、分别平分和， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 的周长是， ， 故答案为：． 3．问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 【答案】（1）相等，理由见解析；（2）①3；②6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）①由角平分线的性质可得，求得，因此； ②根据角平分线的性质可得，再根据即可求出的长． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵平分，且，， ∴． （2）①∵是的角平分线，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：3． ②∵为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 解得． 类型一、双垂直平分模型 1．在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．14 D．10或14 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得：，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案．熟练掌握垂直平分线性质，数形结合，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：当点在点左侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 当点在点的右侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 综上所述，的周长为10或14， 故选：D． 2．如图，中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、、的周长为7，中边的长度是 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【详解】解：、分别为线段、的垂直平分线， ，， 的周长为7， ， ，即， 故答案为：7． 3．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 类型二、垂直平分线与角平分线结合求解 1．如图，锐角三角形中，直线l为的垂直平分线，直线m为的角平分线，l与m相交于P点，若，则的度数是（     ） A．31° B．22° C．43° D．32° 【答案】A 【分析】根据角平分线定义求出，根据线段的垂直平分线性质得出，求出，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】平分， ， 直线l是线段BC的垂直平分线， ， ， ， ， ， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出 是解此题的关键，数形结合思想的应用． 2．如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ． 【答案】 【分析】本题主要是全等三角形的判定与性质、角平分线的定义与垂直平分线的性质等等；连接，，证明推出，，证明，推出，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ，， ∵点D在的垂直平分线上， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ． 故答案为：． 3．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F． （1）求证：BE＝CF； （2）如果AB＝10，AC＝8，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）BE＝1. 【分析】（1）连接BD、CD，由垂直平分线的性质得出BD=CD，由角平分线的性质得出DE=DF，由HL证得Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得出结论； （2）由HL证得Rt△ADE≌Rt△ADF，得出AE=AF，则AB-BE=AC+CF，推出BE+CF=AB-AC=2，由BE=CF，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接BD、CD，如图所示： ∵BC的垂直平分线过点D， ∴BD＝CD， ∵点D是∠BAC的角平分线上的点，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE＝CF； （2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，  ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∴AB﹣BE＝AC+CF， ∴BE+CF＝AB﹣AC＝10﹣8＝2， ∵BE＝CF， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 类型三、最值问题 1．如图，在四边形中，，点是边上的动点，连接，若平分，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质定理、垂线段最短，过A作于，则的长为的最小值，根据角平分线的性质定理求得即可． 【详解】解：过A作于，则的长为的最小值， ∵平分，，，， ∴， 即的最小值为2， 故选：B． 2．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到周长，当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵垂直平分线段，是直线上的任意一点， ∴， ∵， ∴周长， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4， ∴周长的最小值为， 故答案为：6． 3． 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足为点C，，点P是直线上任意一点．    求证： 分析图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)以上是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在中，的垂直平分线交与点N，交于点M，连接，若，的周长是． ①求的长    ②点P是直线上一动点，在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时的周长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②图见解析，的周长最小值是 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）证明即可证明； （2）①根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式得到，再由，可得；②如图所示，连接，， 则当A、P、C三点共线，即点P与点M重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值为． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：①∵垂直平分， ∴． ∵的周长是， ∴ ∵， ∴； ②如图所示，连接， ∵的垂直平分线交与点N，交于点M， ∴， ∴的周长 ∴当A、P、C三点共线，即点P与点M重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值为．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.6—1.7 线段垂直平分线的性质 角平分线的性质 一、线段垂直平分线的性质 1 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 2 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 3 判定定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4 作图方法：连接线段两个端点，并分别作它们的中垂线（即过中点且垂直于线段的直线），如果两条中垂线重合，则重合的直线就是线段的垂直平分线。 二、角平分线的性质 1 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 3 判定定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上。 4 作图方法：使用圆规和直尺，可以通过作图来找出角的平分线。具体方法包括在角的两边上分别截取相等的线段，然后连接这两个线段的端点，所形成的角的平分线即为所求。 巩固课内例1:尺规作垂直平分线 1．如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点．若的周长为，则的长为（    ） A．14 B．12 C．7 D．6 2．如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若的周长为18，的长为3，则的周长为 ． 3．如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧，交于点，连接． (1)请用尺规作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)若交于点，连接，且，，求的周长． 巩固课内例2:垂直平分线中的周长问题 1．如图，在中，，是AC的垂直平分线，的周长为，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．14 D．16 2．如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点D，E，若，则的周长是 ． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 巩固课内例3:尺规作角平分线 1．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（   ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 2．如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ． 3．如图，在中，，是边上的高． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，若，求的度数． 巩固课内例4:角平分线的性质定理证边角相等 1．如图，和分别是的内角和外角的角平分线，，连接．以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 3．如图，在中，，平分，交于点．过点作于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型一、垂直平分线的性质求解 1．如图，在中，，平分，垂直平分，，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 2．如图，，，点C在的垂直平分线上．若，，则的长为 ． 3．如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 类型二、角平分线的性质求解 1．如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．35 2．如图，是的角平分线，于点，的面积是，，则的长是 ． 3．如图，在中，，平分，交于点D．若，，求的面积． 类型三、角平分线性质的依据 1．如图，按以下方法作一个角的平分线：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求．这种作图方法的依据是（   ） A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA 2．如下图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”这样说的依据是 ． 3．阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 类型一、垂直平分线的判定证明 1．如图，在中，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论 ． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 类型二、角平分线的判定证明 1．如图，在和中，，，．连接，交于点，连接．下列结论：①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为 ． 3．如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 类型三、角平分线中的面积问题 1．如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 3．问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 类型一、双垂直平分模型 1．在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．14 D．10或14 2．如图，中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、、的周长为7，中边的长度是 ． 3．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 类型二、垂直平分线与角平分线结合求解 1．如图，锐角三角形中，直线l为的垂直平分线，直线m为的角平分线，l与m相交于P点，若，则的度数是（     ） A．31° B．22° C．43° D．32° 2．如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ． 3．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F． （1）求证：BE＝CF； （2）如果AB＝10，AC＝8，求BE的长． 类型三、最值问题 1．如图，在四边形中，，点是边上的动点，连接，若平分，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 3． 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足为点C，，点P是直线上任意一点．    求证： 分析图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)以上是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在中，的垂直平分线交与点N，交于点M，连接，若，的周长是． ①求的长    ②点P是直线上一动点，在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时的周长；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$