2.2.有理数的加减运算 预习 2025—2026学年北师大版数学七年级上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第二章 有理数及其运算 2. 有理数的加减运算 知识点预习 一、有理数加法法则 1. 加法规则 情形 计算步骤 示例 同号相加 取相同符号，绝对值相加 (-3) + (-2) = -5 异号相加 取绝对值较大数的符号，大绝对值减小绝对值 (-5) + 3 = -2 互为相反数 和为0 4 + (-4) = 0 与0相加 结果等于原数 0 + (-7) = -7 2. 加法运算律 交换律：a + b = b + a 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 应用：简化计算（如正负数分组） 例：31 + (-28) + 28 + 69 = (31+69) + [(-28)+28] = 100 + 0 = 100 二、有理数减法法则 3. 核心规则 减一个数 = 加它的相反数： 本质：减法统一为加法运算。 4. 计算步骤 将减号改为加号；取减数的相反数；按加法法则计算。 例：9 - (-5) = 9 + 5 = 14；(-3) - 1 = (-3) + (-1) = -4 三、加减混合运算 5. 统一成加法 将算式中的减法全部转化为加法；省略加号和括号，写成代数和形式。 例：4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4 = 4.5 + (-3.2) + 1.1 + (-1.4) 6. 简便运算技巧 同号结合：正数与正数、负数与负数分组计算； 凑整结合：凑整十、整百的数优先结合； 相反数结合：互为相反数的数配对消去。 例：(-12) + 34 + (-38) + 66 = [(-12) + (-38)] + (34 + 66) = (-50) + 100 = 50 四、总结 减法转化是核心：； 混合运算三步法：一化减为加、二省略括号、三巧用运算律； 实际应用需建模：用正负数表示相反意义的量，累加求变化结果。 学习建议：多练生活场景题（如记账、温度记录），强化符号意识！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．一天早晨的气温为﹣3℃，中午上升了5℃，则中午的气温为（　　） A．﹣2℃ B．2℃ C．5℃ D．8℃ 【解答】解：根据题意得中午的气温为﹣3+5＝2（℃）， 故选：B． 2．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．﹣6+3＝9 B．﹣6﹣3＝﹣3 C．﹣6+3＝﹣3 D．﹣6+3＝3 【解答】解：由题意可知：﹣6+3＝﹣3， 故选：C． 3．计算：1﹣2+3﹣4+…﹣10＝（　　） A．5 B．﹣5 C．55 D．﹣55 【解答】解：原题为：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10 ＝﹣5， ∴B选项正确． 故选：B． 4．根据有理数加法法则，计算2+（﹣5）过程正确的是（　　） A．+（2+5） B．﹣（5﹣2） C．﹣（2+5） D．+（5﹣2） 【解答】解：2+（﹣5） ＝﹣（5﹣2） ＝﹣3， ∴计算2+（﹣5）过程正确的是：﹣（5﹣2）， 故选：B． 5．把﹣7+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略加号的和的形式，正确的是（　　） A．﹣7+5+2 B．﹣7﹣5+2 C．﹣7+5﹣2 D．﹣7﹣5﹣2 【解答】解：原式＝﹣7+（﹣5）+（+2）＝﹣7﹣5+2， 故选：B． 6．某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c和a的值分别为（　　） A．7，4 B．8，5 C．9，5 D．8，4 【解答】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为m，则m＝5（a+b+c）， ∵四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4， ∴m＝21+6+9+4＝40， ∴5（a+b+c）＝40， 解得a+b+c＝8， ∵a＞b＞c，a，b，c均为正整数， ∴当c＝1时，b＝2，则a＝5， 当c＝1时，b＝3，则a＝4， 此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为20＜21分，不符合题意，舍去； 当c＝2时，b＝3，则a＝3，不满足a＞b，舍去； 当c＝3时，b＝4，则a＝1，不满足a＞b，舍去， 综上所述，a+b+c＝8，a＝5，b＝2，c＝1． 故选：B． 7．在|x+y|，|x﹣y|，|x﹣z|，|y+z﹣3|四个数中，（　　） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另外两个数之和 C．至少有一个数不小于1 D．至少有一个数不大于3 【解答】解：当x＝y＝z＝0时，|x+y|＝|x﹣y|＝|x﹣z|＝0，故选项A错误； 令y＝0，2x＝z，则|x+y|＝|x﹣y|＝|x﹣z|＝|x|，|y+z﹣3|＝|2x﹣3|，若x＝2x﹣3，即x＝3，此时四个数相同，故选项B错误； 取x＝8，y＝﹣1，z＝4，则|x+y|＝7，|x﹣y|＝9，|x﹣z|＝4，|y+z﹣3|＝9，故选项C错误； 记M为四个书中最大的数， 当xy≥0时，|x+y|＝|x|+|y|≥|x﹣y|， 故M＝max{|x+y|，|x﹣z|，|y+z﹣3|}1， 当xy＜0时，|x+y|＜|x﹣y|， 不妨设x＜0，y＞0，则只需要考虑0＜y＜1且z＜1的情况， 此时y+z＜2，故|y+z﹣3|＞1，故当xy＜0时，M＞1， 综上所述，M≥1，D正确． 故选：D． 8．手机支付给生活带来便捷．如表是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（　　） 微信红包—— 来自李某某+26.00 某平台商户﹣7.00 扫二维码付给某店﹣15.00 A．收入4元 B．支出2元 C．支出6元 D．支出9元 【解答】解：根据表格列算式可得：26﹣7﹣15＝4（元）， 即王老师当天微信收支的最终结果是收入4元． 故选：A． 9．如图为某国预估50年后的人口变动数直方图，各组的数值若为正数表示该组人口50年后会增加，若为负数表示该组人口50年后会减少．根据此图预估该国60岁以上的人口，50年后会增加或减少多少人？（　　） A．增加207万人 B．增加425万人 C．减少109万人 D．减少271万人 【解答】解：由直方图可得：112+204﹣109＝207（万人）． 故选：A． 10．若|m|＝9，|n|＝2，且m+n＜0，则m+n的值为（　　） A．7或﹣7 B．﹣7或﹣11 C．11 D．7 【解答】解：由条件可知m＝﹣9，n＝﹣2或m＝﹣9，n＝2， ∴当m＝﹣9，n＝﹣2时，m+n＝﹣9+（﹣2）＝﹣11； 当m＝﹣9，n＝2时，m+n＝﹣9+2＝﹣7． 故选：B． 二、填空题预习（24分） 11．某地2025年3月19日的天气预报为﹣7℃∼5℃，则这天该地的温差是　12　 ℃． 【解答】解：5﹣（﹣7）＝12（℃），故答案为：12． 12．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，如图所示的“九宫图”中，每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则图中m﹣n的值为　﹣6　 ． 【解答】解：根据题意得，3+1+m＝n+1+（﹣3）， ∴m﹣n＝1+（﹣3）﹣3﹣1＝﹣6， 故答案为：﹣6． 13．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是+21﹣32＝﹣11的计算过程，则图2表示的算式是　﹣13+23＝10　 ． 【解答】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， ∴图中表示的计算过程为﹣13+23＝10． 故答案为：﹣13+23＝10． 14．已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1且a＜b＜c，求a+b+c的值为 　﹣6或﹣4　 ． 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1， ∴a＝±3，b＝±2，c＝±1， ∵a＜b＜c， ∴a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1或1， ∴a+b+c＝﹣3﹣2﹣1＝﹣6或a+b+c＝﹣3﹣2+1＝﹣4， 故答案为：﹣6或﹣4． 15．计算：1﹣（+2）+3﹣（+4）+5﹣（+6）…+2015﹣（+2016）＝　﹣1008　 ． 【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+…+（2015﹣2016） ＝﹣1+（﹣1）+…（﹣1） ＝﹣1008 故答案为：﹣1008 16．初三年级收到一批书籍放在图书馆，现需要把这批书籍整理到各班班级书架上，需要进行以下四个步骤：运回书籍、擦书架、查损坏、贴书签，志愿者分为甲、乙、丙三个小组完成任务，任务要求如下： ①运回书籍只能由甲小组完成，运回书籍完成后，才能进行其他三个步骤，这三个步骤可由任意小组完成并可同时进行． ②一个步骤只能由一个小组完成，此步骤完成后该小组才能进行其他步骤． ③每个班级每个步骤所需时间如表所示： 步骤 运回书籍 擦书架 查损坏 贴标签 所需时间/分 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲小组单独完成1个班级的整理任务，则需要　26　 分钟；若由甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要　43　 分钟． 【解答】在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成1个班级的整理任务，所需时间为：9+7+6+4＝26（分钟）；若由甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，甲完成4个班级“运回书籍”需36分钟，甲完成1个班级“运回书籍”需9分钟， 随后乙、丙进行其他三个步骤，可完成4个班级擦书架、查损坏的工作，其中一人完成4个班级擦书架需28分钟，可再完成2个班级贴标签的工作，一人完成4个班级查损坏需24分钟，也可再完成2个班级贴标签的工作，所以若由甲、乙、丙合作完成四个班级的整理任务，则最少需要36+7＝43分钟：故答案为：26，43． 三、解答题预习（46分） 17．计算：（﹣12）﹣（﹣17）+（﹣10）﹣9． 【解答】解：原式＝（﹣12）+17+（﹣10）+（﹣9） ＝（﹣12﹣10﹣9）+17 ＝﹣31+17 ＝﹣14． 18．计算：． 【解答】解：原式 ＝（﹣8）+6 ＝﹣2． 19．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝﹣3+5 ＝2． 20．一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶．某一天早晨从A地出发，晚上到达B地．约定向北为正，向南为负，当天记录如下：（单位：千米）﹣18.3，﹣9.5，+7.1，﹣14，﹣6.2，+13，﹣6.8，﹣8.5 （1）问B地在A地何处，相距多少千米？ （2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 【解答】解：（1）﹣18.3﹣9.5+7.1﹣14﹣6.2+13﹣6.8﹣8.5＝﹣43.2（千米）， 所以B在A地正南方向，相距43.2千米； （2）18.3+9.5+7.1+14+6.2+13+6.8+8.5＝83.4（千米）， 83.4×0.2＝16.68（升）， 答：一共耗油16.68升． 21．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【解答】解： ＝1+（﹣2） ＝﹣1 22．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家购置了一辆续航为550km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km ﹣8 ﹣12 ﹣17 +21 +19 +27 +33 （1）这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶　50　 km； （2）小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少km？ （3）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【解答】解：（1）由表格可知最多的一天为第七天，最少的一天为第三天， 最多的一天比最少的一天多行驶33﹣（﹣17）＝50km； 故答案为：50； （2）（﹣8﹣12﹣17+21+19+27+33）+50×7＝413km， 答：小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了413km； （3）剩余续航里程所占百分比与15%比较可得： ， 所以行车电脑不会发出充电提示． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第二章 有理数及其运算 2. 有理数的加减运算 知识点预习 一、有理数加法法则 1. 加法规则 情形 计算步骤 示例 同号相加 取相同符号，绝对值相加 (-3) + (-2) = -5 异号相加 取绝对值较大数的符号，大绝对值减小绝对值 (-5) + 3 = -2 互为相反数 和为0 4 + (-4) = 0 与0相加 结果等于原数 0 + (-7) = -7 2. 加法运算律 交换律：a + b = b + a 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 应用：简化计算（如正负数分组） 例：31 + (-28) + 28 + 69 = (31+69) + [(-28)+28] = 100 + 0 = 100 二、有理数减法法则 3. 核心规则 减一个数 = 加它的相反数： 本质：减法统一为加法运算。 4. 计算步骤 将减号改为加号；取减数的相反数；按加法法则计算。 例：9 - (-5) = 9 + 5 = 14；(-3) - 1 = (-3) + (-1) = -4 三、加减混合运算 5. 统一成加法 将算式中的减法全部转化为加法；省略加号和括号，写成代数和形式。 例：4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4 = 4.5 + (-3.2) + 1.1 + (-1.4) 6. 简便运算技巧 同号结合：正数与正数、负数与负数分组计算； 凑整结合：凑整十、整百的数优先结合； 相反数结合：互为相反数的数配对消去。 例：(-12) + 34 + (-38) + 66 = [(-12) + (-38)] + (34 + 66) = (-50) + 100 = 50 四、总结 减法转化是核心：； 混合运算三步法：一化减为加、二省略括号、三巧用运算律； 实际应用需建模：用正负数表示相反意义的量，累加求变化结果。 学习建议：多练生活场景题（如记账、温度记录），强化符号意识！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．一天早晨的气温为﹣3℃，中午上升了5℃，则中午的气温为（　　） A．﹣2℃ B．2℃ C．5℃ D．8℃ 2．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．﹣6+3＝9 B．﹣6﹣3＝﹣3 C．﹣6+3＝﹣3 D．﹣6+3＝3 3．计算：1﹣2+3﹣4+…﹣10＝（　　） A．5 B．﹣5 C．55 D．﹣55 4．根据有理数加法法则，计算2+（﹣5）过程正确的是（　　） A．+（2+5） B．﹣（5﹣2） C．﹣（2+5） D．+（5﹣2） 5．把﹣7+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略加号的和的形式，正确的是（　　） A．﹣7+5+2 B．﹣7﹣5+2 C．﹣7+5﹣2 D．﹣7﹣5﹣2 6．某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c和a的值分别为（　　） A．7，4 B．8，5 C．9，5 D．8，4 7．在|x+y|，|x﹣y|，|x﹣z|，|y+z﹣3|四个数中，（　　） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另外两个数之和 C．至少有一个数不小于1 D．至少有一个数不大于3 8．手机支付给生活带来便捷．如表是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（　　） 微信红包—— 来自李某某+26.00 某平台商户﹣7.00 扫二维码付给某店﹣15.00 A．收入4元 B．支出2元 C．支出6元 D．支出9元 9．如图为某国预估50年后的人口变动数直方图，各组的数值若为正数表示该组人口50年后会增加，若为负数表示该组人口50年后会减少．根据此图预估该国60岁以上的人口，50年后会增加或减少多少人？（　　） A．增加207万人 B．增加425万人 C．减少109万人 D．减少271万人 10．若|m|＝9，|n|＝2，且m+n＜0，则m+n的值为（　　） A．7或﹣7 B．﹣7或﹣11 C．11 D．7 二、填空题预习（24分） 11．某地2025年3月19日的天气预报为﹣7℃∼5℃，则这天该地的温差是　　 ℃． 12．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，如图所示的“九宫图”中，每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则图中m﹣n的值为　　 ． 13．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是+21﹣32＝﹣11的计算过程，则图2表示的算式是　　 ． 14．已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1且a＜b＜c，求a+b+c的值为 　　 ． 15．计算：1﹣（+2）+3﹣（+4）+5﹣（+6）…+2015﹣（+2016）＝　　 ． 16．初三年级收到一批书籍放在图书馆，现需要把这批书籍整理到各班班级书架上，需要进行以下四个步骤：运回书籍、擦书架、查损坏、贴书签，志愿者分为甲、乙、丙三个小组完成任务，任务要求如下： ①运回书籍只能由甲小组完成，运回书籍完成后，才能进行其他三个步骤，这三个步骤可由任意小组完成并可同时进行． ②一个步骤只能由一个小组完成，此步骤完成后该小组才能进行其他步骤． ③每个班级每个步骤所需时间如表所示： 步骤 运回书籍 擦书架 查损坏 贴标签 所需时间/分 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲小组单独完成1个班级的整理任务，则需要　　 分钟；若由甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要　　 分钟． 三、解答题预习（46分） 17．计算：（﹣12）﹣（﹣17）+（﹣10）﹣9． 18．计算：． 19．计算： （1）； （2）． 20．一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶．某一天早晨从A地出发，晚上到达B地．约定向北为正，向南为负，当天记录如下：（单位：千米）﹣18.3，﹣9.5，+7.1，﹣14，﹣6.2，+13，﹣6.8，﹣8.5 （1）问B地在A地何处，相距多少千米？ （2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 21．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 22．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家购置了一辆续航为550km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km ﹣8 ﹣12 ﹣17 +21 +19 +27 +33 （1）这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶　　 km； （2）小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少km？ （3）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 学科网（北京）股份有限公司 $$