24.2　直角三角形的性质 同步练习 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

24.2直角三角形的性质　 直角三角形斜边上的中线的性质 1.如图,在一竖直墙面上斜靠着一梯子,C为梯子的中点.在梯子下滑过程中,OC的长度 (　　) A.先变长后变短 B.变短 C.不变 D.变长 第2题图　　　第3题图 2.(新考法)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A、B对应的刻度为1、7,则CD= (　　) A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点M是AB的中点,则CM=　　　　.  4.如图,BN、CM分别是△ABC的两条高,点D、E分别是BC、MN的中点. (1)求证:DE⊥MN. (2)若BC=26,MN=10,求DE的长. 含30°角的直角三角形的性质 5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30°,AE=8 cm,那么CE= (　　) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 6.(2024哈尔滨中考)△ABC是直角三角形,AB=2,∠ABC=30°,则AC的长为　　　　.  7.如图,在等边三角形ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.已知DE=2,求线段EF的长度. 1.(2024海南中考)设直角三角形中一个锐角为x°(0<x<90),另一个锐角为y°,则y与x的函数关系式为 (　　) A.y=180+x B.y=180-x C.y=90+x D.y=90-x 2.如图,在△ABC中,∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连结PM、PN、MN,以下是甲、乙两位同学得到的研究结果: 甲:当M为AC的中点时,△ABC为等边三角形; 乙:△PMN为等边三角形. 对于甲、乙两位同学的结论,下列判断正确的是 (　　) A.甲正确,乙错误 B.甲错误,乙正确 C.甲、乙皆正确 D.甲、乙皆错误 第3题图　　　第4题图 3.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D为BC的中点,DE⊥AB于点E,若AE=2,则BE的长为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 4.(教材P103例变式)如图,在等边三角形ABC中,D是BC的中点,DE⊥AC于点E,EF⊥AB于点F,已知BC=16,则BF的长为　　　　.  5.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,M为边AB的中点,点E在线段AM上,EF⊥AC于点F,连结CM、CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°. (1)求证:CE=CM. (2)若AB=4,求线段FC的长. 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边BC上一动点(不与B、C重合),DE⊥AB于点E,点F是线段AD的中点,连结EF、CF. (1)试猜想线段EF与CF的数量关系,并加以证明. (2)若∠BAC=30°,连结CE,在D点运动过程中,探求CE与AD的数量关系. 7.(应用意识)据气象台预报,某台风的中心位于B地,台风中心以160 km/h的速度向北偏西60°方向移动,在距台风中心200 km的范围内都将受到台风的影响,A地在B地正西方向与B地相距320 km处,如图所示,试问A地是否会遭受台风的影响?若受影响,持续的时间是多长? 【详解答案】 基础达标 1.C　解析:∵∠AOB=90°,C为AB的中点,∴OC是Rt△AOB的中线, ∴OC=AB,∵梯子的上端沿墙壁下滑时,梯子的长度不变,∴OC的长度也不变.故选C. 2.B　解析:由题图可得,∠ACB=90°,AB=7-1=6(cm),点D为线段AB的中点,∴CD=AB=3 cm.故选B. 3.5　解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB==10.∵点M是AB的中点, ∴CM=AB=5. 4.解:(1)证明:如图,连结DM、DN, ∵BN、CM分别是△ABC的两条高, ∴BN⊥AC,CM⊥AB. ∴∠BMC=∠CNB=90°. ∵D是BC的中点, ∴DM=BC,DN=BC. ∴DM=DN.∵E为MN的中点, ∴DE⊥MN. (2)∵BC=26,∴DM=BC=13. ∵点E是MN的中点,MN=10, ∴ME=5. 由勾股定理,得DE==12. 5.B　解析:∵∠ACB=90°,∴EC⊥BC, ∵BE平分∠ABC,ED⊥AB, ∴DE=CE,在Rt△ADE中, ∵∠A=30°,∴DE=AE=×8=4(cm),∴CE=4 cm.故选B. 6.2或　解析:若∠A=90°,则BC=2AC,由勾股定理可得BC2=AC2+AB2,即(2AC)2=AC2+12,解得AC=2;若∠C=90°,则AC=AB=. 7.解:∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=60°,∵DE∥AB, ∴∠B=∠EDC=60°,∵DE⊥EF, ∴∠DEF=90°, ∴∠F=90°-∠EDF=90°-60°=30°. ∵DE=2,∴DF=2DE=4. 在Rt△DEF中,EF==2. 能力提升 1.D　解析:在Rt△ABC中,已知其中一个锐角为x°,另一个锐角为y°,则x+y=90,∴y=90-x.故选D. 2.C　解析:当M为AC的中点时,∵BM⊥AC于点M,∴BM垂直平分AC, ∴AB=BC,∵∠A=60°,∴△ABC为等边三角形,故甲正确; ∵∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,∴∠ABM=∠ACN=90°-60°=30°,在△ABC中,∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°,∵点P是BC的中点,BM⊥AC,CN⊥AB,∴PM=PN=BC=PB=PC, ∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM, ∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°,∴∠MPN=60°,∴△PMN是等边三角形,故乙正确.故选C. 3.B　解析:连结AD,如图所示: ∵AB=AC,∠A=120°,∴∠B=∠C=30°,∵D为BC的中点,∴∠BAD=∠BAC=60°,AD⊥BC,∴∠ADE=30°,∵DE⊥AB于点E,∴AD=2AE=4,∴BA=2AD=8,∴BE=AB-AE=6.故选B. 4.10　解析:∵△ABC是等边三角形, ∴∠C=∠BAC=60°,AC=AB=BC=16,∵DE⊥AC,∴∠CDE=90°-∠C=30°,∴CE=CD,∵CD=BC, ∴CE=BC=AC,∴AE=AC, ∵EF⊥AB于点F,∴∠AEF=90°-∠EAF=30°,∴AF=AE=AC=AB,∴BF=AB=×16=10. 5.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,M为边AB的中点,∴MC=MA=MB. ∴∠MCA=∠A,∠MCB=∠B. ∵∠A=50°, ∴∠MCA=50°,∠MCB=∠B=40°. ∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°. ∵∠ACE=30°, ∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°. ∴∠MEC=∠EMC.∴CE=CM. (2)∵AB=4,∴CE=CM=AB=2. ∵EF⊥AC,∠ACE=30°, ∴EF=CE=1. ∴FC=. 6.解:(1)EF=CF,证明如下: 在Rt△AED和Rt△ACD中, ∵点F是线段AD的中点, ∴EF=AD,CF=AD. ∴EF=CF. (2)由(1)可知EF=AF=CF, ∴∠AEF=∠EAF,∠ACF=∠CAF. ∴∠EFD=2∠EAF,∠CFD=2∠CAF. ∴∠EFC=2∠BAC=60°. 又EF=CF,∴△EFC为等边三角形. ∴CE=EF=AD. 7.解:如图,过A作AC⊥BC,垂足为C, 在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=320 km,∴AC=AB=160 km. ∵距台风中心200 km的范围内都将受到台风的影响,AC<200, ∴A地会遭受台风的影响. 在BC上取点D、E,使AD=AE=200 km, 在等腰三角形ADE中,AD=AE,AC⊥DE,∴CD=CE. 在Rt△ADC中,AC=160 km,AD=200 km, ∴CD2=AD2-AC2=2002-1602=1202, ∴CD=120 km,∴DE=2CD=240 km. ∵台风中心以160 km/h的速度移动, ∴240÷160=1.5(h). 答:A地会遭受台风的影响,持续的时间是1.5 h. 学科网（北京）股份有限公司 $$