1.4—1.5全等三角形 三角形全等的判定 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（浙教版2024新教材）

1.4—1.5全等三角形 三角形全等的判定 一、全等三角形的定义与性质 全等三角形是指两个能够完全重合的三角形。全等三角形的对应边相等，对应角也相等，面积也相等。 二、三角形全等的判定方法 1.SSS（边边边）判定：三边对应相等的两个三角形全等。 2.SAS（边角边）判定：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 3.ASA（角边角）判定：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 4.AAS（角角边）判定：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 巩固课内例1:写出全等三角形的对应边与对应角 1．如图，与全等．已知与是对应角，则对其余对应边或对应角判断错误的是（     ） A．对应边：与 B．对应边：与 C．对应角：与 D．对应角：与 2．如图所示，，和是对应角，和是对应边，那么剩下的对应角是 ，对应边是 ．    3．如图，已知，试找出对应边，对应角． 巩固课内例2:全等三角形的性质 1．已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，．点落在上，且．则 ． 3．如图，已知，，，，． (1)求的度数及的长； (2)与平行吗？说明理由． 巩固课内例3:全等三角形的判定证边角相等(SSS) 1．如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号） 3．如图，交于点O，，．求证：． 巩固课内例4:尺规作等角 1．如图， 点C在的边上， 用尺规作出了， 作图痕迹中， 弧是（    ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点E为圆心，为半径的弧 D．以点E为圆心，为半径的弧 2．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 3．如图，已知， (1)先用直尺在原图上画出的补角， (2)利用尺规作图，在指定框内作一个角等于（不写画法，但保留作图痕迹）． 巩固课内例5:尺规作平行线 1．数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图1，要过直线外一点作直线的平行线，用尺规作图的方法作出如图2的形式，则图2的作法中判定两直线平行的依据是 ． 3．作图题：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：直线，使得． 巩固课内例6:全等三角形的判定(SAS) 1．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件： ．（写出一种即可） 3．如图，已知， 点， ， ， 在一条直线上， ， ，． (1)试说明∶ ； (2)若， ， 求的长． 巩固课内例7:全等三角形的判定证边角相等(SAS) 1．如图，在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知，且，，，则的度数为 ． 3．如图，已知，．求证：． 巩固课内例8:全等三角形的判定(ASA) 1．如图，为了测量B点与河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是A、B两点间的距离，这里判定的理由是（   ） A． B． C． D． 2．如图，D在上，E在上，且，要说明． （1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ； （2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ． 3．如图，，，，点在边上，与相交于点． (1)试说明：． (2)若，，，求与的周长之和． 巩固课内例9:综合运用AAS和ASA证边角相等 1．如图，，，于点，于点D．下面四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．①③④ D．②③④ 2．如图，中，，的角平分线和的邻补角的角平分线相交于点，分别交和的延长线于．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确结论的序号是 ． 3．如图，已知点，分别在，上，，求证． 类型一、三角形的稳定性 1．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 2．如图，一扇窗户，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学依据是 ． 3．小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    类型二、全等图形的定义 1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有 组．    3．找出下列各组图中的全等图形． 类型三、全等的依据 1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外作出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 2．小明同学做了一只如图所示的风筝，其中将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道，他的依据是： ． 3．课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴___________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是___________．（填序号） ①；②；③；④ 类型四、卡钳问题 1．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 2．某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由： ．    3．实践与探究：测量距离． 活动1：工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．如图1，卡钳由两根钢条组成，O为、的中点．如果，那么______．其原理是运用三角形全等判定中的______．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：小聪设计了一种测量隔着池塘的两点A、B之间距离的方法.具体操作如下： ①如图2，将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部P处； ②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B； ③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点C； ④测量______的长即为A、B之间距离． 请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出A、B之间距离的道理． 类型五、玻璃块问题 1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 2．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 3．一块三角形玻璃被摔成三片（如图），只需带上其中的一片，玻璃店的师傅就能重新配一块与原来相同的三角形玻璃你知道应带哪一片碎玻璃吗？请说明理由． 类型六、测距问题 1．如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，已知垂直于河岸，先在上取点C，D，使 ，再过点D作的垂线段，使点A，C，E在同一条直线上，测出，，则的长是（   ） A． B．5 C．6 D．1 2．如图，小颖要测量池塘A，B两端的距离，她设计了一个测量方案：先在平地上取C，D两点，与相交于点O，且测得，，的周长为，则A，B两端的距离为 3．