精品解析：江苏省宿迁市泗阳县泗阳致远中学2025-2026学年高一上学期开学分班考试数学试题

2025年泗阳县致远学校统一考试数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: ①答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. ② 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 第I卷：选择题（58分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列中，，，，那么数列的前10项和等于（ ） A. 130 B. 120 C. 55 D. 50 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 以下五个写法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；②｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④；⑤，正确的个数有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知实数集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面区域 ，，若命题“”为假命题，则实数m的最小值为 （ ） A. B. C. D. 8. 已知在△ABC中，．P是其内部一点，满足最小．设．则t的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 命题，有，则的否定：，有 B 若，则 C. 当时，则，使得成立 D. 函数定义域为，则函数的定义域为 10. 下列运算中正确是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则的最大值为； B. 若，则函数的最大值为； C. 若，，，则的最小值为 D. 已知，则函数. 第I卷：非选择题（92分） 三、填空题: 本大题共3小题， 每小题5分， 共计15分. 12. 计算：___________. 13. 若4x=9y=6，则_________． 14. 曲线C是平面内与两个定点距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论： ①曲线C关于坐标轴对称； ②周长的最小值为； ③点P到y轴距离的最大值为； ④点P到原点距离的最小值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 四．解答题:本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，或. （1）求； （2）集合，且，求实数的取值范围. 16 已知函数. （1）求不等式的解集. （2）若的最小值为，且实数满足，证明：. 17. 设，.且方程有两个相等的实根. （1）求y＝f(x)的表达式； （2）求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 18. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，称其为“团结集合”. （1）分别判断与是否是“团结集合”，并说明理由； （2）若集合是“团结集合”，且，求集合； （3）设函数，求． 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且向量，，. （1）求角的大小； （2）若，的周长为，面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年泗阳县致远学校统一考试数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: ①答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. ② 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 第I卷：选择题（58分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列中，，，，那么数列的前10项和等于（ ） A. 130 B. 120 C. 55 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设结合等比数列定义得数列是等比数列并求出，进而可得，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】由题可知，，， 所以 ，故数列是以为首项和公比的等比数列， 所以，故， 所以数列的前10项和为. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为， 所以， 故选：A. 3. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定判断． 【详解】由题意得，的否定是，， 故选：B 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数单调性解不等式可得集合，再由并集运算可得结果. 【详解】易知， 所以. 故选：C 5. 以下五个写法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；②｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④；⑤，正确的个数有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】①应该是 ；④应该是 ；⑤ ，因此①、④、⑤错误，故正确个数为 ，应选B. 6 已知实数集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意和函数的定义域求出集合，由补集的运算求出，由交集的运算求出． 【详解】由得，则集合， 所以， 又集合， 则， 故选：． 【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，以及函数的定义域，属于基础题． 7. 已知平面区域 ，，若命题“”为假命题，则实数m的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出平面区域D，根据的几何意义数形结合求出取得最大值即可得解. 【详解】平面区域 如图所示：  联立，即. 若命题“”为假命题，则命题“”为真命题， 因为直线即直线， 所以由图可知当该直线过点时取得最小值， 即取得最大值为， 所以，所以的最小值为. 故选：D 8. 已知在△ABC中，．P是其内部一点，满足最小．设．则t的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合费马点定理，设，，, ，得到，再结合，结合基本不等式即可求解. 【详解】先证：费马点：如图1，点为内任意一点，连接，当与三个顶点连线的夹角为120°时，的值最小. 注意：上述结论成立的条件是的最大的角要小于，若最大的角大于或等于，此时费马点就是最大角的顶点.（通常只考查三角形的最大顶角小于） 证明：如图2，以为一边向外作等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接．∵为等边三角形，∴，．而， ∴． 在与， ∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接．由△AMB≌△ENB知，． ∵，，∴为等边三角形． ∴．∴． ∴当四点共线时，的值最小． 此时，；；得证； 由已知可得， 即， 所以，整理得， 所以由正弦定理可得， 所以. 所以三个内角都小于， 则由费马点的定义可知， 设，，, ， 则由得， 由余弦定理可得， ， ， 所以由得， 即， 则，且，令，则， 所以， 当且仅当即时，取等号. 所以的最小值为. 故选：C 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 命题，有，则的否定：，有 B. 若，则 C. 当时，则，使得成立 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，由对数运算得到；C选项，由根的判别式进行判断；D选项，由抽象函数定义域求解方法得到，故，求出定义域. 【详解】A选项，否定：，有，A正确； B选项，若，则，B错误； C选项，当时，，故，使得，C正确； D选项，由题意得，解得，故定义域为，D错误. 故选：AC 10. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可. 【详解】因为，所以A错误； 因为，所以B正确； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确. 故选：BD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则的最大值为； B. 若，则函数的最大值为； C. 若，，，则的最小值为 D 已知，则函数. 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项利用基本不等式，可求得最小值为，BD选项都可以利用凑定法，改变形式，利用基本不等式可求得最值，判断答案，C选项利用和的不等关系，得到关于的不等式可解答案. 【详解】当，，，，当且仅当时，取等号，故选项A不正确. 当时，， 当且仅当时等号成立，所以选项B正确. 当，，，故即， 整理得 ，当且仅当时，取等号，所以选项C不正确. , ,， 当且仅当时等号成立，所以D正确. 故选：BD 第I卷：非选择题（92分） 三、填空题: 本大题共3小题， 每小题5分， 共计15分. 12. 计算：___________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用对数的运算性质以及指数幂的运算法则求解即可. 【详解】 ， 故答案为： 13. 若4x=9y=6，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出＝log64，＝log69，再求的值. 【详解】4x=9y=6，两边取以6为底的对数，得xlog64＝ylog69＝1， ∴＝log64，＝log69， 故＝log64＋log69＝. 故答案为：2 14. 曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论： ①曲线C关于坐标轴对称； ②周长的最小值为； ③点P到y轴距离的最大值为； ④点P到原点距离的最小值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④. 【解析】 【分析】由题意得到方程，结合对称性的判定方法，可判定①正确；设，得到，结合基本不等式，可判定②正确；过点作，求得的最大面积为，结合面积相等，可判定③不正确；化简，结合不等式，可判定④是正确的. 【详解】由题意，曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于， 可得，即， 用代换，或代换方程不变，所以曲线关于坐标轴对称，所以①正确； 设，可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最小值为，所以②正确； 过点作，则， 当且仅当时，等号成立， 当时，取得最大值， 所以的最大面积为， 又由，解得，即点到轴的最大距离为， 所以③不正确； 由 ， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，可得， 所以④是正确的. 故答案为：①②④. 【点睛】方法技巧：根据题设条件得到，令和，得到，结合基本不等式求解是解答的关键. 四．解答题:本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，或. （1）求； （2）集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 ；（2） 【解析】 【分析】（1）利用数轴法即得; （2）分别讨论集合是否为空集; 【详解】（1）或 或； （2） 当 时：即显然成立； 当 时: ; 综上：即求. 16. 已知函数. （1）求不等式的解集. （2）若的最小值为，且实数满足，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解，即可求出不等式的解集； （2）根据绝对值三角不等式得到的最小值为，即，从而得到，再利用基本不等式计算可得； 【小问1详解】 解：不等式，可化为. ①当时，不等式可化为，即，解得，故； ②当时，不等式可化为，解得，故； ③当时，不等式可化，解得，显然与矛盾，不等式无解. 综上，不等式的解集为. 【小问2详解】 证明：由绝对值不等式的性质可得，，当且仅当时取等号， 所以当时，的最小值为3，即， 所以，即， 所以，即， 当且仅当时，等号成立. 17. 设，.且方程有两个相等的实根. （1）求y＝f(x)的表达式； （2）求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求导得到，得到，，再根据解得答案. （2）直接利用定积分计算面积得到答案. 【详解】（1），故，故，， 方程有两个相等的实根，故，，故， 故. （2），取，则， 故. 【点睛】本题考查了根据导数求参数，定积分求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力. 18. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，称其为“团结集合”. （1）分别判断与是否是“团结集合”，并说明理由； （2）若集合是“团结集合”，且，求集合； （3）设函数，求． 【答案】（1）集合不是“团结集合”， 集合是“团结集合” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由“团结集合”定义判断即可； （2）由定义知，，可得，再由，，可分析出，即可得解； （3）由得， 再由，可得，，即可得到，，，，，用累加法即可得到的值，进而代入求解即可得答案. 【小问1详解】 集合中，因为，，所以集合不是“团结集合”. 集合中，因为，，，，，，，所以集合是“团结集合”； 【小问2详解】 因为，且是“团结集合”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以，则， 由集合的互异性可知，，而，所以， 故集合. 【小问3详解】 因为是“团结集合”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 所以，，，，， 所以， 即， 所以， 故. 【点睛】集合新定义问题的处理方法： 找：要抓住新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一都不是“新定义”哦，然后找出要素分别是什么； 看：看所求是什么？ 代：将已知条件代入新定义要素； 解：结合数学知识进行解答. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且向量，，. （1）求角的大小； （2）若，的周长为，面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解； （2）利用（1）中结论与三角形面积公式将表示为的表达式，再利用基本不等式求得的最大值，从而得解. 【小问1详解】 因为， 故， 即， 由正弦定理得，， 整理得到，则， 又，故. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以，即， 因为，， 所以， 又，所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $