第13章 勾股定理（单元测试·提升卷）数学华东师大版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第13章 勾股定理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．的三边长分别为a， b， c，下列条件不能判断是直角三角形的为（　） A． B． C． D． 2．在中，，则的长为（    ） A．4cm B．8cm C． D． 3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点到直线的距离是 4．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 6．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（       ）方向航行． A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 7．如图，在平行四边形中，对角线，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在中，平分，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（    ） A．1 B．12 C． D． 10．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 12．如图，在中，，，，则 ． 13．如图，在四边形中，，点在线段上，连接，，若，则的长为 ． 14．如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为 ． 15．如图，四边形的对角线，交于点，且．若，，则 ． 16．按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 17．如图，四边形的面积为4，，平分，，则的最小值为 ． 18．已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为 ． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 20．（10分）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作关于点对称的图形； (2)在图中，作出将绕点逆时针旋转，再向左平移个单位长度后的图形． (3)在图中，找一格点，连接，使． 21．（10分）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 22．（12分）（）如图①，平分，，若，则 ． （）探究：如图②，四边形，平分，，求证：． （）应用：如图③，四边形，平分，，，，．求的长．      23．（12分）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则 ； (2)若中，，，求的值； (3)若中，，边上的高为15，求的值． 24．（12分）某学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：        (1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试走下去看看结论是否符合（1）中的结论； (3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的数量关系； (4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 25．（12分）【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点， 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第13章 勾股定理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．的三边长分别为a， b， c，下列条件不能判断是直角三角形的为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，或者根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形，即可求解． 【详解】解：A．时，设则，解得，最大角，故不是直角三角形； B．，设，验证勾股定理：，满足条件，为直角三角形； C．直接满足，符合勾股定理逆定理，为直角三角形； D．由及，得，为直角三角形。 故选A． 2．在中，，则的长为（    ） A．4cm B．8cm C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理． 由角度比确定为等腰直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 故选：D． 3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点到直线的距离是 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案． 【详解】解：A、，故本选不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故本选不符合题意； C、，故本选符合题意； D、点A到直线的距离，故本选不符合题意； 故选：C． 4．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键．反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案． 【详解】解：用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设． 故选：B． 5．如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质，得，利用勾股定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据旋转的性质，得，， 故， 故． 故选：D． 6．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（       ）方向航行． A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、方位角等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，进而完成解答． 【详解】解：如图:由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故选A． 7．如图，在平行四边形中，对角线，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作法，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作法知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线， ∵对角线，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得： ； 故选B． 8．如图，在中，平分，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，延长与交于点E，证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，，勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，延长与交于点E， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的面积． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 9．如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（    ） A．1 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明，得到，则，则，，，根据得到，即可得答案． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选D． 10．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】证，即可判断①；连接，可推出是等边三角形，即可判断；由得，推出，，即可判断②；作，则，可求出，，根据四边形的面积，即可判断③；将绕点逆时针旋转得到，连接，作，同理可得：是等边三角形，，，求出，根据，即可判断④； 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到；故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； 作，如图所示：    则， ∴， ∴ ∴四边形的面积，故③正确； 将绕点逆时针旋转得到，连接，作，如图所示：    同理可得：是等边三角形，，， 则， ∴， ∴ ∴，故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，几何综合性较强，掌握举一反三的数学思想是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 【答案】289或161 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论． 分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①当第三边为斜边时， 由勾股定理得，； ②当第三边为直角边时， 由勾股定理得，； 综上，的值为289或161， 故答案为：289或161． 12．如图，在中，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，利用勾股定理，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，，， 故答案为：4 13．