如图两点分别位于一个池塘的两端，在池塘旁边有一水房D，在的中点C处有一棵树，小红想测量间的距离．于是她从点A出发，沿走到点E（点A，C，E在同一条直线上），使，量出点E到水房D的距离就是两点之间的距离． (1)请说明小红这样做的理由并写出过程； (2)若，请确定线段的长度可能是____________（填序号）． ①       ②        ③       ④ 类型一、全等三角形的判定与性质(SSS) 1．如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（    ） A．边边边 B．边角边 C．角角边 D．角边角 2．如图，，，则的度数为 ． 3．综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 类型二、全等三角形的判定与性质(SAS) 1．如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，，，，，，则 ． 3．已知中，，，中，，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 类型三、全等三角形的判定与性质(AAS) 1．如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为2米和米，则F、E两点的高度差即的长为 米． 3．如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 类型四、全等三角形的判定与性质(ASA) 1．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ． 3．如图，在四边形中，，E为的中点，连结，延长交的延长线于点F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 类型一、特殊三角形的判定(SSA) 1．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（1）如图①，，请用圆规在的另一边找到点，使，这样的点有 个，说明符合条件的三角形有 种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形 全等； （2）如图②，已知是钝角三角形，若，且，则一定是 （填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 3．【问题呈现】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点C，使，这样的点C有____________个，说明符合条件的三角形有____________种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形____________全等； 【拓展思考】如图2，已知，若且，那么一定是____________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 类型二、全等三角形动点求t 1．如图，在中， ，，．点从点出发沿向点运动，点从点出发沿向点运动．点和点分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过点和点作于点，于点．设运动时间为，则当为（     ）时，与全等． A．1或12 B．1或 C．或12 D．1，或12 2．如图，与相交于点，，，．点和点同时出发，点以的速度从点出发，沿向运动，到位置后，立刻以相同的速度沿向运动；点从点出发，沿以的速度向运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．当三点在同一条直线上时，的值为 ． 3．在长方形中，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)点C在垂直平分线上时，求t的值； (2)当与全等时，求t的值； (3)当时，求t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4—1.5全等三角形 三角形全等的判定 一、全等三角形的定义与性质 全等三角形是指两个能够完全重合的三角形。全等三角形的对应边相等，对应角也相等，面积也相等。 二、三角形全等的判定方法 1.SSS（边边边）判定：三边对应相等的两个三角形全等。 2.SAS（边角边）判定：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 3.ASA（角边角）判定：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 4.AAS（角角边）判定：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 巩固课内例1:写出全等三角形的对应边与对应角 1．如图，与全等．已知与是对应角，则对其余对应边或对应角判断错误的是（     ） A．对应边：与 B．对应边：与 C．对应角：与 D．对应角：与 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，首先由点A和点B，点C和点D是对应顶点，可得与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边，即可解答． 【详解】解：∵与全等， ∴与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边， 与不是和的内角，故不是全等三角形的对应角， 故选：D． 2．如图所示，，和是对应角，和是对应边，那么剩下的对应角是 ，对应边是 ．    【答案】 和，和 和，和 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵，和是对应角，和是对应边， ∴对应边有：和，和，和； 对应角有：和，和，和． 故答案为：和，和；和，和． 3．如图，已知，试找出对应边，对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的相关概念．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：对应边是与，与，与． 对应角是与，与，与． 巩固课内例2:全等三角形的性质 1．已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形对应角相等，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题关键．根据全等三角形对应角相等可得，，然后利用三角形内角和定理计算出的度数可得答案． 【详解】解：, ，， , 故选：C． 2．如图，．点落在上，且．则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形的性质（对应角相等）、对顶角的性质（对顶角相等）及三角形内角和定理．解题的关键是通过全等三角形的对应角关系和对顶角相等，结合三角形内角和定理进行角的等量代换，推导目标角度． 设与交于点P，利用全等得，推出；由全等得，结合对顶角；利用三角形内角和定理证得，得出． 【详解】设与相交于点P， ∵ ∴，即， ∴，又 ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，已知，，，，． (1)求的度数及的长； (2)与平行吗？说明理由． 【答案】(1)，6 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）由全等得到，即可得到． 【详解】（1）， ，， 在中，， ， ， ； （2）， 理由：， ， ． 巩固课内例3:全等三角形的判定证边角相等(SSS) 1．如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质． 利用“”证，依据全等三角形对应角相等，得．分析线段关系，判断不成立．由全等得，进而推出．根据全等三角形面积相等，得，统计正确结论个数． 【详解】∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴①正确． ∵， ∴， ∴②正确． 由前面已证，仅根据已知条件无法得出， ∴③错误． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴④正确． 由于，根据全等三角形的性质：全等三角形面积相等， ∴， ∴⑤正确． 综上，①②④⑤正确，正确的个数是4个， 故选：B． 2．已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确，符合题意； ∵，， ∴垂直平分， 即，故②③正确，符合题意； ，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②③． 故答案为：3． 3．如图，交于点O，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可证明，继而利用全等性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， 在和中， ， ∴， ∴． 巩固课内例4:尺规作等角 1．如图， 点C在的边上， 用尺规作出了， 作图痕迹中， 弧是（    ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点E为圆心，为半径的弧 D．以点E为圆心，为半径的弧 【答案】D 【分析】本题主要考查作图尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．根据作一个角等于已知角的步骤即可得． 【详解】解：作图痕迹中，弧是以点E为圆心，为半径的弧． 故选：D． 2．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图的基本原理是解题的关键．本题可根据尺规作图的性质得出角的关系，再结合已知角度求出的度数． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，． 故答案为：． 3．如图，已知， (1)先用直尺在原图上画出的补角， (2)利用尺规作图，在指定框内作一个角等于（不写画法，但保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了补角的定义，作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）延长到C，则即为所求； （2）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，延长到C，则即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 巩固课内例5:尺规作平行线 1．数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查作图−−复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据作图步骤逐步分析即可． 【详解】解：步骤②应为：以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N． 故选B． 2．如图1，要过直线外一点作直线的平行线，用尺规作图的方法作出如图2的形式，则图2的作法中判定两直线平行的依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查作图—复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图像信息，掌握平行线的判定．根据同位角相等两直线平行，判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 3．作图题：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：直线，使得． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，平行线的判定定理，熟知尺规作图基本操作，并根据题意灵活应用是解题关键． 根据尺规作图作，且是的内错角，再作出直线，问题得解． 【详解】解：作图如图，直线，直线即为所求作的直线． 作法：（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点N，M，以点B为圆心，以为半径画弧，交于点E； （2）以点E为圆心，为半径画弧，交前弧于点D； （3）作直线，则直线． 证明：∵， ∴． 巩固课内例6:全等三角形的判定(SAS) 1．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 2．如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件： ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法： ． 由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要证明，还需要添加一个条件：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，已知， 点， ， ， 在一条直线上， ， ，． (1)试说明∶ ； (2)若， ， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、线段的和差等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）根据题意直接证明出； （2）根据，然后由得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ （2）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 巩固课内例7:全等三角形的判定证边角相等(SAS) 1．如图，在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：C． 2．如图，已知，且，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，先证明，得到，角的和差关系求出，8字型图，得到，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：在和中， ， ． ，， ， ． ， ， ． 故答案为：． 3．如图，已知，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的和差，先证明，得到，即可得出结论，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固课内例8:全等三角形的判定(ASA) 1．如图，为了测量B点与河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是A、B两点间的距离，这里判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据已知条件推出全等三角形的判定方法即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选C． 2．如图，D在上，E在上，且，要说明． （1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ； （2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理． （1）根据全等三角形的判定定理得出即可； （2）根据全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：（1）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：． 3．如图，，，，点在边上，与相交于点． (1)试说明：． (2)若，，，求与的周长之和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由得，进而由即可求证； （）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 巩固课内例9:综合运用AAS和ASA证边角相等 1．如图，，，于点，于点D．