专题01 勾股定理（专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题01 勾股定理（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股定理解三角形 1 题型二、勾股定理与无理数 2 题型三、赵爽弦图 3 题型四、勾股定理的最值问题 5 题型五、勾股定理的证明 6 题型六、勾股定理的解决应用 8 题型七、勾股定理逆定理的解决应用 9 题型八、勾股定理的网格问题 11 题型九、勾股定理的折叠问题 6 题型十、蚂蚁爬行问题 8 题型十一、平方关系问题 9 题型十二、新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、勾股定理解三角形 1．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可． 【详解】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故选：B． 2．如图，在中，，，点在上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，分别连接，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据旋转得到，然后得到，，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：，， ， ，， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ，即， 在和中， ， ，， ， ， 故答案为：． 3．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由可证，即可证明结论； （2）由全等三角形的性质证明，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 题型二、勾股定理与无理数 1．利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，那么点表示的无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，无理数，解题的关键是正确理解作图过程． 根据勾股定理可得的长度，结合作图过程可知，从而可得点表示的无理数． 【详解】解：根据题意可知， ∵，， ∴， 由作图过程可知，， ∴， ∴点表示的无理数是， 故选：． 2．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点为，那么点表示的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与实数，数轴，利用勾股定理求出的长即可判断． 【详解】解：在中，， ∵， ∴点表示的无理数是， 故答案为：． 3．勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图①，在数轴上分别找出表示1和4的点、，过点作直线l垂直于，在l上取点，使，以数轴上表示1的点为圆心，的长为半径作弧，则该弧与数轴的交点（点在点的右侧）表示的数是_____； (2)应用场景2——解决实际问题． 如图②，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推（即水平距离）至处时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，数轴与无理数，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理求出，即可求解； （2）秋千绳索的长度为，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， ， 点（点在点的右侧）表示的数是， 故答案为：； （2）解：设秋千绳索的长度为，则， 由题意得：， 解得：． 答：绳索的长为． 题型三、赵爽弦图 1．“赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙图形，它最早用严谨的“数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数学智慧．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形的面积大正方形面积4个直角三角形面积即可求得正方形的面积． 【详解】解：直角三角形直角边的较短边为， 正方形的面积． 故选：A． 2．赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的基础知以及三角形中线的性质等知识，掌握求解的方法是关键； 连接，如图，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，进而可得，同理可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵点、、分别是、、的中点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵的面积为24， ∴； 故答案为：． 3．阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【答案】【探索新知】 【初步运用】（1）；（2）12；（3）24 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用，掌握勾股定理内容是解题的关键． 1、【探索新知】利用“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”，列式即可求解； 2、【初步运用】（1）分别表示出大正方形面积与小正方形面积，即可求解； （2）利用边长为c的正方形面积减去两个直角三角形面积，即可求解； （3）设，则，由题意得，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而得，即可求得面积． 【详解】解：【探索新知】由题意，大正方形面积为，小正方形面积为，四个直角三角形的面积为， ∴； 故答案为：； 【初步运用】（1）大正方形面积为， 小正方形面积为， 则， 故答案为：； （2），一个直角三角形的面积为， 则空白部分面积为：； 故答案为：12； （3）设，则， 由题意得， ∴， 即； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故风车状图案的面积为． 题型四、勾股定理的最值问题 1．如图1，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形．如图2，在中，；点为边上一动点，分别为边上的动点．已知，若四边形为对等四边形，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段最值问题，根据对等四边形对角线相等和点到直线垂线段最短即可求出长度的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为对等四边形， ∴， ∵当时最短， 此时∵，， ∴， ∴， ∴的长度的最小值为8． 故选：B． 2．如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接证明，再计算周长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接 ，， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 的最小值为， 的周长最小值为． 3．【背景资料】在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数）当的三个内角均小于时，如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，由，，可知为三角形，故，又，故，由可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （1）如图3，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出________； （2）如图4，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系为_______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （1）如图5，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接、， 求证：点是的费马点． （2）如图6，在中，，，，点为的费马点，连接、、，则的值为________． 