如图，在四边形中，，点在线段上，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，根据得出，进而根据证明得出，进而证明，得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ 故答案为：． 14．如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理定理可知：，结合，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：25 15．如图，四边形的对角线，交于点，且．若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的结构特征是解题的关键． 分别在，，由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴在中，由勾股定理得：，， ∴将两式相加得：， 在中，由勾股定理得：， 将两式相加得：， ∴， ∵，， ∴， 解得：（舍负）， 故答案为：2． 16．按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 17．如图，四边形的面积为4，，平分，，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】过点A作交延长线于E，交延长线于F，交延长线于H，交延长线于G，由角平分线的性质得到，根据可得；证明是等腰直角三角形，得到，，再证明都是等腰直角三角形，得到，则；证明，得到，，则；作点B关于的对称点M，连接，可证明，由轴对称的性质可得，，则当A、M、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在中，由勾股定理得，即的最小值为10， 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于E，交延长线于F，交延长线于H，交延长线于G， ∵，平分， ∴； ∵，，且， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图所示，作点B关于的对称点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当A、M、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 18．已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】分点在之间和点在之间两种情况，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】解：如图①，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H， 由旋转可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 如图②，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H， 由旋转可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 综上可知，为或， 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得出结论． 【详解】证明：， ， ，， ， ，，，， ，（5分） 是直角三角形，且为直角， ．（10分） 20．（10分）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作关于点对称的图形； (2)在图中，作出将绕点逆时针旋转，再向左平移个单位长度后的图形． (3)在图中，找一格点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，平移图形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题的关键． （1）利用中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于点O的对称点，再顺次连接即可； （2）根据旋转和平移的性质，分别作出点A、B、C绕点A顺时针方向旋转，再向左平移个单位长度后的对应点，再顺次连接即可； （3）取格点P，使，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （3分） （2）解：如图，即为所求； （6分） （3）解：如图，点P即为所求． （10分） 21．（10分）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响．（5分） （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为．（10分） 22．（12分）（）如图①，平分，，若，则 ． （）探究：如图②，四边形，平分，，求证：． （）应用：如图③，四边形，平分，，，，．求的长．      【答案】（）；（）证明见解析；（） 【分析】（）根据角平分线的性质即可求解； （）过作于，过作延长线于，由补角性质可得，又由角平分线的性质得，进而可得，即可求证； （）过点分别作于，延长线于，同理（）可得，由是等腰直角三角形得，进而由是等腰直角三角形得到，即得，最后利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 又∵平分， ∴， 故答案为：；（4分） （2）如图②，过作于，过作延长线于， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴；（8分） （3）如图③，过点分别作于，延长线于， 同理（）可得， 在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴．（12分） 23．（12分）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则 ； (2)若中，，，求的值； (3)若中，，边上的高为15，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)13或 【分析】本题主要考查了新定义下的三角形边高的数量关系，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． （1）根据条件判定等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出底边，然后根据新定义即可得出结果； （2）画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可； （3）分两种情况画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一， ∴，， ∴为底边上的高， ∴， 故答案为：1；（4分） （2）解：如图所示，是边上的高， 由勾股定理得， 利用等面积法可得， ∴；（8分） （3）解：①如图所示，是边上的高， 由勾股定理得，， ， ∴， ∴； ②如图所示，是边上的高， 同①可得，此时， ∴． 综上，的值为13或．（12分） 24．（12分）某学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：        (1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试走下去看看结论是否符合（1）中的结论； (3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的数量关系； (4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)同意，理由见解析 (2)成立，见解析 (3) (4) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的性质可得，，由等边对等角可得，由勾股定理可得，等量代换可得； （2）线段朝外作等边三角形，先证，得出，，由勾股定理可得，等量代换可得； （3）线段朝外作等腰直角三角形，先证，得出，再证，利用勾股定理可得，等量代换可得； （4）过点A作，交延长线于点D，仿照（3）证明，推出，可得． 【详解】（1）解：同意， 理由如下：∵在等边三角形中， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，即；（3分） （2）解：（1）的结论成立， 证明：如图，线段朝外作等边三角形，连接，    在等边，等边中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；（6分） （3）解：如图，线段朝外作等腰直角三角形，连接，    在等腰直角，等腰直角中， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即；（9分） （4）解：过点A作，交延长线于点D，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．（12分） 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键． 25．（12分）【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值． 【答案】特殊感知：；问题探究：；拓展应用： 【分析】本题考查“一线三等角”模型，勾股定理，折叠的性质； 特殊感知：证明即可得到； 问题探究：过点C作，过点B作的延长线于点N，先证明，得到，，再根据面积得到，再由得到，，最后根据求解即可； 拓展应用：在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接，先证明，得到，，，再由和得到，即可得到，再由翻折得到，，，则，最后根据周长为求解即可． 【详解】解：特殊感知： ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；（4分） 问题探究： 如图，过点C作，过点B作的延长线于点N， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的面积是18且， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴；（8分） 拓展应用：如图，在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长最小，最小值为．（12分） 学科网（北京）股份有限公司31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第13章 勾股定理·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C B D A B C D D 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．289或161 12．4 13． 14．25 15．2 16． 17． 10 18． 或 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分） 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得出结论． 【详解】证明：， ， ，， ， ，，，， ，（5分） 是直角三角形，且为直角， ．（10分） 20．（10分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，平移图形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题的关键． （1）利用中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于点O的对称点，再顺次连接即可； （2）根据旋转和平移的性质，分别作出点A、B、C绕点A顺时针方向旋转，再向左平移个单位长度后的对应点，再顺次连接即可； （3）取格点P，使，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （3分） （2）解：如图，即为所求； （6分） （3）解：如图，点P即为所求． （10分） 21．（10分） 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响．（5分） （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为．（10分） 22．（12分） 【答案】（）；（）证明见解析；（） 【分析】（）根据角平分线的性质即可求解； （）过作于，过作延长线于，由补角性质可得，又由角平分线的性质得，进而可得，即可求证； （）过点分别作于，延长线于，同理（）可得，由是等腰直角三角形得，进而由是等腰直角三角形得到，即得，最后利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 又∵平分， ∴， 故答案为：；（4分） （2）如图②，过作于，过作延长线于， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴；（8分） （3）如图③，过点分别作于，延长线于， 同理（）可得， 在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴．（12分） 23．（12分） 【答案】(1)1 (2) (3)13或 【分析】本题主要考查了新定义下的三角形边高的数量关系，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． （1）根据条件判定等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出底边，然后根据新定义即可得出结果； （2）画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可； （3）分两种情况画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一， ∴，， ∴为底边上的高， ∴， 故答案为：1；（4分） （2）解：如图所示，是边上的高， 由勾股定理得， 利用等面积法可得， ∴；（8分） （3）解：①如图所示，是边上的高， 由勾股定理得，， ， ∴， ∴； ②如图所示，是边上的高， 同①可得，此时， ∴． 综上，的值为13或．（12分） 24．（12分） 【答案】(1)同意，理由见解析 (2)成立，见解析 (3) (4) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的性质可得，，由等边对等角可得，由勾股定理可得，等量代换可得； （2）线段朝外作等边三角形，先证，得出，，由勾股定理可得，等量代换可得； （3）线段朝外作等腰直角三角形，先证，得出，再证，利用勾股定理可得，等量代换可得； （4）过点A作，交延长线于点D，仿照（3）证明，推出，可得． 【详解】（1）解：同意， 理由如下：∵在等边三角形中， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，即；（3分） （2）解：（1）的结论成立， 证明：如图，线段朝外作等边三角形，连接，    在等边，等边中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；（6分） （3）解：如图，线段朝外作等腰直角三角形，连接，    在等腰直角，等腰直角中， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即；（9分） （4）解：过点A作，交延长线于点D，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．（12分） 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键． 25．（12分） 【答案】特殊感知：；问题探究：；拓展应用： 【分析】本题考查“一线三等角”模型，勾股定理，折叠的性质； 特殊感知：证明即可得到； 问题探究：过点C作，过点B作的延长线于点N，先证明，得到，，再根据面积得到，再由得到，，最后根据求解即可； 拓展应用：在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接，先证明，得到，，，再由和得到，即可得到，再由翻折得到，，，则，最后根据周长为求解即可． 【详解】解：特殊感知： ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；（4分） 问题探究： 如图，过点C作，过点B作的延长线于点N， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的面积是18且， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴；（8分） 拓展应用：如图，在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长最小，最小值为．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第13章 勾股定理·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．的三边长分别为a， b， c，下列条件不能判断是直角三角形的为（　） A． B． C． D． 2．在中，，则的长为（    ） A．4cm B．8cm C． D． 3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点到直线的距离是 4．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 6．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（       ）方向航行． A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 7．如图，在平行四边形中，对角线，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在中，平分，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（    ） A．1 B．12 C． D． 10．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 12．如图，在中，，，，则 ． 13．如图，在四边形中，，点在线段上，连接，，若，则的长为 ． 14．如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为 ． 15．如图，四边形的对角线，交于点，且．若，，则 ． 16．按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 17．如图，四边形的面积为4，，平分，，则的最小值为 ． 18．已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为 ． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 20．（10分）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作关于点对称的图形； (2)在图中，作出将绕点逆时针旋转，再向左平移个单位长度后的图形． (3)在图中，找一格点，连接，使． 21．（10分）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 22．（12分）（）如图①，平分，，若，则 ． （）探究：如图②，四边形，平分，，求证：． （）应用：如图③，四边形，平分，，，，．求的长．      23．（12分）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则 ； (2)若中，，，求的值； (3)若中，，边上的高为15，求的值． 24．（12分）某学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：        (1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试走下去看看结论是否符合（1）中的结论； (3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的数量关系； (4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 25．（12分）【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$