1.2.从立体图形到平面图形 预习 2025—2026学年北师大版数学七年级上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第一章 丰富的图形世界 2. 从立体图形到平面图形 知识点预习 一、立体图形的展开与折叠 1. 正方体展开图 11种基本展开图： "141型"（6种） "231型"（3种） "222型"（1种） "33型"（1种） 判断能否折叠成正方体：无重叠面，无缺失面；相对面不相邻（如"1"与"4"相对，课本图1-11）。 2. 棱柱展开图 结构特征：两个全等多边形底面（位置相对）；侧面为矩形（数量=底面边数），矩形长=底面边长，宽=棱柱高。 关键点：侧棱必须相等且平行；底面多边形需完全相同。 3. 曲面体展开图 几何体 展开图形状 关键关系 圆柱 矩形 + 两个圆 矩形长=底面圆周长，宽=高 圆锥 扇形 + 一个圆 扇形弧长=底面圆周长，半径=母线长 二、几何体的截面 4. 截面定义 用平面切割几何体所得的面（如切西瓜的切面）。 5. 常见截面形状 几何体 可能截面形状 特例 正方体 三角形、四边形、五边形、六边形 不可能：七边形 圆柱 圆、椭圆、矩形 平行底面切得圆 圆锥 圆、椭圆、抛物线、三角形 过顶点切得三角形 球 只能是圆形 三、三视图（从不同方向看） 6. 基本概念 主视图：从正面看到的形状； 左视图：从左面看到的形状； 俯视图：从上面看到的形状。 7. 作图规则 长对正：主、俯视图左右对齐； 高平齐：主、左视图上下对齐； 宽相等：俯、左视图前后距离相等。 8. 由视图还原几何体 步骤（如课本图1-23）：根据俯视图确定底层小立方块布局；结合主视图和左视图确定每列高度；验证三视图一致性。 四、总结： 立体与平面的转化是空间思维的核心，需掌握：二维→三维（折叠、视图还原）； 三维→二维（展开、截面、三视图）。 实际应用紧密联系科技（3D打印、CT扫描），体现数学建模价值 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．如图是由4个相同的正方体堆成的物体，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：俯视图为：． 故选：A． 2．如图是由正三棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：俯视图是： ， 故选：C． 3．榫卯（sǔnmǎo）结构是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，特点在于不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中凸出部分叫做榫，凹进部分叫做卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“榫”的左视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：“卯”的左视图是， 故选：B． 4．如图是由5个相同小立方体搭成的几何体，若将小立方体①放到小立方体②的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图不变，左视图、俯视图改变 B．左视图、俯视图不变，主视图改变 C．主视图、俯视图不变，左视图改变 D．主视图、俯视图、左视图都发生改变 【解答】解：根据图形可知，组合后的几何体左视图、俯视图不变，主视图改变． 故选：B． 5．如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（　　） A．核 B．心 C．数 D．养 【解答】解：在该正方体中，与“学”字相对的面所写的汉字是：心． 故选：B． 6．下面图形中，（　　）是圆柱的展开图． A． B． C． 【解答】解：由圆柱侧面展开图的长等于圆柱底面周长可知，选项C符合题意； 故选：C． 7．图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：看到的图形如下： 故选：C． 8．如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最大值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：根据展开图，1+4＝5，2+6＝8，3+5＝8， ∴相对两个面上的数字之和的最大值是8， 故选：D． 9．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【解答】解：根据由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示可得： ， 则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2＝7（个）． 故选：A． 10．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符， 只有B折叠后符合， 故选：B． 二、填空题预习（24分） 11．一个正方体的平面展开图如图所示，那么在原正方体上，与“中”字所在面相对的面上的汉字是 　精　 ． 【解答】解：根据正方体的平面展开图可知，与“中”字所在面相对的面上的汉字是精． 故答案为：精． 12．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体的名称是　三棱柱　 ． 【解答】解：由题意知，这个几何体的名称是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 13．一个半径为3cm，高为5cm的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是 　30πcm2　 ． 【解答】解：圆柱的侧面积为：2×3π×5＝30π（cm2）， 所以这个平行四边形的面积是30πcm2． 