【学以致用】（1）如图7所示是一个三角形公园，其中顶点，，为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是________． 【答案】背景资料：等边；两点之间，线段最短；；知识生成：（1）；（2）；问题解决：（1）见解析；（2）；学以致用： 【分析】背景资料：由旋转的性质可得，，得出为等边三角形三角形，故，由两点之间，线段最短可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，即可得解； 知识生成：（1）由旋转的性质可得，，，，证明为等边三角形，得出，，由勾股定理逆定理得出，求出，即可得解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，将逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，证明，得出，再由勾股定理即可得解； 问题解决：（1）在上截取一点，使得，连接，证明为等边三角形，得出，，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，结合，即可得证； （2）由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，将顺时针旋转得到，连接，，由旋转的性质可得，，，，推出为等边三角形，，由等边三角形的性质可得，即可得到，再由勾股定理得出，即可得出答案； 学以致用：连接、、，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交的延长线于，由旋转的性质可得，，，得出，均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，证明，得出，推出，求出，得出，结合勾股定理可得，求出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】背景资料：当的三个内角均小于时，如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形三角形，故，又，故，由两点之间，线段最短可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有； 知识生成：（1）将绕顶点A旋转到处，此时， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵中，，， ∴， 如图：将逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 问题解决：（1）如图，在上截取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的费马点； （2）∵在中，，，， ∴，， 如图，将顺时针旋转得到，连接，， 由旋转的性质可得：，，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴的值为为； 学以致用：如图，连接、、，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交的延长线于， 由旋转的性质可得：，，， ∴，均为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型五、勾股定理的证明 1．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用． （1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴． 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 2．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出． 知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求． （2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值， 【详解】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴ 又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 3．【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的斜边的长为 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）证明，根据列式可得； （2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论； （3）把代入得，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 题型六、勾股定理的解决应用 1．我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为14.5尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，作适当辅助线得到直角三角形是解题的关键；过点作于点．设秋千绳索的长度为尺，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 设秋千绳索的长度为尺． 由题可知，尺，（尺），尺， ∴尺． 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 2．我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理得到，，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，，在中，，， 则， 在中，，，则． ∴． 3．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 【答案】2.2米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键．先在中，根据勾股定理求出梯子的长度，然后在中根据勾股定理求出的长，进而可求解． 【详解】解：由题意可得：在中，，米，米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 题型七、勾股定理逆定理的解决应用 1．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连结， ∵，，， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴． 2．如图，某地理测绘团队通过测量、、三点的位置，确定了由这三个点构成的三角形区域．并通过测绘，得到以下数据：，．在边上有一处重要地标点，满足，．测绘人员需要确定点到点的距离，以便完成整个区域的测绘工作．请求出点到点的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）和勾股定理逆定理（若三角形三边满足，则该三角形为直角三角形 ）是解题的关键．因为，，所以 ．然后在和中，利用勾股定理，设垂直于某点（实际是线段，可通过勾股定理建立等式），分别表示出、、 、的关系，进而求出的长度． 【详解】解：，， ． 在中，，，， ， 是直角三角形， ． 在中，，， ， ， ， ∴点到点的距离为． 3．【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 【答案】（1）；（2）米；（3）20米或14米或25米 【分析】（1）先利用勾股定理，由，，算出的长；再通过勾股定理逆定理，结合，，判断是直角三角形；最后将四边形拆分为和，分别用直角三角形面积公式计算后求和 ． （2）先根据勾股定理，由米，米，算出；再用勾股定理逆定理，结合米，米，判断是直角三角形；接着算出的长，最后依据三角形面积的两种不同表示方法（ ），求出 ． （3）分三种等腰三角形情况讨论：当时，直接用算；当时，先算，再确定，进而得；当时，设未知数，利用勾股定理列方程求解，再算 ． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． （2）∵， ∴， ∴（米）． ∵米，米，米， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴，是直角三角形， ∵米，米， ∴米． ∵， ∴． ∴， 解得米． （3）①当时，如图2，点在的位置， ∴米． ∴米． ②当时，如图2，点在的位置， ∵米，米，， ∴（米）． 由题意可得：（米）． ∴（米）； ③当时，如图2，点在的位置， 设，则． ， ∴， 解得，即． ∴（米）． 综上可知，的长为20米或14米或25米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式以及等腰三角形的分类讨论，熟练掌握勾股定理及其逆定理，灵活运用三角形面积公式，准确进行等腰三角形分类讨论是解题的关键． 题型八、勾股定理的网格问题 1．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算： (1)在图中画出，，且面积为5，点E在小正方形的顶点上； (2)在图中画出以为一腰的等腰，面积为，点F在小正方形的顶点上．请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，作等腰三角形， 对于（1），根据勾股定理可知，作，则，可得，即； 对于（2），根据等腰直角三角形的定义作出图形，可得，可得，即可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：如图所示，就是所求作的三角形； （2）如图所示，就是所求作的三角形． 2．图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找一格点，连接，使； (2)在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形对角互补； (3)在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，网格与勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题关键． （1）如图，取格点，连接，根据等腰三角形的性质结合网格线的特征即可得到； （）根据网格特征得出，从而求解； （）根据网格特征得出，，从而可判断，是等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，点为所求， （2）解：如图， 根据网格可知，， ∴， ∴四边形即为所求； （3）解：如图， 根据网格可知，，， ∴，是等腰三角形， ∴四边形即为所求． 3．如图，图①、图②、图③均由正方形网格构成，每个小正方形的边长都为1．点均在格点上，在下图中，只用无刻度的直尺画图，适当保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中，画出一条射线，点在格点上，且． (2)在图②中，在内部画出射线，点在格点上，且． (3)在图③中，在外部画出射线，点在格点上，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一求作； （2）根据等腰三角形三线合一求作； （3）由（2）可知平分，利用轴对称说明知所画的线符合要求． 【详解】（1）解：如图，共有种画法， 因为，， 所以根据等腰三角形三线合一有、、、、、均平分； （2）如图，共有三种画法， . 因为，， 所以根据等腰三角形三线合一有、、均符合； （3）如图，共有三种画法， 由（2）可知平分， 又与关于直线对称，可知， 所以、、均符合． 【点睛】本题考查了利用网络作角平分线，作一个角等于已知角的一半，等腰三角形三线合一，轴对称的性质，解题关键是准确作出图形． 题型九、勾股定理的折叠问题 1．在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则，根据折叠的性质得到，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 2．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 3．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 【答案】验证：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边；[应用] （），理由见解析；（） 【分析】[验证]：由折叠的性质得，由平行线的性质得，即得，即可求证； [应用]（）同理[验证]得，即得，进而得到，即可求证；（）由折叠可得，，，设，则，在中，由勾股定理得，求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】[验证]证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， ∵四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等式的基本事实）， （等角对等边）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边； [应用]（），理由如下： ∵由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型十、蚂蚁爬行问题 1．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 【答案】． 【分析】把圆柱侧面展开成平面矩形，利用轴对称性质将蚂蚁爬行的路径转化为平面上两点间的线段，再借助勾股定理计算最短路径长度．本题主要考查了圆柱侧面展开图、轴对称性质及勾股定理的应用，熟练掌握“将立体图形中的最短路径问题转化为平面图形中两点间线段问题，借助轴对称和勾股定理求解”是解题的关键． 【详解】解：如图： 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处， 底部周长的一半为，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 2．【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将圆柱侧面展开，把立体图形上的最短路径问题转化为平面图形中直角三角形的斜边求解问题． （1）先根据圆柱的相关数据求出侧面展开图长方形的两条直角边的长度， （2）利用勾股定理求出展开图中连接A、B两点线段的长度，即蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】（1）解：已知圆柱的高为4厘米，圆柱侧面展开后长方形的高就等于圆柱的高，所以其中一条直角边为4厘米， 已知圆柱底面半径厘米，取3，根据圆的周长公式，则底面圆周长的一半为厘米，即另一条直角边为6厘米， 故答案为：，； （2）解：（厘米）， 答：蚂蚁从点爬到点的最短路程厘米． 3．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______； (2)应用二：解决实际问题． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2)绳索的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握最短路的计算，勾股定理的计算方法是关键． （1）根据题意可得圆柱底面圆的周长为，由展开图可得即为最短路径，由勾股定理即可求解； （2）根据题意得到四边形是矩形，如图所示，过点作，四边形，是矩形，则，，设，则，在中由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：圆柱的底面半径为， ∴圆柱底面圆的周长为， 如图所示，即为最短路径，，， ∴， ∴最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示，过点作， ∴， ∴四边形，是矩形， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴绳索的长为． 题型十一、平方关系问题 1．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明，得出即可求解； （2）根据（1）的结论，推出，根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论； （3）设，则，利用勾股定理列式进行求解即可． 【详解】（1）解：与都是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． ； （2）证明：， ， 即． ， 在中，， ，即； （3）解：设，则， ，即， 解得． ． 2．【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查折叠的性质及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键； （1）根据等边对等角得出，根据折叠的性质可得，进而即可求解； （2）根据折叠的性质得出，，再由各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，结合图形由勾股定理即可得出结果； （3）将延折叠，得到，连接，根据（2）中证明方法证明即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ 依题知： （折叠的性质） ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ （3）结论成立，理由如下： 将延折叠，得到，连接， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 3．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在△和中，若，且，则△和是“青竹三角形”． （1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是 ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）如图2，△， ，，点是上任意一点（不与点、重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示； （3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”． ①求的值； ②若，，求△ABC和△ADC的周长之差． 【答案】（1）②④；（2）△ACD和△BCD是“青竹三角形”；；（3）①AD2+BC2的值为64；②△ABC和△ADC的周长之差为． 【分析】（1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的内角性质及“青竹三角形”的定义解题； （2）由等腰直角三角形的性质得到，，从而得到，可判断△ACD和△BCD是“青竹三角形”再根据勾股定理解题； （3）①连接DO并延长交⊙O于E，连接AE、CE，由直径所对的圆周角为90°，根据题意得△ABC和△ADC是“青竹三角形”，再证明△AEC≌△CBA（AAS），得到AE=BC，在Rt△EAD中，由勾股定理解得AD2+AE2=AD2+BC2=DE2=64； ②先推出，再推出，从而得，进而即可得到△ABC和△ADC的周长之差． 【详解】解：（1）矩形与正方形的每个内角都为90°，它们的一条对角线可以将矩形、正方形分成两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形， ②④符合题意，①③不符合题意， 故答案为：②④； （2）中，， ， △ACD和△BCD是“青竹三角形” 过点D作 四边形是矩形， 与都是等腰直角三角形， 中， ； （3）①连接DO并延长交⊙O于E，连接AE、CE，如图： ∵△ABC和△ADC是“青竹三角形” ∴∠ACD+∠BAC=90°， ∵DE是⊙O直径 ∴∠ECD=90° ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠BAC=∠ACE， 又∵ ∴∠AEC=∠ABC 在△AEC与△CBA中 ∴△AEC≌△CBA（AAS） ∴AE=BC ∴在Rt△EAD中，AD2+AE2=AD2+BC2=DE2=82=64， ∴AD2+BC2的值为64； ②∵△ABC和△ADC是“青竹三角形” ∴∠ACD+∠BAC=90°， ， ，四边形ABCD是圆的内接四边形， 中， ∵△ABC和△ADC的周长之差=AB+BC-AD-CD AE=BC,EC=BA ∴AB+BC-AD-CD=EC+AE-AD-CD=EC-DC= ∴△ABC和△ADC的周长之差为． 【点睛】本条考查圆的性质及综合运用、新定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角是90°、圆周角定理等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 题型十二、新定义问题 1．定义：若是的三边，且（即三角形的任意两边的平方和等于第三边平方的2倍），则称为“方倍三角形”． (1)若是“方倍三角形”，其中，则为 ． (2)如图1，是“方倍三角形”，且，求证：为等边三角形． (3)如图2，中，，，是边上一点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，，若为“方倍三角形”，且，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质： （1）根据“方倍三角形”定义，设其余两条边为a，b，满足，进而可得的值； （2）利用“方倍三角形”的定义即可解决问题； （3）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点E，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得． 【详解】（1）解：解：根据“方倍三角形”定义，得：， 故答案为：； （2）证明：∵是“方倍三角形”，且， 则， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：∴， 根据“方倍三角形”定义可知：， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交于点E，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形． (1)定义理解 请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可） (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是对等垂美四边形，理由见解析 (3)3或 【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确理解“对等垂美四边形”的定义是解答本题的关键． （1）根据“对等垂美四边形”的定义作图即可； （2）连接，交于点，设与交于点，证明得，，再证明即可得出结论； （3）分是直角和为直角两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所作的对等垂美四边形； （2）是，理由如下： 解：连接，交于点，设与交于点， 由题意知，，，， ∴， 即 在和中， ∴ ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴在四边形中，，， ∴四边形是对等垂美四边形 （3）解：当是直角时，点与点重合，如图， ∴点到的距离即为， ∵， ∴点到的距离为3； 当为直角时，如图， ∵，， ∴， 设点到的距离为， ∴，即， ∴， 综上，点到的距离为3或． 3．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是______； (2)如图2，中，，P为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点E在上，，当时，请直接写出的最大值． 【答案】(1)垂直平分 (2)四边形是筝形，理由见解析， (3) 【分析】（1）由筝形可得，，即垂直平分； （2）由折叠的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即，可证四边形是筝形，由面积法可求的长； （3）由折叠的性质可得，，，，，，可证，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分； 故答案为：垂直平分； （2）解：四边形是筝形，理由如下： 如图2，设与交于点H， 由折叠的性质得，垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：如图3，将沿翻折得，将沿翻折得，在截取，连接，， ∵，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当点A，点G，点H，点D共线时，有最大值， ∴的最大值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了新定义，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握新定义，合理添加辅助线是解题的关键． 1．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 2．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．80 平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．过点作，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 在中，（里， 的面积（平方里）， 故选：C 3．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，点在同侧，，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 【详解】解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：．    5．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 7．如图，，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 8．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长和面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）周长为，面积为22． 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得． 【详解】（1）证明：， ， 在和中，， ， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则的周长为， 的面积为． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 9．综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． [发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出； 结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出； [应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明； （2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明． 【详解】解：[发现结论]结论1： ∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； 结论2： ∵，由结论1得， ∴， ∵是的平分线，过点作的垂线交于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：相等（或）； [应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵由结论2得：， ∴在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，，延长交于点， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∵由结论2得：，由（1）过程得：， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 10．如图，已知直线． (1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为1或． 【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想： （1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可； （2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可 【详解】（1）解：如图， 直线就是所求作的直线． （2）①当时， ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：， ， ． ②当时， 分别过点作直线的垂线，垂足为， ． ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离， ． ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， ． ． ③当时，同理可得，． 综上所述，的面积为1或． 61 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股定理解三角形 1 题型二、勾股定理与无理数 2 题型三、赵爽弦图 3 题型四、勾股定理的最值问题 5 题型五、勾股定理的证明 6 题型六、勾股定理的解决应用 8 题型七、勾股定理逆定理的解决应用 9 题型八、勾股定理的网格问题 11 题型九、勾股定理的折叠问题 6 题型十、蚂蚁爬行问题 8 题型十一、平方关系问题 9 题型十二、新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、勾股定理解三角形 1．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 2．如图，在中，，，点在上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，分别连接，，则的面积为 ． 3．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二、勾股定理与无理数 1．利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，那么点表示的无理数是（   ） A． B． C． D． 2．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点为，那么点表示的无理数是 ． 3．勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图①，在数轴上分别找出表示1和4的点、，过点作直线l垂直于，在l上取点，使，以数轴上表示1的点为圆心，的长为半径作弧，则该弧与数轴的交点（点在点的右侧）表示的数是_____； (2)应用场景2——解决实际问题． 如图②，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推（即水平距离）至处时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，求绳索的长． 题型三、赵爽弦图 1．“赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙图形，它最早用严谨的“数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数学智慧．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是 ． 3．阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 题型四、勾股定理的最值问题 1．如图1，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形．如图2，在中，；点为边上一动点，分别为边上的动点．已知，若四边形为对等四边形，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 2．如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为 ． 3．【背景资料】在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数）当的三个内角均小于时，如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，由，，可知为三角形，故，又，故，由可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （1）如图3，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出________； （2）如图4，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系为_______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （1）如图5，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接、， 求证：点是的费马点． （2）如图6，在中，，，，点为的费马点，连接、、，则的值为________． 【学以致用】（1）如图7所示是一个三角形公园，其中顶点，，为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是________． 题型五、勾股定理的证明 1．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 2．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 3．【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 题型六、勾股定理的解决应用 1．我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 2．我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 3．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 题型七、勾股定理逆定理的解决应用 1．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 2．如图，某地理测绘团队通过测量、、三点的位置，确定了由这三个点构成的三角形区域．并通过测绘，得到以下数据：，．在边上有一处重要地标点，满足，．测绘人员需要确定点到点的距离，以便完成整个区域的测绘工作．请求出点到点的距离． 3．【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 题型八、勾股定理的网格问题 1．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算： (1)在图中画出，，且面积为5，点E在小正方形的顶点上； (2)在图中画出以为一腰的等腰，面积为，点F在小正方形的顶点上．请直接写出线段的长． 2．图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找一格点，连接，使； (2)在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形对角互补； (3)在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 3．如图，图①、图②、图③均由正方形网格构成，每个小正方形的边长都为1．点均在格点上，在下图中，只用无刻度的直尺画图，适当保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中，画出一条射线，点在格点上，且． (2)在图②中，在内部画出射线，点在格点上，且． (3)在图③中，在外部画出射线，点在格点上，且． 题型九、勾股定理的折叠问题 1．在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 2．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 3．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 题型十、蚂蚁爬行问题 1．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 2．【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 3．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______； (2)应用二：解决实际问题． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 题型十一、平方关系问题 1．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 2．【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 3．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在△和中，若，且，则△和是“青竹三角形”． （1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是 ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）如图2，△， ，，点是上任意一点（不与点、重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示； （3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”． ①求的值； ②若，，求△ABC和△ADC的周长之差． 题型十二、新定义问题 1．定义：若是的三边，且（即三角形的任意两边的平方和等于第三边平方的2倍），则称为“方倍三角形”． (1)若是“方倍三角形”，其中，则为 ． (2)如图1，是“方倍三角形”，且，求证：为等边三角形． (3)如图2，中，，，是边上一点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，，若为“方倍三角形”，且，求的长． 2．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形． (1)定义理解 请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可） (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离． 3．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是______； (2)如图2，中，，P为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点E在上，，当时，请直接写出的最大值． 1．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 2．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．80 平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里 3．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 4．如图，点在同侧，，则 ．    5．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 6．如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 7．如图，，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长和面积． 9．综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 10．如图，已知直线． (1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 5 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$