第14章 全等三角形（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 新教材人教版八年级全等三角形单元培优卷，25题分选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（9题72分），覆盖全等判定、性质及综合应用，适配单元复习，可量化学生掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等判定（SAS/ASA，题2/5）、性质应用（题1/3）|结合生活情境（题5碎玻璃、题7书架），考查几何直观| |填空题|6/18|全等性质计算（题11）、格点三角形（题13/16）|融入网格背景，发展空间观念| |解答题|9/72|证明（题17/18）、作图推理（题20）、综合应用（题24/25）|分层设计，如题20结合角平分线与作图，培养推理能力；题25关联中线与四边形，提升创新意识|

第14章 全等三角形·培优卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“对顶角相等”判断A选项，再根据全等三角形的性质判断其余三项． 【详解】解：与交于点， 与是对顶角， ， 故A选项正确； ， 、、、， 故B、C选项正确，D选项错误． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义得到，再由对顶角相等得到，则，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵两根钢条的中点连在一起， 又∵， ， ， 故判定的理由是边角边． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【详解】解：于点，于点，且， 平分， ， ． 4．（25-26八年级上·山西临汾·期末）将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和，先证明，得到，再根据三角形内角和得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 6．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯水平方向长度与右边滑梯高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可证明，则，因此． 【详解】解：根据题意可得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是2，3，4，其三条角平分线交于点O，并将△ABC分为三个三角形，则等于（   ） A．2∶3∶4 B．1∶2∶3 C．1∶1∶1 D．4∶9∶16 【答案】A 【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是2，3，4，所以面积之比就是2：3：4． 【详解】过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是三条角平分线的交点， ∴OE=OF=OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO =•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD =AB：BC：AC =2：3：4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．利用角平分线的性质得到三个三角形的高相等是解题的关键． 9．（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，首先从的周长入手求出，延长至，使，连接，然后利用全等来解． 【详解】解：如图所示，延长至，使，连接， 的周长为2，即， ∵正方形的边长是1， ∴，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ， ∴， 在与中，，，， ∴， ． 故选：B． 10．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】D 【分析】设点E运动时间为，则，分两种情况求解：①当点从点B出发，向点左侧移动时；②当点从点B出发，向点右侧移动时，利用全等三角形的性质分别求出的长，即可得解． 【详解】解：设点E运动时间为，则， ①如图，当点从点B出发，向点左侧移动时， 为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，解得：； ②如图，当点从点B出发，向点右侧移动时， 同理可证，， ， ， ，解得：, 综上可知，当点E运动或时，． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【答案】4 【分析】根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 12．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有___对全等三角形． 【答案】3 【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证． 【详解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB， ∴△ADB≌△ACB； ∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO， ∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB ∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO． ∴图中共有3对全等三角形． 故答案为3． 13．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 【答案】90 【分析】取格点F，连接，，得到，得到，进而求解即可． 【详解】解：取格点F，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．这两个滑梯的倾斜角是和．若，则______． 【答案】67 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及直角三角形两锐角互余．根据题意得出，，进而利用定理得出，进而得出答案． 【详解】解：∵两个滑梯的长度相同， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：67． 15．如图，在中，，平分交于点，，垂足为点．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理和线段的和差计算．根据角平分线的性质定理可得，继而根据线段的和差关系得到． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵，且， ∴. 16．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·四川广元·期末） 如图，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】（1）证明: ∵， ∴， 即: ， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 18．（6分）（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，， (1)从下列条件中选择一个作为已知条件：①；②；③；求证：； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：①∵， ∴， 即． ∵， ∴； ③∵， ∴， 即． ∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 对于（1），先证明，再根据“边边边”和“边角边”可得结论； 对于（2），根据全等三角形的对应角相等得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 19．（6分）（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，分别是边上的高，且与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形的高的定义得到，再利用即可证明； （2）根据三角形的高的定义得到，再根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵分别是边上的高， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（8分）（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在等腰直角中，，平分交于点D，平分交于点E，请完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点D作的垂线与交于点F，连接（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，求证：． 证明：∵ ∴（①）． 又∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴② ∴ ∵平分 ∴ ∵平分，，， ∴③ ∴ 又∵ ∴ 在和中 ∴（④） ∴． 【答案】(1) (2)等边对等角；；；． 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据等边对等角、垂线的定义、角平分线的性质定理、全等三角形的判定定理作答即可． 21．（8分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据垂直平分线的性质得到，再证得，从而得出结论； （2）易证得，根据全等三角形的性质得到，再利用（1）的结论，根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图： 点D在的垂直平分线上， ， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、， ， ， ， ， 故答案为：． 22．（10分）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1)图见解析，答案不唯一 (2)图见解析，答案不唯一 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【详解】（1）解：即为所求作（答案不唯一）； （2）解：即为所求作（答案不唯一）． 23．（10分）（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 24．（12分）（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）解：证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 25．（12分）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析 【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围； （2）延长AE，DC相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论． 【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 在和中， ∴(SAS)， ∴DE=MF=3， ∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3， 即4＜DM＜10， ∵， ∴4＜2DG＜10， ∴2＜DG＜5； （2）AD=CD+AB，理由如下： 解：延长AE，DC相交于点F， ∵， ∴∠BAE=∠F， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在和中， ∴（AAS）， ∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， ∴AD=FD， ∵FD=CD+CF，CF=AB， ∴AD=CD+AB． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形·培优卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西临汾·期末）将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯水平方向长度与右边滑梯高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是2，3，4，其三条角平分线交于点O，并将△ABC分为三个三角形，则等于（   ） A．2∶3∶4 B．1∶2∶3 C．1∶1∶1 D．4∶9∶16 9．（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 12．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有___对全等三角形． 13．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．这两个滑梯的倾斜角是和．若，则______． 15．如图，在中，，平分交于点，，垂足为点．若，，则的长为___________． 16．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·四川广元·期末） 如图，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．（6分）（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，， (1)从下列条件中选择一个作为已知条件：①；②；③；求证：； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 19．（6分）（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，分别是边上的高，且与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．（8分）（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在等腰直角中，，平分交于点D，平分交于点E，请完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点D作的垂线与交于点F，连接（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，求证：． 证明：∵ ∴（①）． 又∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴② ∴ ∵平分 ∴ ∵平分，，， ∴③ ∴ 又∵ ∴ 在和中 ∴（④） ∴． 21．（8分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 22．（10分）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 23．（10分）（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 24．（12分）（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 25．（12分）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $