专题5.4 复数（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题5.4 复数（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 复数的概念】 6 【题型2 共轭复数】 6 【题型3 复数的几何意义】 7 【题型4 复数的四则运算】 7 【题型5 复数的相等】 7 【题型6 复数的模】 8 【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 8 【题型8 复数范围内解方程的根】 9 【题型9 复数的三角表示】 9 1、复数 考点要求 真题统计 考情分析 (1)通过方程的解，认识复数 (2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义 (3)掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义 2023年新高考I卷：第2题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第1题，5分 2024年新高考I卷：第2题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第1题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第1题，5分、（理数）：第1题，5分 2025年全国一卷：第1题，5分 2025年全国二卷：第2题，5分 2025年北京卷：第2题，4分 2025年天津卷：第10题，5分 2025年上海卷：第10题，5分 复数是高考的热点内容，是每年高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、复数的模、复数的运算及其几何意义，属于简单题.预测明年高考复数依旧以单选题、填空题形式呈现，比较简单. 知识点1 复数的概念 1．复数的概念 (1)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (2)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (3)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下：复数. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 知识点2 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 知识点3 复数的运算 1．复数的四则运算 (1)复数的加法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (3)复数的乘法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可. (4)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 2．复数加法、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 在复平面内，设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. (2)复数减法的几何意义 两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差z1-z2 对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是z1-z2(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的 减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 知识点4 复数有关问题的解题策略 1．复数的概念的有关问题的解题策略 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0. (2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即. (3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则. 2．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数. 3．复数的几何意义的解题策略 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 4．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【方法技巧与总结】 1．(1±i)2=±2i；；. 2．. 3．. 4．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆. 【题型1 复数的概念】 【例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【变式1-1】（2025·吉林·模拟预测）已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．2 【变式1-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）复数的虚部是（   ） A． B．1 C． D． 【变式1-3】（2025·云南曲靖·二模）已知复数，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【题型2 共轭复数】 【例2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知复数满足（其中i为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·甘肃白银·二模）复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·湖南岳阳·三模）若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型3 复数的几何意义】 【例3】（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 【变式3-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2025·湖南长沙·二模）在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【题型4 复数的四则运算】 【例4】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【变式4-2】（2025·河南信阳·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B．2 C．0 D． 【变式4-3】（2025·宁夏银川·三模）已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．对应的点位于复平面的第三象限 D． 【题型5 复数的相等】 【例5】（2025·云南红河·三模）若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·辽宁辽阳·一模）已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·安徽六安·模拟预测）已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 复数的模】 【例6】（2025·山东·模拟预测）已知为复数，为纯虚数，为实数，则（   ） A．2 B． C． D．3 【变式6-1】（2025·湖北宜昌·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【变式6-2】（2025·青海西宁·二模）若与均为实数，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式6-3】（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 【例7】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【变式7-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．（13） D． 【变式7-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数分别满足，，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型8 复数范围内解方程的根】 【例8】（2025·山东青岛·三模）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（   ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【变式8-2】（2025·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（ ） A．