下面四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，对顶角的性质，三角形内角和定理及边角关系，首先由与中分别有两个直角及对顶角可判断①；证明可判断②④；再根据直角三角形中，斜边最长可判断③，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵于点，于点， ∵， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴，故②正确； ∴，， ∵在直角三角形中，斜边最长， ∴，， ∴，故③错误； ∵，， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②④， 故选：． 2．如图，中，，的角平分线和的邻补角的角平分线相交于点，分别交和的延长线于．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； ②证明得出，即可判断② ③根据，可得，然后求出，再根据等角对等边可得，再根据等腰直角三角形两腰相等可得，然后求出，根据直角三角形斜边大于直角边，，从而得出④错误； ④再利用角角边证明全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得解． 【详解】解：如图， ①∵是的外角， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中，， ，故①正确； ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 垂直平分；故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴不成立，故③错误， ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述①②④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．如图，已知点，分别在，上，，求证． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．由，，，根据“”证明，则． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 类型一、三角形的稳定性 1．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：构成，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 2．如图，一扇窗户，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学依据是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性这一基本性质即可求解，理解三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：一扇窗户，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 3．小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    【答案】作图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用这一特性即可解决问题．解题的关键是将七边形分成五个三角形． 【详解】解：如图所示（答案不唯一）．    类型二、全等图形的定义 1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 2．如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有 组．    【答案】3/三 【分析】本题考查了全等图形的知识．根据全等的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 【详解】解：根据全等的定义可知， 全等图形有：  和  ，  和  ，  和  ， ∴图中有3组全等的图形． 故答案为：3． 3．找出下列各组图中的全等图形． 【答案】（）③和④是全等形；（）①和④是全等形 【分析】本题考查了全等形的概念和性质，利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，据此即可判断求解，掌握全等形的概念和性质是解题的关键． 【详解】解：（）由图形可得，③和④是全等形； （）由图形可得，①和④是全等形． 类型三、全等的依据 1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外作出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：B． 2．小明同学做了一只如图所示的风筝，其中将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道，他的依据是： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题关键．直接利用全等三角形的判定方法得出，进而得出答案． 【详解】解：小明不用测量就能知道． 理由：在和中 ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴___________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是___________．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】(1)； (2)④． 【分析】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． （1 ）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得； （2 ）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 类型四、卡钳问题 1．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一，只需要测量易测量的边上，进而得出答案． 【详解】解：连接，，如图， 点分别是、的中点， ，， 在和中， ， ． ． 答：需要测量的长度，即为工件内槽宽． 其依据是根据证明； 故选：B． 2．某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由： ．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵，O是的中点， ∴， 在和中， ， ， 故选：． 3．实践与探究：测量距离． 活动1：工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．如图1，卡钳由两根钢条组成，O为、的中点．如果，那么______．其原理是运用三角形全等判定中的______．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：小聪设计了一种测量隔着池塘的两点A、B之间距离的方法.具体操作如下： ①如图2，将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部P处； ②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B； ③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点C； ④测量______的长即为A、B之间距离． 请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出A、B之间距离的道理． 【答案】活动1：18，；活动2：，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、对顶角相等. 活动1：由题意可得，，，再根据对顶角相等可得，即可利用“”证明，可得，即可求解； 活动2：由题意得，，，，利用“”证明，可得，即可求解． 