2.1.认识有理数 预习学案 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第二章 有理数及其运算 1. 认识有理数 知识点预习 一、负数的引入与意义 1. 相反意义的量 生活实例： 加分/扣分（+1分/1分） 零上/零下温度（+5℃ /3℃） 高于/低于海平面（+8848.86m / 154.31m） 价格上涨/下跌（+2.4% /0.5%） 表示规则：规定一种意义为正（如“增加”），则相反意义为负（如“减少”）。 2. 正数、负数与0 类型 定义 示例 特性 正数 大于0的数 +3, 15, 2.4% “+”可省略（如3） 负数 小于0的数 -2, -8, -0.5% 必须带“-”号 0 既不是正数也不是负数 0 分界点 2、 有理数的分类 3. 有理数的定义 整数和分数统称为有理数。 4. 有理数的分类 三、相反数与绝对值 5. 相反数 定义：符号不同、数值相等的两个数（如3与3）。 性质：0的相反数是0；数轴上关于原点对称（如课本图2-6）。 6. 绝对值 定义：数轴上点到原点的距离，用 |a| 表示。 计算规则：正数的绝对值是它本身（|+5| = 5）；负数的绝对值是它的相反数（|-5| = 5）；|0| = 0。 四、有理数的大小比较 7. 基本规则 正数 > 0 > 负数；两个正数：绝对值大的数大（如5 > 3）；两个负数：绝对值大的反而小（如-3 < -2）。 8. 比较步骤 化简符号（如-(-4) = 4）；分类比较（先分正负，再比绝对值）。 五、数轴 9. 数轴三要素：原点（0点）；正方向（向右为+）；单位长度（均匀刻度）。 10. 作用：表示有理数：原点右侧表正数，左侧表负数；直观体现数的大小：右大左小（如-2 < 1）；揭示相反数：对称点（如3与-3到原点距离相等）。 六、总结： 负数拓展数的范围，解决“相反意义量”的表示问题； 数轴是沟通数与形的桥梁，直观呈现大小关系； 相反数与绝对值是深化理解有理数性质的关键工具。 学习建议：多结合生活实例（如温度计、电梯楼层）理解概念！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列各数中，比﹣6小的数是（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．0 D．6 2．2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（　　） A．﹣2025 B． C．2025 D． 3．的绝对值是（　　） A． B． C． D． 4．数轴上表示的点到原点的距离是（　　） A． B． C．﹣2 D．2 5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+1|﹣|a﹣b|+（b+1）＝（　　） A．1 B．a C．2b D．0 6．若数轴上A点表示数﹣5，则与A相距7个单位长度的点表示数为（　　） A．2或﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2或﹣2 D．12或7 7．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（　　） A． B． C． D． 8．数轴上有三点A，B，C，其中点A，B分别表示数﹣6，﹣2，现以点C为折点将数轴向右对折（如图），若点A的对应点A′落在射线CB上，且A′与B之间的距离是2，则点C表示的数是（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣5或﹣3 9．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“1cm”和“7cm”分别对应数轴上“﹣1.2cm”和“x cm”，则x的值为（　　） A．2.8 B．3.8 C．4.8 D．6 10．数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题预习（24分） 11．气温上升5℃记作+5℃，那么气温下降3℃记作 　 　 ． 12．在﹣6，+3，，0，﹣18，7中，负数有 　 　 个． 13．设（a，b）表示a，b两数中取较小的一个，[a，b]表示a，b两数中取较大的一个，则（﹣3，[﹣6，﹣9]）÷[（﹣3，﹣16），﹣9]＝　 　 ． 14．比较大小： 　 　 ． 15．如图，在数轴上点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知AB＝5，则点B表示的数为 　 　 ． 16．已知a、b、c在数轴上位置如图，则|a+b|+|a+c|﹣|c|＝ 　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．把下列各数填在相应的大括号里，并用“＜”把这些数连接起来． 27%，﹣2.5，，2024，﹣3，0． （1）负整数{ 　 　 …}； （2）正分数{ 　 　 …}； （3）非负数{ 　 　 …}； （4）负有理数{ 　 　 …}； （5）用“＜”把这些数连接起来为：　 　 ． 18．在数轴上表示出下列各数，并直接写出数轴上表示3和﹣4的两点之间的距离． 3，﹣4，0.5，0， 19．如图所示，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，请你确定与点C所表示的数最接近的整数． 20．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空：a+b 　 　 0，b﹣c 　 　 0，c﹣a 　 　 0； （2）化简：|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|． 21．体育课上，七年级男生进行了引体向上测试．