2 B．3 C．5 D． 【变式8-3】（2025·江西·二模）已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型9 复数的三角表示】 【例9】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式9-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）若复数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邢台·三模）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（   ） A． B．2 C． D．4 5．（2025·全国·二模）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 7．（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（    ） A．17 B． C．13 D． 8．（2025·北京海淀·三模）在复平面内，复数，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 9．（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（   ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 11．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则为纯虚数 D．若，为实系数方程的两虚根，则 三、填空题 12．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 13．（2025·天津红桥·模拟预测）已知i是虚数单位，若复数是实数，则 . 14．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 16．（24-25高一下·天津·期末）已知i是虚数单位，复数． (1)当时，求z的共轭复数； (2)若z是纯虚数，求m的值： (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 17．（24-25高一下·广东梅州·期末）已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. 18．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 19．（24-25高一下·安徽安庆·期末）定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 复数（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 复数的概念】 6 【题型2 共轭复数】 7 【题型3 复数的几何意义】 8 【题型4 复数的四则运算】 9 【题型5 复数的相等】 11 【题型6 复数的模】 12 【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 13 【题型8 复数范围内解方程的根】 15 【题型9 复数的三角表示】 16 1、复数 考点要求 真题统计 考情分析 (1)通过方程的解，认识复数 (2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义 (3)掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义 2023年新高考I卷：第2题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第1题，5分 2024年新高考I卷：第2题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第1题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第1题，5分、（理数）：第1题，5分 2025年全国一卷：第1题，5分 2025年全国二卷：第2题，5分 2025年北京卷：第2题，4分 2025年天津卷：第10题，5分 2025年上海卷：第10题，5分 复数是高考的热点内容，是每年高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、复数的模、复数的运算及其几何意义，属于简单题.预测明年高考复数依旧以单选题、填空题形式呈现，比较简单. 知识点1 复数的概念 1．复数的概念 (1)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (2)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (3)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下：复数. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 知识点2 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 知识点3 复数的运算 1．复数的四则运算 (1)复数的加法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (3)复数的乘法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可. (4)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 2．复数加法、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 在复平面内，设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. (2)复数减法的几何意义 两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差z1-z2 对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是z1-z2(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的 减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 知识点4 复数有关问题的解题策略 1．复数的概念的有关问题的解题策略 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0. (2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即. (3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则. 2．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数. 3．复数的几何意义的解题策略 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 4．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【方法技巧与总结】 1．(1±i)2=±2i；；. 2．. 3．. 4．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆. 【题型1 复数的概念】 【例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解题思路】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【解答过程】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 【变式1-1】（2025·吉林·模拟预测）已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．2 【答案】B 【解题思路】由纯虚数定义列方程和不等式即可求解. 【解答过程】由题可得. 故选：B. 【变式1-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）复数的虚部是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】利用复数的概念求解判断. 【解答过程】复数的虚部是. 故选：C. 【变式1-3】（2025·云南曲靖·二模）已知复数，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用复数的分类列式计算作答. 【解答过程】因为, 所以， 故选：C. 【题型2 共轭复数】 【例2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知复数满足（其中i为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复数的除法运算法则求得，进而可求得. 【解答过程】因为，所以，故. 故选：B. 【变式2-1】（2025·甘肃白银·二模）复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复数的乘方及复数除法求出，进而求出其共轭复数. 【解答过程】依题意，， 所以. 故选：B. 【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复数的除法运算，再结合共轭复数运算，即可求解虚部. 【解答过程】因为， 所以，即复数的虚部为.   故选：D. 【变式2-3】（2025·湖南岳阳·三模）若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】根据复数四则运算求z，再由复数的几何意义可得. 【解答过程】因为 所以 . 所以. 所以对应的点位于第一象限. 故选：A. 【题型3 复数的几何意义】 【例3】（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】根据复数对应点判断其所在的象限. 【解答过程】由对应点为，即位于第一象限. 故选：A. 【变式3-1】（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】首先根据复平面内关于实轴对称的点的坐标特征求出复数，然后再根据复数模的计算公式求出. 【解答过程】，其在复平面内对应的点为. 因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数. 由，其中，，将其代入模的计算公式可得： . 故选：B. 【变式3-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据复数的在复平面内对应的点在第一象限确定的范围，再根据充分必要条件进行判断即可. 【解答过程】若复数在复平面内对应的点在第一象限，则，所以， 故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-3】（2025·湖南长沙·二模）在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数与复平面内的点的对应关系确定的坐标，即可确定其对应的复数. 【解答过程】因为复数，在复平面内对应的点为，， 即，， 所以， 则对应复数为． 故选：A． 【题型4 复数的四则运算】 【例4】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用复数的除法法则得出、，进而得出、，再利用复数的除法运算化简即可. 【解答过程】由题意可得，， ， 则， 则. 故选：C. 【变式4-1】（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】由复数除法即可求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：A. 【变式4-2】（2025·河南信阳·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的除法运算和共轭复数的概念即可求解. 【解答过程】因为， 所以， 所以， 故选：A. 【变式4-3】（2025·宁夏银川·三模）已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．对应的点位于复平面的第三象限 D． 【答案】D 【解题思路】应用复数除法化简复数，进而求其模长、虚部，写出共轭复数并判断点所在的象限并求. 【解答过程】，则，虚部为， 对应点为在第二象限，且， 所以，A、B、C错，D对. 故选：D. 【题型5 复数的相等】 【例5】（2025·云南红河·三模）若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数相等直接求解即可. 【解答过程】因为，所以，所以． 故选：C. 【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，再根据复数的运算及相等的条件求解即可. 【解答过程】设， 则， ，即， 故选：A. 【变式5-2】（2025·辽宁辽阳·一模）已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数相等求参数的值. 【解答过程】因为， 所以， 所以，解得， 故选:B. 【变式5-3】（2025·安徽六安·模拟预测）已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数相等的充要条件消去可将用表示，根据三角函数的有界性结合二次函数的单调性即可得出结果. 【解答过程】∵，∴，化为， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7， ∴， ∴的取值范围是， 故选：B. 【题型6 复数的模】 【例6】（2025·山东·模拟预测）已知为复数，为纯虚数，为实数，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据研究可确定复数，进而求即可. 【解答过程】因为为复数，为纯虚数，为实数， 所以. 所以. 故选：B. 【变式6-1】（2025·湖北宜昌·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解题思路】由复数模的性质即可求解. 【解答过程】由题设，则. 故选：C. 【变式6-2】（2025·青海西宁·二模）若与均为实数，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【解题思路】根据复数相等的条件，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【解答过程】因为，所以，所以, 则． 故选：C． 【变式6-3】（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，求出复数，进而求出模. 【解答过程】由复数对应的向量，则， 所以. 故选：A. 【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 【例7】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】首先根据复数减法的模的几何意义求点的轨迹，再根据点与圆的位置关系求最值. 【解答过程】设，则， 又表示点与原点的距离，故的最小值为. 故选：B. 【变式7-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数减法的几何意义可知图形为圆环，求圆环面积即可. 【解答过程】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为，    故选：C. 【变式7-2】（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．（13） D． 【答案】D 【解题思路】利用复数的模的几何意义作图，数形结合即可求得的取值范围. 【解答过程】由可理解为复数表示的点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆， 而则可理解为圆上的点到原点的距离，作出图形如下. 如图，当点在时，与原点距离最大为3，当点当点在时，与原点距离最小为1， 故的取值范围是. 故选：D. 【变式7-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数分别满足，，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】先通过模长公式求出复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再利用的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径即可求得结果. 【解答过程】设，则， 如图，复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 则． 故选：D． 【题型8 复数范围内解方程的根】 【例8】（2025·山东青岛·三模）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据实系数方程的复数根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值. 【解答过程】已知是实系数方程的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对出现的性质，可知方程的另一个根为. 对于方程，由韦达定理可得两根之和，其中，，则，即，解得. 由韦达定理可知两根之积，则. 可得：，即. 的值为，的值为. 故选：A. 【变式8-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（   ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】B 【解题思路】确定方程的另外一根，根据韦达定理即可求得答案. 【解答过程】是关于的实系数方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以. 故选：B. 【变式8-2】（2025·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（ ） A．2 B．3 C．5 D． 【答案】D 【解题思路】将代入化简整理有，即解出，最后求复数的模即可. 【解答过程】将代入有：， 化简整理有，即，解得， 所以， 故选：D. 【变式8-3】（2025·江西·二模）已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据虚根成对原理也是方程的一个根，利用韦达定理计算可得. 【解答过程】因为（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 则，所以，. 故选：C. 【题型9 复数的三角表示】 【例9】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【解答过程】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：D. 【变式9-1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得. 【解答过程】因，则， 对于A，，故A项正确； 对于B， ，故B项错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，由B项知，，故D项错误. 故选：A. 【变式9-2】（2025·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案. 【解答过程】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 【变式9-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【解题思路】变形复数，根据题中定义进行计算，即可判定. 【解答过程】， 所以 , 所以的虚部为. 故选:B. 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简式子，然后根据复数的模公式计算即可. 【解答过程】由题可知：，所以. 故选：D. 2．（2025·河北邢台·三模）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数相等的概念可得. 【解答过程】由题意得，，解得，所以. 故选：C. 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断. 【解答过程】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 4．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】先求出复数z，再根据共轭复数和模的定义求解. 【解答过程】, 所以，且. 故选：B. 5．（2025·全国·二模）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由得， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 6．（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【解答过程】因为复数， 根据复数的运算法则，可得. 故选：C. 7．（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（    ） A．17 B． C．13 D． 【答案】D 【解题思路】根据复数的几何意义求出坐标即可得出复数，进而求出模. 【解答过程】由题意可得，，则， 所以，得． 故选：D. 8．（2025·北京海淀·三模）在复平面内，复数，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】根据复数运算法则及复数的几何意义即可求解. 【解答过程】原式=， 对应复平面的点为，在第四象限. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】设，，根据复数的乘法及复数模的定义计算判断A，取特殊值判断B，根据复数的加减法运算及模与共轭的概念运算判断C，根据复数的模及共轭运算判断D. 【解答过程】设，. 对于A选项，， 所以， ，A对； 对于B选项，取，，则， ，则，即，B错； 对于C选项，，， ，， ，所以C错误； 对于D选项，， ，， 所以，故D正确. 故选：AD. 10．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（   ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 【答案】ACD 【解题思路】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解. 【解答过程】对于A，依题意可得，即，则，故A正确； 对于B，依题意可得，故B错误； 对于C，依题意可得，所以，故C正确； 对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确， 故选：ACD． 11．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则为纯虚数 D．若，为实系数方程的两虚根，则 【答案】ACD 【解题思路】对A，根据复数的乘方运算求解，判断；对B，根据复数的乘法运算和复数模计算判断；对C，根据复数的除法运算求解判断；对D，根据实系数的一元二次方程的虚根成对的原理，可判断. 【解答过程】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由，，得，故B错误； 对于C，由，得，所以为纯虚数，故C正确； 对于D，若为实系数方程的两虚根，则， 所以，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【解题思路】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【解答过程】先由题得，所以. 故答案为：. 13．（2025·天津红桥·模拟预测）已知i是虚数单位，若复数是实数，则 . 【答案】 【解题思路】由复数的乘除法运算化简复数，要使是实数，令,即可得出答案. 【解答过程】, 若复数是实数，则，解得： . 故答案为：. 14．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【解答过程】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 【答案】(1)1或3 (2)5 【解题思路】（1）由是实数，则解出即可； （2）由是纯虚数，则，解出即可. 【解答过程】（1）若是实数，则有， 解得或； （2）若是纯虚数， 则有. 16．（24-25高一下·天津·期末）已知i是虚数单位，复数． (1)当时，求z的共轭复数； (2)若z是纯虚数，求m的值： (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）代入，根据共轭复数的概念求解即可； （2）根据纯虚数的充要条件列方程求解即可； （3）根据复数对应的点第四象限实部为正，虚部为负可得的不等式，求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 所以共轭复数 （2）， 因为复数z是纯虚数，所以， 解得， 所以； （3）因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限 所以，即 即，所以 所以，实数m的取值范围是. 17．（24-25高一下·广东梅州·期末）已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，化简得到，列出方程组，即可求解； （2）由（1）得，原方程为，化简得到，进而求得原方程的另一根. 【解答过程】（1）解：因为为方程的一个根，可得， 整理得，所以， 解得. （2）解：由（1）得，原方程为， 配方得，于是， 解得或，所以原方程的另一根为. 18．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）根据复数的除法及乘法计算，再应用纯虚数计算求参； （2）根据共轭复数及加法计算，最后根据点在第四象限，列出不等式计算求参. 【解答过程】（1）因为， 所以， 由是纯虚数，得 解得， 所以； （2）由（1）知 所以 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 19．（24-25高一下·安徽安庆·期末）定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 【答案】(1)复数根分别为，，主值分别为， (2) 【解题思路】（1）根据题意，求得方程的根，，结合辐角主值的计算方法，即可求解； （2）根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合辐角主值的概念，即可求解. 【解答过程】（1）由题意，方程，即，解得，即， 故方程的所有复数根为，， 对于复数，可得，所以，又由，则； 对于，可得，所以，又由，则， 故，的辐角的主值分别为和. （2）由题意，可得 ， 所以，解得，所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$