【详解】解：活动1：∵O为、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：18，； 活动2：测量的长即为A、B之间距离，证明过程如下： 由题意得，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即测量的长即为A、B之间距离， 故答案为：． 类型五、玻璃块问题 1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角及其夹边，就可以确定一个三角形， 本题考查了全等三角形的判定方法：， 要求学生要对常用的几种方法熟练掌握 【详解】解：第③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的； 第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的； 第①块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃. 故选A． 2．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题是一道利用全等三角形解决实际问题的题目，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理； 利用三角形全等的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”，即可确定； 【详解】解：第③块玻璃含有两个角，能确定整块玻璃的形状．第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“”来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③． 3．一块三角形玻璃被摔成三片（如图），只需带上其中的一片，玻璃店的师傅就能重新配一块与原来相同的三角形玻璃你知道应带哪一片碎玻璃吗？请说明理由． 【答案】带③，见解析 【分析】根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，带③去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 故应带③． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 类型六、测距问题 1．如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，已知垂直于河岸，先在上取点C，D，使 ，再过点D作的垂线段，使点A，C，E在同一条直线上，测出，，则的长是（   ） A． B．5 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用． 由、均垂直于，即可得出，结合、，即可证出，由此即可得出，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，小颖要测量池塘A，B两端的距离，她设计了一个测量方案：先在平地上取C，D两点，与相交于点O，且测得，，的周长为，则A，B两端的距离为 【答案】40 【分析】证明，得到，由的周长为，可得，即，计算求出的长，进而可得结果． 本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【详解】解：，， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， 即 故答案为： 3．如图两点分别位于一个池塘的两端，在池塘旁边有一水房D，在的中点C处有一棵树，小红想测量间的距离．于是她从点A出发，沿走到点E（点A，C，E在同一条直线上），使，量出点E到水房D的距离就是两点之间的距离． (1)请说明小红这样做的理由并写出过程； (2)若，请确定线段的长度可能是____________（填序号）． ①       ②        ③       ④ 【答案】(1)见解析 (2)③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定（）与性质，以及三角形三边关系的应用，解题的关键是通过构造全等三角形将不可直接测量的距离转化为可测量的距离． （1）利用中点得到边相等，结合对顶角和已知边相等，用 证明三角形全等，进而说明线段相等． （2）根据中点得出相关线段长度，利用三角形三边关系确定对应边的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】（1）已知C是的中点，所以． 在和中：（小红操作使） （对顶角相等） （C 是 中点） ∴ ∴，即量出E到D的距离就是A到B的距离． （2）∵， ∴在中，三边之间满足关系式：， 即， ∴的长度在到之间，符合条件的是③． 故答案为：③． 类型一、全等三角形的判定与性质(SSS) 1．如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（    ） A．边边边 B．边角边 C．角角边 D．角边角 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质的应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 根据题中条件证出和全等,利用全等三角形的性质即可说明. 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴就是的平分线. 故选：A 2．如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据三边相等的两个三角形是全等三角形，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定； （1）证明，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的判定定理可得垂直平分，即可解答． 【详解】解（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ∵，， ∴， ∴， 即是的平分线； （2）∵， ∴点A，C均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵是垂直的， ∴是水平的． 类型二、全等三角形的判定与性质(SAS) 1．如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据得，进而依据“”判定和全等得，，，进而得选项B，，一定成立，对于选项A当时成立，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， 即， 在和中，， ， ，，， 故选项B，，一定成立，不符合题意， 当时，， 因此选项A不一定成立． 故选：A． 2．如图所示，，，，，，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 3．已知中，，，中，，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键． （1）由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，由三角形外角的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，，，， ∴， ； （2）证明：在和中，，，， ∴， ， 为、的外角， ， ， ． 类型三、全等三角形的判定与性质(AAS) 1．如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积及全等三角形的判定与性质，能根据全等三角形的判定与性质得出的长是解题的关键． 过点E作的垂线，垂足为M，根据全等三角形的判定与性质得出的长即可解决问题． 【详解】解：过点E作的垂线，垂足为M， ∵，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 2．