第1章 01第一节 冲量 动量-【金版教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册创新导学案Word（粤教版）

该高中物理导学案聚焦冲量和动量，通过钢球碰撞垫块、鸡蛋掉落等实验导入，引导学生理解冲量的矢量性、动量的定义及与动能的区别，衔接牛顿运动定律，为动量守恒定律学习奠定基础。 资料以实验探究和问题驱动为特色，通过“判一判”“想一想”及例题强化矢量分析和过程理解，培养学生科学探究能力与科学思维，助力构建物理观念，提升解决实际问题的能力。

物理 选择性必修 第一册(粤教) 第一章　动量和动量守恒定律 第一节　冲量　动量 1．理解冲量的概念，知道冲量是矢量.2.理解动量的概念及其矢量性，会计算一维情况下的动量变化量．3．理解动量与动能的区别． 一　冲量 1．定义：在物理学中，将Ft定义为冲量，用I表示． 2．公式：I＝Ft． 3．方向：冲量是矢量，它的方向由力的方向决定，如果力的方向在作用时间内不变，冲量的方向与力的方向相同． 4．F­t图像中冲量大小的表示：对一个随时间变化的力来说，冲量的大小等于F­t图像中图线与时间轴所围的面积． 5．单位：冲量的单位是牛秒，符号是N·s． 二　动量 1．定义：在物理学中，将质量和速度的乘积mv叫作物体的动量，用符号p表示． 2．公式：p＝mv． 3．动量的矢量性：动量是矢(填“矢”或“标”)量，它的方向与速度的方向相同． 4．单位：动量的单位是千克米每秒，符号是kg·m/s． 5．动量与动能的区别 (1)动量mv是一个与力在时间上的积累有关的物理量，具有方向性，是矢量，它表示传递机械运动的本领． (2)动能mv2是一个与力在空间上的积累有关的物理量，是标量，它表示物体做功的本领． 1．判一判 (1)动量越大的物体，其速度越大．(　　) (2)一个物体的运动状态发生变化，它的动量一定发生改变．(　　) (3)用力推物体，物体没有动，则人对物体的冲量为零．(　　) (4)一个变化的力F作用在物体上，3 s末力F达到最大值，之后缓慢变小，则3 s末力F对物体的冲量最大．(　　) (5)合力的冲量等于各力冲量的代数和．(　　) 提示：(1)×　由动量定义式p＝mv知，动量大的物体，其速度不一定大． (2)√　描述物体运动状态的物理量是速度，动量是质量和速度的乘积，物体质量不变，速度发生改变，则它的动量一定发生改变． (3)×　根据I＝Ft知，人对物体的冲量不为零． (4)×　冲量是一个过程量． (5)× 2．想一想 质量相同的两个物体动能相同，它们的动量也一定相同吗？ 提示：不一定．动量是矢量，有方向，而动能是标量，无方向．质量相同的两个物体动能相同，速度大小一定相同，但速度方向不一定相同． 课堂任务　冲量 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”． 将一个钢球从同一高度分别自由下落到坚硬的木板和垫有海绵的木板上，用力传感器测出钢球碰撞时作用力的大小，用与力传感器相连的数据采集器记录下力随时间的变化．如图所示是某次实验获得的钢球从同一高度落下碰撞不同材质垫块的实验结果． 活动1：我们有这样的经验：鸡蛋从一定高度掉到地上会摔破，但如果地上垫了海绵，鸡蛋则可能完好无损．这两次碰撞前后鸡蛋速度的变化是一样的，但碰撞中受到的作用力却显然不同．为了定量描述碰撞过程，我们先观察如图所示实验．根据实验数据思考：两次碰撞时作用力的大小与作用时间有什么关系？ 提示：实验表明，同一钢球从同一高度下落分别与不同材质的垫块相碰，相互作用力的大小明显不同．相对而言，钢球与坚硬垫块的相互作用力大一些，作用时间短一些．但钢球碰到不同材质垫块时，碰撞曲线下阴影面积的大小很接近．这个面积表示碰撞过程中作用力在时间上的积累Ft(F可以理解为作用时间t内的平均作用力)． 活动2：想一想能用什么物理量恰当地描述碰撞过程？ 