故答案为：30πcm2． 14．如图是一个长方体纸盒表面展开图，纸片厚度忽略不计，按图中数据，该长方体纸盒的容积为 　6　 ． 【解答】解：由图形知，长方体的长为3，宽为2，高为1， 则体积为3×2×1＝6， 故答案为：6． 15．用若干小立方块搭成一个几何体，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则最少需要　9　 个小正方体． 【解答】解：由从正面看和从上面看得到的图形可知：所需正方体数最少时，第1列只需要1个小正方体位置为2个，其余为1个；第2列只需要1个小正方体位置为3个，其余为1个，第3列为1个，可为如图所示： ∴至少需要：1+1+2+3+1+1＝9个小立方块． 故答案为：9． 16．如图，已知正方形ABCD的边长为3，将这个正方形绕它的边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是　18　 ． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3， ∴直线AB为轴，将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6， 从几何体的左面看到的图形是长为6，宽为3的长方形， ∴从左面看所得几何体，得到的形状图的面积＝6×3＝18， 故答案为：18． 三、解答题预习（46分） 17．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【解答】解：根据图中所示的小正方体的个数可得： 18．如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为8m，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为9m，粮仓下半部分高为6m，观察并回答下列问题： （1）粮仓是由两个几何体组成的，它们的名称分别是 　圆锥　 、　圆柱　 ． （2）用一个平面去截粮仓，截面可能是 　圆（答案不唯一）　 （写出一个即可）； （3）将下面的图形分别绕虚线旋转一周，　D　 （填字母）能形成粮仓； （4）求出该粮仓的容积（计算结果保留π）． 【解答】解：（1）图形的上部是一个圆锥，下部是圆柱， 故答案为：圆锥、圆柱； （2）用一个平面去截粮仓，可以得到一个圆， 故答案为：圆（答案不唯一）； （3）直角三角形按直角边旋转得到圆锥，矩形旋转得到圆柱， 故选：D； （4）由题意可得：． 19．如图，是由10个大小相同的小正方体块搭建的几何体． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加　4　 个小正方体． 【解答】解：（1）三视图如图所示． （2）如图，添加小正方体的个数为4个． 故答案为：4． 20．如图所示是一个几何体的表面展开图． （1）求该几何体的表面积（结果保留π）． （2）求该几何体的体积（结果保留π）． （3）和这个圆柱等底等高的圆锥体积是　　 ． 【解答】解：（1）该几何体的名称是圆柱， 故该几何体的表面积为：2π×22+5×4π＝28π； （2）该几何体的体积为：π×22×5＝20π； （3）和这个圆柱等底等高的圆锥体积是． 故答案为：． 21．在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题． （1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； （2）长方体共有 　12　 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开 　7　 条棱； （3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 【解答】解：（1）有多余块， ； （2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱； （3）底面正方形边长：12÷4＝3（cm）， 长方体高：17﹣3×3＝8（cm）， 长方体体积为：3×3×8＝72（cm3）， 答：修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为72cm3． 22．有一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． （1）图2给出的四种纸样A、B、C、D，正确的有　A、C　 ；（写出所有正确答案） （2）求包装盒的体积和表面积（侧面积与两个底面积的和）． 【解答】解：（1）根据长方体的展开图可知，正确的有A、C， 故答案为：A、C； （2）包装盒的体积为：12×6×20＝72×20＝1440（cm3）， 表面积为：2×（12×6+6×20+12×20） ＝2×（72+120+240） ＝2×（72+120+240） ＝2×432 ＝864（cm2）， 答：包装盒的体积为1440cm3，表面积为864cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第一章 丰富的图形世界 2. 从立体图形到平面图形 知识点预习 一、立体图形的展开与折叠 1. 正方体展开图 11种基本展开图： "141型"（6种） "231型"（3种） "222型"（1种） "33型"（1种） 判断能否折叠成正方体：无重叠面，无缺失面；相对面不相邻（如"1"与"4"相对，课本图1-11）。 2. 棱柱展开图 结构特征：两个全等多边形底面（位置相对）；侧面为矩形（数量=底面边数），矩形长=底面边长，宽=棱柱高。 关键点：侧棱必须相等且平行；底面多边形需完全相同。 3. 曲面体展开图 几何体 展开图形状 关键关系 圆柱 矩形 + 两个圆 矩形长=底面圆周长，宽=高 圆锥 扇形 + 一个圆 扇形弧长=底面圆周长，半径=母线长 二、几何体的截面 4. 截面定义 用平面切割几何体所得的面（如切西瓜的切面）。 5. 常见截面形状 几何体 可能截面形状 特例 正方体 三角形、四边形、五边形、六边形 不可能：七边形 圆柱 圆、椭圆、矩形 平行底面切得圆 圆锥 圆、椭圆、抛物线、三角形 过顶点切得三角形 球 只能是圆形 三、三视图（从不同方向看） 6. 基本概念 主视图：从正面看到的形状； 左视图：从左面看到的形状； 俯视图：从上面看到的形状。 7. 作图规则 长对正：主、俯视图左右对齐； 高平齐：主、左视图上下对齐； 宽相等：俯、左视图前后距离相等。 8. 由视图还原几何体 步骤（如课本图1-23）：根据俯视图确定底层小立方块布局；结合主视图和左视图确定每列高度；验证三视图一致性。 四、总结： 立体与平面的转化是空间思维的核心，需掌握：二维→三维（折叠、视图还原）； 三维→二维（展开、截面、三视图）。 实际应用紧密联系科技（3D打印、CT扫描），体现数学建模价值 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．如图是由4个相同的正方体堆成的物体，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．如图是由正三棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．榫卯（sǔnmǎo）结构是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，特点在于不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中凸出部分叫做榫，凹进部分叫做卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“榫”的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．如图是由5个相同小立方体搭成的几何体，若将小立方体①放到小立方体②的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图不变，左视图、俯视图改变 B．左视图、俯视图不变，主视图改变 C．主视图、俯视图不变，左视图改变 D．主视图、俯视图、左视图都发生改变 5．如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（　　） A．核 B．心 C．数 D．养 6．下面图形中，（　　）是圆柱的展开图． A． B． C． 7．图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（　　） A． B． C． D． 8．如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最大值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 10．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 二、填空题预习（24分） 11．一个正方体的平面展开图如图所示，那么在原正方体上，与“中”字所在面相对的面上的汉字是 　 　 ． 12．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体的名称是　 　 ． 13．一个半径为3cm，高为5cm的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是 　 　 ． 14．如图是一个长方体纸盒表面展开图，纸片厚度忽略不计，按图中数据，该长方体纸盒的容积为 　 　 ． 15．用若干小立方块搭成一个几何体，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则最少需要　 　 个小正方体． 16．如图，已知正方形ABCD的边长为3，将这个正方形绕它的边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 18．如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为8m，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为9m，粮仓下半部分高为6m，观察并回答下列问题： （1）粮仓是由两个几何体组成的，它们的名称分别是 　 　 、　 　 ． （2）用一个平面去截粮仓，截面可能是 　 　 （写出一个即可）； （3）将下面的图形分别绕虚线旋转一周，　 　 （填字母）能形成粮仓； （4）求出该粮仓的容积（计算结果保留π）． 19．如图，是由10个大小相同的小正方体块搭建的几何体． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加　 　 个小正方体． 20．如图所示是一个几何体的表面展开图． （1）求该几何体的表面积（结果保留π）． （2）求该几何体的体积（结果保留π）． （3）和这个圆柱等底等高的圆锥体积是　 　 ． 21．在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题． （1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； （2）长方体共有 　 　 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开 　 　 条棱； （3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 22．有一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． （1）图2给出的四种纸样A、B、C、D，正确的有　 　 ；（写出所有正确答案） （2）求包装盒的体积和表面积（侧面积与两个底面积的和）． 学科网（北京）股份有限公司 $$