如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为2米和米，则F、E两点的高度差即的长为 米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，得出，求出即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质． 先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． 在和中， ， ，． ， ． 类型四、全等三角形的判定与性质(ASA) 1．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 2．如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．延长交于点，根据题意，证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】解：如图所示，延长，交于点， ， ， ∵是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∵和同底等高， ， ， ， 故答案为： ． 3．如图，在四边形中，，E为的中点，连结，延长交的延长线于点F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)．见解析 (2)．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． (1)证明即可解决问题； (2)先证明，再证明即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ． E是的中点， ． 在和中， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知． ， ， 即． 在和中， ， ． 又， ，即． 类型一、特殊三角形的判定(SSA) 1．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定之边边角问题，边边角在某些情况下得到的图形是唯一的，而有些情况却有两种情况，解题关键是确定所得的图形是否只有一种画法，据此分别判断①②③即可． 【详解】解：如图，Q点位置有两个，故①错误； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故②正确； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故③正确； 故选：C ． 2．（1）如图①，，请用圆规在的另一边找到点，使，这样的点有 个，说明符合条件的三角形有 种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形 全等； （2）如图②，已知是钝角三角形，若，且，则一定是 （填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】 2 2 不一定 钝角 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）根据全等三角形的几种判定方法解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）如图，这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种； 我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等； 故答案为：2；2；不一定． （2）∵是钝角三角形，， ∴一定是钝角三角形； 故答案为：钝角． 3．【问题呈现】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点C，使，这样的点C有____________个，说明符合条件的三角形有____________种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形____________全等； 【拓展思考】如图2，已知，若且，那么一定是____________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】[问题探究]2，2，不一定；[拓展思考]钝角 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： [问题探究]根据全等三角形的几种判定方法解答即可；[拓展思考]根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：[问题探究] 如图，这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等； [拓展思考] ∵是钝角三角形，， ∴一定是钝角三角形； 故答案为：[问题探究]2，2，不一定；[拓展思考]钝角． 类型二、全等三角形动点求t 1．如图，在中， ，，．点从点出发沿向点运动，点从点出发沿向点运动．点和点分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过点和点作于点，于点．设运动时间为，则当为（     ）时，与全等． A．1或12 B．1或 C．或12 D．1，或12 【答案】D 【分析】根据题意化成5种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，解方程，熟练掌握判定定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点和点分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动． ∴，， ①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， 解得； ②如图2，P在上，Q在上， ∵由①知：， ∴， 解得； 此时， 即此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3， ∵由①知：， ∴， 解得； ④当Q到A点停止，P在上时，此时， 故时， 解得． ⑤P和Q都在上的情况不存在， 故选：D． 2．如图，与相交于点，，，．点和点同时出发，点以的速度从点出发，沿向运动，到位置后，立刻以相同的速度沿向运动；点从点出发，沿以的速度向运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．当三点在同一条直线上时，的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质构造一元一次方程，分类讨论是解题的关键． 先证明和全等得依题意得 根据点的运动速度和方向有以下两种情况：①当点从点向点运动时，依题意得 此时，当点，，三点在同一条直线上时，证明和全等得，则由此解得；②当点从点向点运动时，依题意得此时，当点，，三点在同一条直线上时，同理证明和全等得，则由此解得，综上所述即可得出答案． 【详解】解：， ，， 在和中， ，，， ， ， 点从点出发，沿以的速度向运动， ， 根据点的运动速度进而方向有以下两种情况： ①当点从点向点运动时， 依题意得： 此时， 当点，，三点在同一条直线上时， 在和中， ，，， ， ， ， 解得：； ②当点从点向点运动时， 依题意得：此时， 当点，，三点在同一条直线上时， 同理证明：， ， ， 解得：， 综上所述：当，，三点在同一条直线上时，的值为或． 故答案为：或． 3．在长方形中，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)点C在垂直平分线上时，求t的值； (2)当与全等时，求t的值； (3)当时，求t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用． （1）分C在垂直平分线上和P在线段延长线上两种情况求解即可； （2）分和两种情况求解即可； （3）分C在垂直平分线上和P在线段延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）C在垂直平分线上，则 P在线段BC上： 即 P在线段延长线上： 即 （2）①，即 ∴，但是此时： ②，即， ∴ （3）∵ ∴ P在线段上： ∴ P在线段延长线上： ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$