专题5.3 平面向量的数量积及其应用（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题5.3 平面向量的数量积及其应用（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 平面向量数量积的运算】 4 【题型2 平面向量的夹角问题】 4 【题型3 平面向量的模长】 5 【题型4 平面向量的垂直问题】 5 【题型5 平面向量的投影】 5 【题型6 平面向量在几何中的应用】 6 【题型7 向量在物理中的应用】 7 【题型8 向量数量积与解三角形综合】 8 【题型9 平面向量新定义】 8 1、平面向量的数量积及其应用 考点要求 真题统计 考情分析 (1)理解平面向量数量积的含义及其几何意义 (2)了解平面向量的数量积与投影向量的关系 (3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 (5)会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题 2023年新高考I卷：第3题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第13题，5分 2023年北京卷：第3题，5分 2024年新高考I卷：第3题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第3题，5分 2025年全国二卷：第12题，5分 2025年天津卷：第14题，5分 2025年上海卷：第12题，5分 平面向量的数量积是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，试题往往以选择题、填空题的形式呈现，主要考查向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识，难度中等，有时会与三角函数、平面几何等相结合命题.学生在高考复习中应注意加强训练，要能灵活运用定义法、坐标法和基底法解决常见的数量积有关问题. 知识点1 向量数量积的性质和常用结论 1．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数λ，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 2．向量数量积的常用结论 (1)； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立. 以上结论可作为公式使用. 知识点2 平面向量数量积的解题方法 1．平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 知识点3 数量积的两大应用 1．夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. 2．向量的模的求解思路： (1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； (2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； (3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 知识点4 向量数量积综合应用的方法和思想 1．向量数量积综合应用的三大解题方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. (3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用. 知识点5 极化恒等式 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. (3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 【方法技巧与总结】 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)； (2). 2．有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π. 3．向量在向量上的投影向量为. 【题型1 平面向量数量积的运算】 【例1】（2025·江西·三模）已知平面单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式1-1】（2025·甘肃白银·三模）若向量，且，则实数（    ） A．2 B． C．18 D． 【变式1-2】（2025·安徽滁州·二模）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 【题型2 平面向量的夹角问题】 【例2】（2025·河北石家庄·模拟预测）已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·陕西·模拟预测）已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型3 平面向量的模长】 【例3】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·安徽蚌埠·三模）若向量与的夹角为，且，则（   ） A．2 B． C． D．6 【变式3-2】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 . 【变式3-3】（2025·广西·模拟预测）已知向量，，且，则 . 【题型4 平面向量的垂直问题】 【例4】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4-1】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【变式4-2】（2025·江苏南通·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式4-3】（2025·贵州毕节·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【题型5 平面向量的投影】 【例5】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·湖南·模拟预测）在平行四边形中，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·湖北·模拟预测）已知点，，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型6 平面向量在几何中的应用】 【例6】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【变式6-1】（2025·湖南永州·三模）在中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·海南·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 向量在物理中的应用】 【例7】（2025·宁夏·一模）如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 【变式7-1】（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位）. 【变式7-3】（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)． 【题型8 向量数量积与解三角形综合】 【例8】（2025·云南昭通·模拟预测）在中，已知，，，则（    ） A．36 B．18 C． D． 【变式8-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式8-2】（2025·四川乐山·三模）已知等腰三角形中，，，，，，那么（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·河北保定·三模）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 【题型9 平面向量新定义】 【例9】（2025·湖南郴州·三模）定义：，其中为向量的夹角.若，则（    ） A．8 B．16 C． D． 【变式9-1】（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-2】（2025·吉林·模拟预测）设，，定义余弦距离（为原点）.若，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．0 【变式9-3】（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量和，定义：，．若平面向量满足，且和都在集合中，则（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 一、单选题 1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 3．（2025·陕西延安·模拟预测）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南岳阳·三模）已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 8．（2025·山东·三模）如图是八卦图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，若，则正八边形的边长为（    ） A． B． C．2 D．1 二、多选题 9．（2025·陕西安康·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量的坐标为 10．（2025·河北·模拟预测）已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 11．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（2025·江西·模拟预测）已知向量满足，则 . 13．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 . 14．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·广西北海·期末）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值. 16．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 17．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知平面向量，满足，，． (1)求向量，夹角的大小； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 18．（2025·陕西咸阳·二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若. (1)求角C； (2)已知，，D为AB边上一点，且，求CD. 19．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3 平面向量的数量积及其应用（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 平面向量数量积的运算】 4 【题型2 平面向量的夹角问题】 6 【题型3 平面向量的模长】 8 【题型4 平面向量的垂直问题】 9 【题型5 平面向量的投影】 10 【题型6 平面向量在几何中的应用】 12 【题型7 向量在物理中的应用】 15 【题型8 向量数量积与解三角形综合】 17 【题型9 平面向量新定义】 20 1、平面向量的数量积及其应用 考点要求 真题统计 考情分析 (1)理解平面向量数量积的含义及其几何意义 (2)了解平面向量的数量积与投影向量的关系 (3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 (5)会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题 2023年新高考I卷：第3题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第13题，5分 2023年北京卷：第3题，5分 2024年新高考I卷：第3题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第3题，5分 2025年全国二卷：第12题，5分 2025年天津卷：第14题，5分 2025年上海卷：第12题，5分 平面向量的数量积是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，试题往往以选择题、填空题的形式呈现，主要考查向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识，难度中等，有时会与三角函数、平面几何等相结合命题.学生在高考复习中应注意加强训练，要能灵活运用定义法、坐标法和基底法解决常见的数量积有关问题. 知识点1 向量数量积的性质和常用结论 1．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数λ，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 2．向量数量积的常用结论 (1)； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立. 以上结论可作为公式使用. 知识点2 平面向量数量积的解题方法 1．平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 知识点3 数量积的两大应用 1．夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. 2．向量的模的求解思路： (1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； (2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； (3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 知识点4 向量数量积综合应用的方法和思想 1．向量数量积综合应用的三大解题方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. (3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用. 知识点5 极化恒等式 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. (3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 【方法技巧与总结】 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)； (2). 2．有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π. 3．向量在向量上的投影向量为. 【题型1 平面向量数量积的运算】 【例1】（2025·江西·三模）已知平面单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量垂直及运算律可得，进而求解即可. 【解答过程】由，则，即， 则. 故选：A． 【变式1-1】（2025·甘肃白银·三模）若向量，且，则实数（    ） A．2 B． C．18 D． 【答案】B 【解题思路】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可． 【解答过程】因为向量， 所以，解得． 故选：B. 【变式1-2】（2025·安徽滁州·二模）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果. 【解答过程】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以.    故选：A. 【变式1-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 【题型2 平面向量的夹角问题】 【例2】（2025·河北石家庄·模拟预测）已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据数量积的运算及夹角公式得解. 【解答过程】因为，， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B. 【变式2-1】（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知向量，，利用向量减法求出和，再通过点积计算求出，通过模长计算求出和，利用向量夹角的余弦公式求解. 【解答过程】， . . . . . . 故选：C. 【变式2-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设向量与向量的夹角为，设，进而利用向量的夹角公式列出等式，解方程即可求得答案. 【解答过程】设向量与向量的夹角为，, 设，则， 则， 与的夹角为，所以， 则，即， 可得,解得（舍）或， 则． 故选：A． 【变式2-3】（2025·陕西·模拟预测）已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先利用坐标公式求出向量的数量积，然后求出向量夹角的余弦值，根据夹角为钝角条件求出的取值范围. 【解答过程】因为向量， 所以. 所以向量夹角的余弦值为： 因为向量的夹角为钝角，所以 解得且（当时），所以实数的取值范围为. 故选：A. 【题型3 平面向量的模长】 【例3】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将题干条件平方处理，得出，然后对待求表达式也平方处理即可得解. 【解答过程】由，则， 解得，于是， 故. 故选：B. 【变式3-1】（2025·安徽蚌埠·三模）若向量与的夹角为，且，则（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【解题思路】利用数量积求出后可得. 【解答过程】由题意得，, 故， 故选：C. 【变式3-2】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 . 【答案】 【解题思路】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【解答过程】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 【变式3-3】（2025·广西·模拟预测）已知向量，，且，则 . 【答案】5 【解题思路】根据向量垂直的坐标公式列方程求参数，然后根据模的公式求解即可 【解答过程】因为向量，，且， 所以，解得， 故， 故 故答案为： 【题型4 平面向量的垂直问题】 【例4】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的坐标运算先求，最后利用数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】由题意有， 又因为， 所以， 故选：B. 【变式4-1】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. 【解答过程】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 【变式4-2】（2025·江苏南通·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解题思路】利用向量数量积的运算律和数量积坐标公式计算即可. 【解答过程】因，，则，， 由可得，解得. 故选：D. 【变式4-3】（2025·贵州毕节·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【解题思路】根据题意，求得，结合，列出方程，即可求解. 【解答过程】由向量，可得， 因为，可得， 即，解得. 故选：D. 【题型5 平面向量的投影】 【例5】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据投影向量公式可求投影向量. 【解答过程】因为，故，故， 而在上的投影向量为， 故选：D. 【变式5-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量的坐标运算和投影向量的定义计算即可． 【解答过程】因为， 所以，， ， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 【变式5-2】（2025·湖南·模拟预测）在平行四边形中，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先判断平行四边形是菱形，求出，再根据投影向量的概念求解. 【解答过程】因为，所以平分，所以平行四边形为菱形， 如图：    由两边平方得，，所以， 所以，所以在上的投影向量为. 故选：D. 【变式5-3】（2025·湖北·模拟预测）已知点，，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求出的坐标，即可求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【解答过程】因为，，所以， 又，所以，， 所以向量在方向上的投影向量为. 故选：C. 【题型6 平面向量在几何中的应用】 【例6】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【解答过程】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A. 【变式6-1】（2025·湖南永州·三模）在中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直BC的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，取的中点为，求得的轨迹方程，数形结合可求. 【解答过程】由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，由，可得是以为直径的圆， 所以的轨迹方程为， 取的中点为，设， 可得，所以，所以， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为， 由，所以，所以， 所以， 所以. 故选：A. 【变式6-2】（2025·海南·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】如图所示，    以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，由，得， 所以，， 所以. 故选：C. 【变式6-3】（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可. 【解答过程】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则， 所以， 由于正八边形的每个外角都为； 则， 所以. 故选：C. 【题型7 向量在物理中的应用】 【例7】（2025·宁夏·一模）如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由数量积的运算律，定义，结合模长计算可得. 【解答过程】由题意可得质点P位移为， 所以 因为，，所以， 设的夹角为，所以， 因为所以， 所以. 故选：D. 【变式7-1】（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据,先求得，再由，即可求解. 【解答过程】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即， 解得 故选：A. 【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位）. 【答案】 【解题思路】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案. 【解答过程】由题意知三力平衡得，化简得， 两边同平方得，即， 即，解得. 故答案为：. 【变式7-3】（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)． 【答案】 【解题思路】设三条绳受的力分别为，则，根据向量加法法则和直角三角形三边关系得到，得到答案. 【解答过程】设三条绳受的力分别为，则， 合力为，， 如图，在平行四边形中， ∵， ∴， 即，故细绳OA受力最大，即对OA绳的耐力性要求最高． 故答案为：. 【题型8 向量数量积与解三角形综合】 【例8】（2025·云南昭通·模拟预测）在中，已知，，，则（    ） A．36 B．18 C． D． 【答案】D 【解题思路】由余弦定理求出，然后由向量数量积的定义求解即可. 【解答过程】在中，已知，，， 由余弦定理得 . 故选：D． 【变式8-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【解答过程】设，则， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为． 故选：C. 【变式8-2】（2025·四川乐山·三模）已知等腰三角形中，，，，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解法一：由余弦定理求出，再由数量积的定义求解即可；解法二：由余弦定理求出，再由可得，代入求解即可得出答案. 【解答过程】解法一：由余弦定理可知：， 所以，； 解法二：由余弦定理可知， 因为，则， 所以， 即， 故选：B. 【变式8-3】（2025·河北保定·三模）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在中，由余弦定理可得，在中易得，，即可利用数量积的定义求解. 【解答过程】在中，由余弦定理可得， 则， 由，可得， 又为线段中点，则， 又，则，，且， 所以. 故选：D. 【题型9 平面向量新定义】 【例9】（2025·湖南郴州·三模）定义：，其中为向量的夹角.若，则（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【解题思路】 由，结合同角三角函数式即可求解. 【解答过程】 因为， 所以. 故选：B. 【变式9-1】（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】将提公因式化简，分别讨论各个因式可得结果. 【解答过程】若，则，则或. 当时，未必成立； 当时，. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式9-2】（2025·吉林·模拟预测）设，，定义余弦距离（为原点）.若，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【解题思路】分析可得在半圆上，结合图象确定的最小值，即可得解. 【解答过程】，则，且， 在半圆上， 如图，当在时，取最小值，最小值为，取得最大值， 此时取最小值，最小值为. 故选：C. 【变式9-3】（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量和，定义：，．若平面向量满足，且和都在集合中，则（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【解题思路】根据，得到，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到，，再结合条件，即可求出结果. 【解答过程】因为， 设向量和的夹角为，因为，所以， 得到， 又，所以， 又在集合中，所以，即，得到， 又因为，所以或， 所以或， 故选：D. 一、单选题 1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案. 【解答过程】法一：， 即； 法二： 由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若，，，，， 则，，故. 故选：C. 2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量数量积的定义求两个向量的数量积. 【解答过程】因为 . 故选：B. 3．（2025·陕西延安·模拟预测）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据向量线性运算和向量数量积运算的坐标表示，求出参数，再求出结果. 【解答过程】由，可得， 因为，所以，即，解得， 则，则. 故选：A. 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先计算向量，再应用投影向量公式计算求解. 【解答过程】，则向量， 则在的投影向量为， 故选:A． 5．（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将已知条件平方，化简可得，利用该结论依次判断各个选项. 【解答过程】由于，则， 又由可得， 即，即， 对于选项，，故错误； 对于选项，由于，则，即， 所以，故正确； 对于选项，，故错误； 对于选项，，故错误． 故选：B． 6．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算求的值即可. 【解答过程】如图，以所在直线为轴，为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，， 则， 设，由得，， 所以 所以，所以， 所以. 故选：A. 7．（2025·湖南岳阳·三模）已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意，根据平面向量数量积的运算律可得，设，，进而知点C在直线上，点B直线上，结合计算即可求解. 【解答过程】由，得， 即，又， 整理得. 设，则， 设，则， 所以，即点C在直线上； 设，由，得，即点B直线上， 而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离， 所以， 即的最小值为. 故选：D. 8．（2025·山东·三模）如图是八卦图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，若，则正八边形的边长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正八边形边长为，表示出各个点的坐标，进一步表示出，从而列方程求解. 【解答过程】以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正八边形的边长为， 因为正八边形的外角为，所以，，， ，，， ，， ， ， 所以， 因为， 而， 故，解得. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·陕西安康·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解题思路】A利用向量的模的坐标公式计算；B利用向量加法和数乘的坐标运算；C利用公式即可；D利用投影向量公式. 【解答过程】因，则，故A正确； ，则，则，故B正确； ，则，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 10．（2025·河北·模拟预测）已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】通过向量的数量积公式以及向量模长公式等进行计算和判断. 【解答过程】因为，且向量的夹角为， 对于选项A： ，则A错误； 对于选项B： 要使得，则它们的数量积为0. 即，则B正确； 对于选项C： 因为，则，则C错误； 对于选项D：因为， 所以，解得，则D正确． 故选：． 11．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误，对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误. 【解答过程】对于A，因为，故，故，故A错误； 对于B，因为，故，整理得， 故，故，故B正确； 对于C，由题设有在方向的投影向量为，故， 故即，故C错误， 对于D，由C的分析可得，故，故D成立. 故选：BD. 三、填空题 12．（2025·江西·模拟预测）已知向量满足，则 . 【答案】 【解题思路】先根据数量积的坐标运算求得，再根据向量的线性坐标运算求解即可. 【解答过程】因为，解得， 则，所以. 故答案为：. 13．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 . 【答案】； 【解题思路】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【解答过程】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 14．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】利用分段函数值分类讨论，可得 ，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【解答过程】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故 . 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·广西北海·期末）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由向量加减法和数量积的坐标运算求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，再由夹角的坐标公式计算可得结果. 【解答过程】（1）因为，，所以， 又，所以，解得； （2）因为， 所以，解得，，所以， 所以， 即向量与夹角的余弦值为. 16．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【解题思路】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和； （2）由向量平行的坐标表示列方程求参数； （3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【解答过程】（1）由题设，； （2）由题设，又， 所以，则，可得； （3）由（2）及，则，可得. 17．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知平面向量，满足，，． (1)求向量，夹角的大小； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值； （3）由向平面向量的夹角公式即可求出. 【解答过程】（1）平面向量，满足，，． 所以， 解得，又， 可得向量，夹角的大小为． （2）， 所以． （3）， 因为，由（2）可得， 设向量与的夹角为，所以． 18．（2025·陕西咸阳·二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若. (1)求角C； (2)已知，，D为AB边上一点，且，求CD. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理可得，可求； （2）由题意可得，两边平方可求得. 【解答过程】（1）因为，所以由余弦定理可得， 整理得，所以，所以， 所以，因为，所以； （2）因为，所以，又， 两边平方得，又，，， 所以， 所以. 19．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）首先建立平面直角坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积； （2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【解答过程】（1） 如图，以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则,因为， 所以. （2）如图，设，则， 因为， 所以，解得或， 故或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$