以能做7个为标准，多于标准的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩为+2，﹣1，+3，0，﹣2，﹣3，+1，0． （1）这8名男生中达到标准的占百分之几？ （2）他们共做了多少次引体向上？ 22．有理数：，﹣|﹣1|，3.2，0，2，﹣5． （1）在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； （2）把这6个数用“＜”连接起来； （3）这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有几个； （4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第二章 有理数及其运算 1. 认识有理数 知识点预习 一、负数的引入与意义 1. 相反意义的量 生活实例： 加分/扣分（+1分/1分） 零上/零下温度（+5℃ /3℃） 高于/低于海平面（+8848.86m / 154.31m） 价格上涨/下跌（+2.4% /0.5%） 表示规则：规定一种意义为正（如“增加”），则相反意义为负（如“减少”）。 2. 正数、负数与0 类型 定义 示例 特性 正数 大于0的数 +3, 15, 2.4% “+”可省略（如3） 负数 小于0的数 -2, -8, -0.5% 必须带“-”号 0 既不是正数也不是负数 0 分界点 2、 有理数的分类 3. 有理数的定义 整数和分数统称为有理数。 4. 有理数的分类 三、相反数与绝对值 5. 相反数 定义：符号不同、数值相等的两个数（如3与3）。 性质：0的相反数是0；数轴上关于原点对称（如课本图2-6）。 6. 绝对值 定义：数轴上点到原点的距离，用 |a| 表示。 计算规则：正数的绝对值是它本身（|+5| = 5）；负数的绝对值是它的相反数（|-5| = 5）；|0| = 0。 四、有理数的大小比较 7. 基本规则 正数 > 0 > 负数；两个正数：绝对值大的数大（如5 > 3）；两个负数：绝对值大的反而小（如-3 < -2）。 8. 比较步骤 化简符号（如-(-4) = 4）；分类比较（先分正负，再比绝对值）。 五、数轴 9. 数轴三要素：原点（0点）；正方向（向右为+）；单位长度（均匀刻度）。 10. 作用：表示有理数：原点右侧表正数，左侧表负数；直观体现数的大小：右大左小（如-2 < 1）；揭示相反数：对称点（如3与-3到原点距离相等）。 六、总结： 负数拓展数的范围，解决“相反意义量”的表示问题； 数轴是沟通数与形的桥梁，直观呈现大小关系； 相反数与绝对值是深化理解有理数性质的关键工具。 学习建议：多结合生活实例（如温度计、电梯楼层）理解概念！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列各数中，比﹣6小的数是（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．0 D．6 【解答】解：A．∵|﹣7|＝7，|﹣6|＝6，7＞6，∴﹣7＜﹣6，故符合题意； B．∵|﹣5|＝5，|﹣6|＝6，5＜6，∴﹣5＞﹣6，故不符合题意； C．0＞﹣6，故不符合题意； D．6＞﹣6，故不符合题意； 故选：A． 2．2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（　　） A．﹣2025 B． C．2025 D． 【解答】解：2025的相反数是﹣2025． 故选：A． 3．的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：||， 故选：C． 4．数轴上表示的点到原点的距离是（　　） A． B． C．﹣2 D．2 【解答】解：数轴上表示的点到原点的距离是； 故选：A． 5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+1|﹣|a﹣b|+（b+1）＝（　　） A．1 B．a C．2b D．0 【解答】解：由数轴可知，a＜﹣1，0＜b＜1， 所以a+1＜0，a﹣b＜0， 所以|a+1|﹣|a﹣b|+（b+1）＝﹣（a+1）+（a﹣b）+b+1＝0． 故选：D． 6．若数轴上A点表示数﹣5，则与A相距7个单位长度的点表示数为（　　） A．2或﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2或﹣2 D．12或7 【解答】解：﹣5+7＝2，﹣5﹣7＝﹣12， 故选A． 7．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵|﹣4.6|＝4.6，|﹣3.2|＝3.2，4.6＞3.2， ∴﹣4.6＜﹣3.2＜5.8＜8.1， ∴气温最低的是北京． 故选：A． 8．数轴上有三点A，B，C，其中点A，B分别表示数﹣6，﹣2，现以点C为折点将数轴向右对折（如图），若点A的对应点A′落在射线CB上，且A′与B之间的距离是2，则点C表示的数是（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣5或﹣3 【解答】解：因A′与B之间的距离是2，所以A′表示的数是0或2．由此推断出C表示的数是﹣5或﹣3． 故选答案为D． 9．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“1cm”和“7cm”分别对应数轴上“﹣1.2cm”和“x cm”，则x的值为（　　） A．2.8 B．3.8 C．4.8 D．6 【解答】解：由题意得x﹣（﹣1.2）＝7﹣1， ∴x＝4.8， 故选：C． 10．数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵比a小2的数用b表示， ∴b＝a﹣2， ∴|a|+|b| ＝|a﹣0|+|a﹣2|， 那么|a|+|b|的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小， 显然这个点就是在0与2之间， 当a在区间0与2之间时， |a﹣0|+|a﹣2|＝|2﹣0|＝2为最小值， ∴|a|+|b|的最小值为2， 故选：C． 二、填空题预习（24分） 11．气温上升5℃记作+5℃，那么气温下降3℃记作 　﹣3℃　 ． 【解答】解：∵气温上升5℃记作+5℃， ∴气温下降3℃记作﹣3℃， 故答案为：﹣3℃． 12．在﹣6，+3，，0，﹣18，7中，负数有 　3　 个． 【解答】解：﹣6＜0，是负数； +3＞0，是正数； 0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣18＜0，是负数； 7＞0，是正数； ∴负数有﹣6，，﹣18，共3个． 故答案为：3． 13．设（a，b）表示a，b两数中取较小的一个，[a，b]表示a，b两数中取较大的一个，则（﹣3，[﹣6，﹣9]）÷[（﹣3，﹣16），﹣9]＝　　 ． 【解答】解：根据题意得： （﹣3，[﹣6，﹣9]）÷[（﹣3，﹣16），﹣9] ＝（﹣3，﹣6）÷[﹣16，﹣9] ＝（﹣6）÷（﹣9） ． 故答案为：． 14．比较大小： 　＞　 ． 【解答】解：∵||，||， 而， ∴． 故答案为：＞． 15．如图，在数轴上点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知AB＝5，则点B表示的数为 　﹣2　 ． 【解答】解：3﹣5＝﹣2， ∴点B表示的数为﹣2． 故答案为：﹣2． 16．已知a、b、c在数轴上位置如图，则|a+b|+|a+c|﹣|c|＝ 　b　 ． 【解答】解：由数轴可知，c＜a＜0＜b，且|c|＞|b|＞|a|， ∴a+b＞0，a+c＜0，c＜0， ∴|a+b|+|a+c|﹣|c|＝a+b﹣a﹣c+c＝b． 故答案为：b． 三、解答题预习（46分） 17．把下列各数填在相应的大括号里，并用“＜”把这些数连接起来． 27%，﹣2.5，，2024，﹣3，0． （1）负整数{ 　﹣3　 …}； （2）正分数{ 　27%，　 …}； （3）非负数{ 　27%，，2024，0　 …}； （4）负有理数{ 　﹣2.5，﹣3　 …}； （5）用“＜”把这些数连接起来为：　﹣3＜﹣2.5＜0＜27%2024　 ． 【解答】解：27%，﹣2.5，，2024，﹣3，0． （1）负整数{﹣3…}； 故答案为：﹣3； （2）正分数{27%，，…}； 故答案为：27%，； （3）非负数{27%，，2024，0…}； 故答案为：27%，，2024，0； （4）负有理数{﹣2.5，﹣3…}； 故答案为：﹣2.5，﹣3； （5）用“＜”把这些数连接起来为：﹣3＜﹣2.5＜0＜27%2024． 故答案为：﹣3＜﹣2.5＜0＜27%2024． 18．在数轴上表示出下列各数，并直接写出数轴上表示3和﹣4的两点之间的距离． 3，﹣4，0.5，0， 【解答】解：如图所示， 3和﹣4的两点之间的距离为3﹣（﹣4）＝7． 19．如图所示，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，请你确定与点C所表示的数最接近的整数． 【解答】解：由A、F两点所表示的数可知，AF＝11+5＝16， ∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF， ∴EF＝16÷5＝3.2， ∴E点表示的数为：11﹣3.2＝7.8； 点C表示的数为：7.8﹣3.2﹣3.2＝1.4； 与点C所表示的数最接近的整数是1． 20．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空：a+b 　＞　 0，b﹣c 　＞　 0，c﹣a 　＜　 0； （2）化简：|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|． 【解答】解：（1）∵c＜b＜0＜a，|b|＜|c|＜|a|， ∴a+b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0； 故答案为：＞，＞，＜； （2）∵a+b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0；， ∴|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a| ＝a+b﹣b+c+a﹣c ＝2a． 21．体育课上，七年级男生进行了引体向上测试．以能做7个为标准，多于标准的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩为+2，﹣1，+3，0，﹣2，﹣3，+1，0． （1）这8名男生中达到标准的占百分之几？ （2）他们共做了多少次引体向上？ 【解答】解：（1）根据题意可得：0表示达到标准，“+”表示超过标准，“﹣”表示未达到标准． 所以，这8名男生达到标准的人数为5人，达标率为：100%＝62.5%； （2）他们共做引体向上：7×8+（+2﹣1+3+0﹣2﹣3+1+0）＝56+0＝56（次）． 22．有理数：，﹣|﹣1|，3.2，0，2，﹣5． （1）在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； （2）把这6个数用“＜”连接起来； （3）这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有几个； （4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 【解答】解：（1）如图： （2）由数轴可得； （3）∵负数和0的绝对值等于它的相反数， ∴这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有，0，﹣5， 绝对值等于它的相反数的数有：，共4个， （4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是：3.2﹣（﹣5）＝8.2． 学科网（北京）股份有限公司 $$