精品解析：广东省部分学校2026届高三上学期开学联考数学试题

2026届新高三开学联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算先计算，根据复数的代数形式即可求解. 【详解】由，所以实部为， 故选：B. 2. 某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据（单位：毫米）为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，对于这五个数据，其第70百分位数为（ ） A. 3.59 B. 3.95 C. 3.77 D. 4.03 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义即可求解. 【详解】由，所以第70百分位数为. 故选：B. 3. 若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，又，利用离心率的公式即可求解. 【详解】根据题意有， 所以. 故选：B. 4. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为，，且， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 5. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求和，代入即可求解. 【详解】由锐角满足，即，所以， 所以，所以， 故选：C. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且均在平面内，则平面截正方体所得图形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出平面，即为平面，即证平面，在正方体中计算，即可求解. 【详解】 如图：为所在棱的中点，连接，则平面为平面， 由四边形为平行四边形，所以，又平面，平面， 所以平面， 又正方体棱长为2，所以，，， 所以，所以平行四边形为矩形， 所以. 故选：C. 7. 某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 180种 D. 720种 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，另一种情况是1名女性和4名男性一组，剩下5人一组，然后由分类加法原理可求得结果. 【详解】由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，则有种方法 另一种情况是1名女性和4名男性一组，剩下5人一组，则种方法， 由分类加法原理可知共有种不同的分组方法. 故选：B. 8. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解可得，即可得结果. 【详解】因为，且，则， 若函数在区间上单调递增， 注意到，则，解得， 所以的最大值为1. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知幂函数，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 方程有3个不相等的实根 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用幂函数性质求解参数判断A，利用幂函数性质得到为奇函数判断B，结合题意得到，求解出实根判断C，利用导数判断函数的单调性判断D即可. 【详解】对于A，因为幂函数， 所以，解得，故A错误， 对于B，由已知得，则， 由幂函数的性质得为奇函数，故B正确， 对于C，令，可得，则， 解得或，得到方程有3个不相等的实根，故C正确， 对于D，因为，所以，则在上单调递增， 由已知得，则，又， 可得，故D错误. 故选：BC 10. 无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹．无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和．无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量（垂直线路方向的向量分量）超过2m/s或纵向偏移量（沿线路方向的向量分量，其标准值为4m/s）超过标准值1m/s时，需调整飞行姿态．已知某区域风速稳定，某次无人机计划沿轴正方向为线路巡检时，空速向量为（单位：m/s），风速向量为（单位：m/s），则（ ） A. 地速大小为5m/s B. 地速向量的方向与空速向量方向相同 C. 纵向偏移量与标准值无偏差 D. 该无人机需要调整飞行姿态 【答案】ACD 【解析】 【分析】设空速向量为，风速向量为，地速向量为，由题意有即可求，进而逐一判断即可求解. 【详解】设空速向量为，风速向量为，地速向量为，则， 所以，所以， 所以地速大小为，故A正确； 由可知地速向量的方向与空速向量方向不相同，故B错误； 由于纵向偏移量为，与标准值无偏差，故C正确； 由于无人机计划沿轴正方向为线路巡检时，而地速向量为， 所以需要调整飞行姿态，故D正确. 故选：ACD. 11. 记抛物线的焦点为，直线与相交于两点，直线与相交于两点，则（ ） A. 当，点在上时， B. 当，点在上时， C. 当，三点共线时， D. 当，四边形的外接圆圆心坐标为时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】将抛物线方程和直线方程联立，解出点坐标，结合已知条件和两点坐标公式逐项判断即可. 【详解】由抛物线方程可得焦点坐标为，， 联立，根据对称性不妨令，， 则，同理可得，，， 当点在上时，即，，则，A说法正确； 当点在上时，即，，则，解得， 此时，则，B说法错误； 当时，解得， 当三点共线时，， 所以，解得，此时，， 所以，C说法正确； 当时，，解得， 由对称性可得四边形的外接圆圆心在轴上，设圆心为， 因为，所以， 将代入整理得， 因为，所以，所以，D说法正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为公差为的等差数列，且、、依次成等比数列，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，结合题意可得出关于的方程，求出的值，即可得出的值. 【详解】因为数列为公差为的等差数列，由题意可得，即， 解得，故. 故答案为：. 13. 已知底面圆直径为的圆锥的表面积与其侧面积之比为，则该圆锥的高为__________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的表面积和侧面积公式计算即可求解. 【详解】设该圆锥的底面半径和母线长分别为， 所以表面积为，侧面积为， 所以， 所以圆锥的高为， 故答案为：. 14. 中，为边上靠近点的三等分点，且，则长度的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，根据已知条件表示，再用正弦定理分别在和中建立等式，进而得到和的关系，再利用余弦定理得到关于关于和的关系，再在中利用余弦定理，然后得到和的关系，最后利用换元法和基本不等式求解即可得到答案. 【详解】设，则，， 又，即， 因为为边上靠近点的三等分点，设， 在中，根据正弦定理，即， 变形得：①， 在中，根据正弦定理，即， 变形得：②， 又， 由①②得，， 在中，由余弦定理, 在中，由余弦定理 , 又， 有，代入得： ， 在中，由余弦定理， ， 整理得：， 又， 所以 ， 令， 则， ， 而对勾函数在单调递增， 所以，那么， 则 即， 那么线段. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校以“和经典相伴，与书香同行”为主题举行学习活动．为了解男女同学对该活动的感兴趣程度，对该校多位同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数． 参加 不参加 合计 男生 女生 合计 （1）当足够大时，估计该校任一不参加活动的学生是男生的概率； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值． 附： 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率即可得出答案； （2）根据小概率值的独立性检验得到即可得出答案. 