提示：通过活动1分析可知，对于同一钢球，从同一高度下落，与不同材质的垫块相碰时，作用力在时间上的积累Ft是一个常数．Ft在碰撞过程中可能是一个重要的物理量，能恰当地描述碰撞过程． I＝Ft叫作冲量． 1．对冲量的理解 (1)冲量是过程量 冲量是力作用在物体上的时间累积效应，取决于力和时间这两个因素，所以求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量． (2)冲量是矢量 冲量的方向由力的方向决定，在力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同． 2．冲量的计算 (1)求恒力的冲量 冲量等于力和力的作用时间的乘积(无论物体是否运动，无论物体在该力的方向上是否有位移)． (2)变力冲量的计算 ①若力的方向不变而大小随时间均匀变化，则该力的冲量可以用平均力来计算，其公式为I＝Δt. ②若力的方向始终沿一条直线，利用F­t图像中的“面积”求该力的冲量．面积大小表示冲量的大小，面积的正负表示冲量的方向．某力F随时间t变化的图像(F­t图像)如图所示，则图中阴影部分的面积就表示力在时间Δt＝t2－t1内的冲量． 例1　(多选)两个质量相等的物体在同一高度沿倾角不同的两个光滑斜面由静止开始自由下滑，在它们到达斜面底端的过程中(　　) A．重力的冲量相同 B．重力的功相同 C．斜面弹力的冲量为零 D．斜面弹力做功为零 (1)这个过程中斜面对物体的弹力的冲量为零吗？ 提示：不为零．冲量是力与作用时间的乘积，力的大小不为零，力的作用时间也不为零，则力的冲量就不为零． (2)功的大小由什么因素决定？冲量的大小由什么因素决定？ 提示：功的大小是由力的大小、位移的大小及力与位移的夹角这三者共同决定；冲量的大小由力的大小和力作用的时间二者共同决定． [规范解答]　设斜面高为h，倾角为θ，物体质量为m，则两物体滑至斜面底端的过程中，重力做的功均为mgh，物体滑至底端用时t＝，重力的冲量IG＝mgt＝·，随θ变化而变化，故重力的冲量不同，A错误，B正确；斜面弹力方向与物体运动方向垂直，不做功，但弹力的冲量IN＝N·t＝mgcosθ·t＝≠0，C错误，D正确． [答案]　BD 功与冲量的区别 　关于冲量的概念，以下说法正确的是(　　) A．作用在两个物体上的合力大小不同，但两个物体所受的冲量大小可能相同 B．作用在物体上的力的作用时间很短，物体所受的冲量一定很小 C．作用在物体上的力很大，物体所受的冲量一定也很大 D．只要力的作用时间和力的大小的乘积相同，物体所受的冲量一定相同 答案　A 解析　由冲量公式I＝Ft可知，作用在两个物体上的合力大小不同，但两个物体所受的冲量大小可能相同，A正确；由冲量公式I＝Ft可知冲量大小由力的大小和作用时间二者共同决定，只知力或作用时间一个因素，无法确定冲量大小，B、C错误；冲量是矢量，冲量的方向由力的方向决定，两个大小相等的冲量，方向不一定相同，D错误． 课堂任务　动量 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”． 活动1：一把重锤不一定能将静止的飞机机头砸扁，而一只飞鸟却能将高速飞行的飞机机头撞扁，为什么看似柔弱的小鸟的破坏性比重锤还大呢？为了分析物体与飞机机头的碰撞过程，我们用如图所示器材做碰撞实验． (1)把小板凳平放在细沙表面，分别用不同质量的钢球从同一高度落下碰撞小板凳，观察小板凳两次陷入细沙中的深度． (2)把小板凳平放在细沙表面，同一钢球分别从不同高度落下碰撞小板凳，观察小板凳两次陷入细沙中的深度． 根据实验结果可知，碰撞效果除了与碰撞时的相互作用力、作用时间有关外，还与碰撞前的哪些因素有关？飞鸟破坏性比重锤大的原因是什么？ 提示：质量、速度．飞鸟相对飞机的速度非常大． 活动2：视课堂任务1中钢球碰撞海绵垫块的过程为匀减速直线运动，请运用牛顿运动定律分析：钢球与海绵垫块在碰撞过程中的相互作用力、作用时间，与碰撞前钢球的质量、速度有什么关系？除了I＝Ft，研究碰撞时还需要考虑哪个物理量？ 提示：设钢球的质量为m，从高处下落至与海绵垫块相碰前的速度为v，碰撞时间t后静止，碰撞过程中平均作用力为F.视碰撞过程为匀减速直线运动，根据牛顿第二定律，有F＝ma，由匀减速直线运动的速度公式，有vt＝v－at，因为钢球与海绵垫块相碰最终的速度为零，故可以得到Ft＝mv.从以上表达式可以看出，在钢球与垫块发生碰撞至静止过程中冲量I与mv有关，故mv也是一个研究碰撞时需要考虑的物理量． 物体的质量和速度的乘积叫作物体的动量，用字母p表示，p＝mv. 1．对动量的理解 (1)动量是一个状态量．计算动量时，要明确是哪一个物体在哪一个时刻(位置)的动量．公式p＝mv中的速度v是瞬时速度． (2)动量是矢量，方向与物体速度的方向相同． (3)动量具有相对性：物体的动量与参考系的选择有关．选不同的参考系时，同一个物体的动量可能不同，通常在不说明参考系的情况下，物体的动量是指物体相对地面的动量． 2．动量与动能的联系与区别 (1)联系：动量和动能都是描述物体运动的物理量，速度不太大(远小于光在真空中的速度)时它们之间数值的关系是：Ek＝或p＝. (2)区别：动量从物体运动时力的作用效果描述物体的运动状态，而动能从能量的角度描述物体的运动状态；动量是矢量，而动能是标量． 3．动量变化量的理解 (1)表达式：Δp＝pt－p0. (2)矢量性：动量变化量是矢量，与速度变化的方向相同，运算遵循平行四边形定则，当pt、p0在同一条直线上时，在选定坐标轴的方向之后，动量的运算就可以转化为代数运算． (3)物体动量变化的几种情况 ①物体做匀速直线运动时，其动量不变——动量的大小和方向都不变． ②物体做匀速圆周运动时，其动量时刻改变——动量的大小不变，但方向时刻改变． ③物体做平抛运动时，其动量时刻改变——动量的大小时刻改变，方向也时刻改变． ④物体做匀变速直线运动时，其动量时刻改变——动量的大小时刻改变，方向可能改变． 例2　如图所示，一个质量为0.18 kg的垒球，以大小为25 m/s的水平速度向左飞向球棒，被球棒打击后反向水平飞回，速度大小变为45 m/s，则这一过程中动量的变化量(　　) A．大小为3.6 kg·m/s，方向水平向左 B．大小为3.6 kg·m/s，方向水平向右 C．大小为12.6 kg·m/s，方向水平向左 D．大小为12.6 kg·m/s，方向水平向右 (1)垒球的初、末动量大小各是多少？ 提示：初动量大小为p0＝mv0＝0.18×25 kg·m/s＝4.5 kg·m/s；末动量大小为p＝mv＝0.18×45 kg·m/s＝8.1 kg·m/s. (2)垒球初、末动量的方向是相同还是相反？ 提示：相反． [规范解答]　选水平向左为正方向，则动量的变化量为Δp＝mv－mv0＝0.18×(－45) kg·m/s－0.18×25 kg·m/s＝－12.6 kg·m/s，即大小为12.6 kg·m/s，负号表示其方向水平向右，故D正确． [答案]　D 同一直线上动量变化量的计算方法 在分析计算时：①首先确定正方向，一般取初速度v1的方向为正方向；②然后分别写出初、末状态的动量p0和pt，与v1同向为正，与v1反向为负；③最后由Δp＝pt－p0进行计算．动量的变化量是末动量与初动量的差． 　下列关于动量和动能的说法正确的是(　　) A．质量大的物体的动量一定大 B．质量和速率都相同的物体的动量一定相同 C．一个物体的动量改变，它的动能一定改变 D．一个物体的动能变化，它的动量一定改变 答案　D 解析　根据动量的定义，它是质量和速度的乘积，因此它由质量和速度共同决定，故A错误；因为动量是矢量，它的方向与速度的方向相同，质量和速率都相同的物体，其动量大小一定相同，但方向不一定相同，故B错误；一个物体的动量改变，可能只是速度方向改变，速度大小不变，如做匀速圆周运动的物体，其动量改变，动能不变，故C错误；一个物体的动能变化，则它的速度大小一定发生了变化，它的动量也一定发生了变化，故D正确． 　羽毛球是速度最快的球类运动之一．在中国举行的苏迪曼杯混合团体赛中，付海峰扣杀羽毛球的速度达到了342 km/h，假设羽毛球飞来的速度为90 km/h，付海峰将球以342 km/h的速度反向击回．设羽毛球质量为5 g，试求付海峰击球过程中羽毛球的动量变化量． 答案　大小为0.600 kg·m/s，方向与羽毛球飞来的方向相反 解析　以羽毛球飞来的方向为正方向，则 p1＝mv1＝5×10－3× kg·m/s＝0.125 kg·m/s， p2＝mv2＝5×10－3× kg·m/s＝－0.475 kg·m/s， 所以动量的变化量Δp＝p2－p1＝－0.475 kg·m/s－0.125 kg·m/s＝－0.600 kg·m/s， 所以羽毛球的动量变化量大小为0.600 kg·m/s，方向与羽毛球飞来的方向相反． 1．(冲量的理解)对于力的冲量的说法，正确的是(　　) A．作用在物体上的力越大，力的冲量就越大 B．作用在物体上的力越大，力的冲量不一定大 C．力F1与作用时间t1的乘积F1t1等于力F2与作用时间t2的乘积F2t2，则这两个冲量相同 D．静置于地面的物体受水平推力F的作用，经时间t仍静止，则此推力的冲量为零 答案　B 解析　由冲量公式I＝Ft，可知作用在物体上的力大，作用时间不确定，故冲量不一定大，A错误，B正确；冲量是矢量，F1与作用时间t1的乘积F1t1等于F2与作用时间t2的乘积F2t2，则这两个冲量大小相等，但方向不一定相同，所以冲量不一定相同，C错误；静置于地面的物体受水平推力F的作用，经时间t仍静止，则此推力的冲量为Ft，D错误． 2.(冲量的理解与计算)某质量为m的物体在推力F的作用下没有运动，经时间t后(　　) A．推力的冲量为零 B．推力的冲量为Ftcosθ C．合力的冲量为Ft D．重力的冲量为mgt 答案　D 解析　根据冲量的公式，在时间t内推力的冲量I1＝Ft，重力的冲量I2＝mgt，A、B错误，D正确；物体静止，所受合力为零，则合力的冲量I3＝0，C错误． 3．(动量的理解)(多选)关于物体的动量，下列说法中正确的是(　　) A．动量越大的物体，其惯性也越大 B．同一物体的动量越大，其速度一定越大 C．物体的加速度不变，其动量一定不变 D．运动物体在任一时刻的动量方向一定是该时刻物体速度的方向 答案　BD 解析　惯性大小的唯一量度是物体的质量，根据p＝mv可知物体的动量大，物体的质量可能很小，所以不能说动量越大的物体其惯性就越大，A错误；动量等于物体的质量与物体速度的乘积，即p＝mv，同一物体的动量越大，其速度一定越大，B正确；物体的加速度不变且不为零时，速度是变化的，物体的动量一定变化，C错误；动量等于物体的质量与物体速度的乘积，即p＝mv，动量是矢量，运动物体在任一时刻的动量方向就是该时刻物体速度的方向，D正确． 4．(动量的理解)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．物体的动量改变，一定是速度大小改变 B．物体的动量改变，一定是速度方向改变 C．物体的运动状态改变，其动量一定改变 D．物体的速度方向改变，其动量一定改变 答案　CD 解析　动量是矢量，物体的动量改变，可能是大小改变，也可能是方向改变，故A、B错误；运动状态是用速度来描述的，运动状态改变时速度一定改变，只要速度改变，不论是大小还是方向改变，动量都改变，故C、D正确． 5．(动量的变化量)一个质量是0.2 kg的钢球，以大小为9 m/s的速度水平向右运动，与坚硬的竖直墙壁发生碰撞后，以大小为8 m/s的速度水平向左运动．若以水平向左为正方向，那么碰撞前后钢球的动量变化量是(　　) A．0.2 kg·m/s B．－0.2 kg·m/s C．－3.4 kg·m/s D．3.4 kg·m/s 答案　D 解析　若以水平向左为正方向，则钢球与墙壁碰前的速度v0＝－9 m/s，碰后的速度v＝8 m/s，因此碰撞前后钢球的动量变化量Δp＝mv－mv0＝0.2×8 kg·m/s－0.2×(－9) kg·m/s＝3.4 kg·m/s，故D正确． 6．(冲量的理解)如果物体在任何相等时间内所受合力F的冲量都相同，则此物体的运动(　　) A．是匀速运动 B．可能是匀变速曲线运动 C．不是匀变速直线运动 D．可能是匀速圆周运动 答案　B 解析　根据冲量的定义式I＝Ft，在任何相等时间t内物体所受合力F的冲量I相同，说明作用在物体上的力F是恒力，因此物体做匀变速运动，其中包括匀变速直线运动和匀变速曲线运动，B正确，A、C错误．物体做匀速圆周运动时，所受向心力大小恒定，但方向指向圆心，是变力，D错误． 7.(冲量的计算)物体受到方向不变的力F作用，其中力F的大小随时间变化的规律如图所示，则力F在4 s内的冲量大小为(　　) A．2 N·s B．4 N·s C．6 N·s D．8 N·s 答案　C 解析　根据I＝Ft可知，力F的冲量大小在数值上等于F­t图像与时间轴围成的“面积”，则力F在4 s内的冲量大小为I＝×(2＋4)×2 N·s＝6 N·s，故C正确． 8．(动能与动量的关系)两个具有相等动量的物体A、B，质量分别为m1和m2，且m1＞m2，则(　　) A．B动能较大 B．A动能较大 C．两物体动能相等 D．无法判断 答案　A 解析　物体动能与动量间的关系为Ek＝，两个具有相等动量的物体A、B，质量分别为m1和m2，且m1＞m2，则EkA<EkB，即B物体的动能较大，故A正确． 9．(动量的变化量、动能的变化量)一质量为2 kg的物体，速度由向东3 m/s变为向西3 m/s，在这个过程中该物体的动量与动能的变化量分别是(　　) A．0、0 B．0、18 J C．12 kg·m/s、0 D．12 kg·m/s、18 J 答案　C 解析　设向西为正方向，则物体的初速度v0＝－3 m/s，末速度v＝3 m/s，故这个过程中，该物体动量的变化量为Δp＝mv－mv0＝12 kg·m/s，方向向西；动能的变化量为ΔEk＝mv2－mv＝0，故C正确，A、B、D错误． 10.(动量的计算)一个质量为5 kg的物体在合力F的作用下从静止开始沿直线运动．F随时间t变化的图像如图所示． (1)t＝1 s时物体的动量大小是__________； (2)t＝4 s时物体的动量大小是__________． 答案　(1)20 kg·m/s　(2)10 kg·m/s 解析　规定0～1 s内物体所受合力的方向为正方向． (1)根据题图及牛顿第二定律知，物体在0～1 s内的加速度a1＝＝＝4 m/s2 t＝1 s时物体的速度v1＝a1t1＝4 m/s2×1 s＝4 m/s 则t＝1 s时物体的动量为 p1＝mv1＝5 kg×4 m/s＝20 kg·m/s 故t＝1 s时物体的动量大小为20 kg·m/s. (2)根据题图及牛顿第二定律知， 物体在1～4 s内的加速度a2＝＝＝－2 m/s2 t＝4 s时物体的速度v2＝v1＋a2t2＝4 m/s＋(－2 m/s2)×(4－1) s＝－2 m/s 则t＝4 s时物体的动量为 p2＝mv2＝5 kg×(－2 m/s)＝－10 kg·m/s 故t＝4 s时物体的动量大小为10 kg·m/s. 11．(动量、动能及动量变化量的理解)下列关于物体的动量和动能的说法，正确的是(　　) A．若两个物体的动量相同，它们的动能也一定相同 B．两物体中动能大的物体，其动量也一定大 C．物体的速度大小不变时，动量的变化量Δp不一定为零 D．物体做曲线运动时，动量的变化量一定不为零 答案　C 解析　由动量p＝mv和动能Ek＝mv2可解得Ek＝，若两个物体的动量相同，而质量不同，则它们的动能不相同，A错误；两物体中动能大的物体质量可能小，由p＝知，其动量不一定大，B错误；当物体的速度大小不变、方向变化时，Δp≠0，C正确；当物体做曲线运动时，动量的变化量Δp可能为零，如做匀速圆周运动的物体运动一周时的Δp为零，D错误． 12．(动量变化量的计算)一个质量为50 kg的蹦床运动员，从离水平网面1.8 m高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面2.45 m高处．已知运动员和网接触的时间为1 s，g取10 m/s2.运动员与网接触的这段时间内，动量变化量的大小为(　　) A．50 kg·m/s B．300 kg·m/s C．350 kg·m/s D．650 kg·m/s 答案　D 解析　根据题意，运动员从h1＝1.8 m高处下落过程机械能守恒，则有mgh1＝mv，解得运动员开始接触水平网面时的速度大小为v0＝＝ m/s＝6 m/s，运动员离开网面上升h2＝2.45 m的过程机械能守恒，则有mgh2＝mv，解得运动员离开水平网面时的速度大小为v1＝＝ m/s＝7 m/s.规定竖直向下为正方向，则运动员与网接触的这段时间内，动量变化量为Δp＝m(－v1)－mv0＝50×(－7) kg·m/s－50×6 kg·m/s＝－650 kg·m/s，负号表示方向竖直向上，即动量变化量的大小为650 kg·m/s，故D正确，A、B、C错误． 13．(综合)物体的运动状态可用位置x和动量p描述，称为相，对应p­x图像中的一个点．物体运动状态的变化可用p­x图像中的一条曲线来描述，称为相轨迹．假如一质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的相轨迹可能是(　　) 答案　D 解析　质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有v2＝2ax，而动量为p＝mv，联立可得p＝m＝m·x，且x和p均应为正值，故对应的相轨迹为图像D. 14.(综合)如图所示，某滑板爱好者脚踩滑板从离地面一定高度的平台上水平飞离A点后顺利越过水平地面上的水坑，A点与坑口右端点B间水平距离x＝3 m，竖直距离h＝1.8 m，人与滑板总质量m＝70 kg，整个过程人与滑板始终保持相对静止，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.求： (1)人与滑板离开A点后在空中运动的时间t； (2)若人与滑板离开A点后恰好落在B点，求人与滑板离开A点时动量pA； (3)若人与滑板离开A点后恰好落在B点，求人与滑板在空中运动的整个过程动量的变化量Δp. 答案　(1)0.6 s (2)350 kg·m/s，方向水平向右 (3)420 kg·m/s，方向竖直向下 解析　(1)人与滑板离开A点后在空中做平抛运动，有h＝gt2 则它们在空中运动的时间为 t＝＝ s＝0.6 s. (2)人与滑板离开A点时速度的大小 vA＝＝ m/s＝5 m/s 则人与滑板离开A点时动量的大小 pA＝mvA＝350 kg·m/s，方向水平向右． (3)根据动量的定义可知，Δp＝mΔv 设人与滑板做平抛运动的末速度的竖直分量为vBy，根据平抛运动的规律可知，人与滑板在空中运动的整个过程，即做平抛运动的整个过程，速度的变化量Δv＝vBy，方向竖直向下，而v＝2gh 联立各式并代入数据可得Δp＝420 kg·m/s，方向竖直向下． [名师点拨]　(1)动量是矢量，计算动量及动量变化量时，如无特殊说明，除了计算大小，还需要指出方向． (2)曲线运动中动量变化量Δp的计算方法 ①矢量计算法：动量是矢量，所以计算曲线运动中动量的变化量Δp＝pt－p0时，不能用标量加减法，一般情况下应使用矢量加减法则——平行四边形定则或三角形定则．由上式得pt＝p0＋Δp，据此可作出矢量三角形求解Δp，如图所示． ②动量定义法：根据p＝mv，可得Δp＝mΔv.根据此式结合速度的合成与分解、运动学规律，也可以求解Δp.这种方法适合求解匀变速曲线运动中动量的变化量． 15 学科网（北京）股份有限公司 $$