【小问1详解】 设事件为“该校任一不参加活动的学生是男生”，由调查数据可知当足够大时，以频率估计概率可知该校任一不参加活动的学生是男生的概率． 【小问2详解】 零假设为：是否参加活动与性别无关． 由题意可得， 若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，即不成立， 则，解得． 因为为正整数，则的最小值为10． 16. 如图，三棱锥中，平面，，为棱上一点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理结合题意得到平面，再利用面面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，结合题意求出关键点的坐标和关键平面的法向量，最后利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． 小问2详解】 因为平面， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 因为，设， 则， 设，可得，， 因为，所以，可得，解得， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，解得， 可得平面的一个法向量为． 又，设与平面所成的角为， 则． 17. 记为数列的前项和，已知． （1）求； （2）证明：数列是等比数列； （3）求的最值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）的最小值为，无最大值 【解析】 【分析】（1）已知，要求，可直接令，代入等式求解. （2）要证明数列是等比数列，可先根据与的关系，用表示出，再通过变形得到与的关系，根据等比数列的定义进行证明. （3）先根据（2）求出的的通项公式，再结合求出的表达式，最后通过分析的单调性来确定其最值. 【小问1详解】 已知，则当时，有. ，，即，解得． 【小问2详解】 由可得，当时，. 得. ，，即，进一步变形可得. 当时，. 又，数列是以为首项，为公比等比数列. 【小问3详解】 由（2）可知，则，即. ，，则. 由于，所以是递增数列，的最小值为，无最大值. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）证明：． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，无单调递减区间 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再求切线斜率和切点坐标，再写出切线方程. （2）由得增区间，由得减区间． （3）将函数解析式代入得，对求导得单调区间，求出最小值，得的关系，最后判断在定义域内是否都成立. 【小问1详解】 ， ， 故曲线在点处的切线方程为， 即曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 设， 当时，单调递减. 当时，，单调递增. 于是，故，在上单调递增. 故的单调递增区间为，，无单调递减区间． 【小问3详解】 设函数. 当时，单调递减. 当时，单调递增. 于是．对于，有，即. 当时，，即，此时. 当时，，即，此时. 综上， 19. 过点的直线与双曲线：的右支交于两点，当轴时，． （1）求的渐近线方程； （2）记的左顶点为，求的取值范围； （3）若分别以点、为圆心的两圆有公共点（在轴上），它们与轴的另一交点分别记作点、，记为坐标原点，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由得出在上即可求出后得出渐近线方程； （2）设直线与双曲线联立，首先利用双曲线与直线右支有两个交点得出的范围；然后利用韦达定理表示出结合的范围即可求解； （3）把用韦达定理表示出来代入不等式求出的范围，再利用弦长公式表示出，最后利用导数判断函数单调性即可求出的范围. 【小问1详解】 当轴时，，故点在上，可得， 故的标准方程为．故的渐近线方程为． 【小问2详解】 设直线，联立，可得． 当时，与只有一个交点，故． 因为与右支有两个交点，根据图像可得． 设，根据韦达定理可得， 故 ． 小问3详解】 易得， ， 即，整理得， ∵，∴，，解得； 故，令，设； 则对于恒成立． ∴最小值为，最大值为；即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届新高三开学联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的实部为（ ） A. B. C. D. 2. 某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据（单位：毫米）为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，对于这五个数据，其第70百分位数为（ ） A. 3.59 B. 3.95 C. 3.77 D. 4.03 3. 若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（ ） A B. C. D. 4. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且均在平面内，则平面截正方体所得图形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 180种 D. 720种 8. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 方程有3个不相等的实根 D. 10. 无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹．无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和．无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量（垂直线路方向的向量分量）超过2m/s或纵向偏移量（沿线路方向的向量分量，其标准值为4m/s）超过标准值1m/s时，需调整飞行姿态．已知某区域风速稳定，某次无人机计划沿轴正方向为线路巡检时，空速向量为（单位：m/s），风速向量为（单位：m/s），则（ ） A. 地速大小为5m/s B. 地速向量的方向与空速向量方向相同 C. 纵向偏移量与标准值无偏差 D. 该无人机需要调整飞行姿态 11. 记抛物线的焦点为，直线与相交于两点，直线与相交于两点，则（ ） A. 当，点在上时， B. 当，点在上时， C. 当，三点共线时， D. 当，四边形的外接圆圆心坐标为时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为公差为的等差数列，且、、依次成等比数列，则__________． 13. 已知底面圆直径为的圆锥的表面积与其侧面积之比为，则该圆锥的高为__________．（用含的式子表示） 14. 中，为边上靠近点的三等分点，且，则长度的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校以“和经典相伴，与书香同行”为主题举行学习活动．为了解男女同学对该活动的感兴趣程度，对该校多位同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数． 参加 不参加 合计 男生 女生 合计 （1）当足够大时，估计该校任一不参加活动的学生是男生的概率； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值． 附： 0.1 0.05 0025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 如图，三棱锥中，平面，，为棱上一点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 17. 记为数列的前项和，已知． （1）求； （2）证明：数列等比数列； （3）求的最值． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求单调区间； （3）证明：． 19. 过点的直线与双曲线：的右支交于两点，当轴时，． （1）求的渐近线方程； （2）记的左顶点为，求的取值范围； （3）若分别以点、为圆心的两圆有公共点（在轴上），它们与轴的另一交点分别记作点、，记为坐标原点，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $