精品解析：辽宁省鞍山市铁西区鞍山市育才中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

育才中学教育集团九年级2024~2025学年度上学期数学学科第二次限时作业 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长共120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 2. 方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次是2次的整式方程，逐个判断即可． 【详解】解：A.该选项是一元二次方程，符合题意； B.该选项是一元一次方程，不符合题意； C.该选项不一元二次方程，不符合题意； D.该选项等号两边不都是整式，该选项不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为：； 故选B． 4. 如图，，若，则的长是（ ） A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理作答即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故选：C． 5. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 6. 一次函数经过一、三、四象限，则抛物线图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质．熟练掌握一次函数和二次函数图象及性质是解题的关键 根据一次函数的图象经过的象限确定，，进而根据二次函数的图象的开口方向、对称轴、于y轴的交点，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， ∴二次函数的开口向上，， ∴对称轴在y轴右侧， 当时，， ∴二次函数图象与轴交点为，在轴正半轴 ． 结合以上特征，符合条件的是选项B． 故选：B． 7. 如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理．作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到，再利用勾股定理，继而求得答案． 【详解】解：∵半径为5的， ∴， 作直径，连接，如图， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 反比例函数图像经过点并且，则，，的大小正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 利用反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：由平方的非负性可得， 所以为正数， 所以在同一象限内，函数值随的增大而减小， 由得，， ， 故选：D． 9. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径是（ ） A. 24厘米 B. 26厘米 C. 28厘米 D. 30厘米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，令圆的半径为，则，根据勾股定理求出，进而求出半径． 【详解】解：如图，由题意，得垂直平分， 厘米， 令圆的半径为，则， 在中，， ， 解得． 故选：B． 10. 已知抛物线图像的一部分，对称轴是直线且过点下列关系中正确个数（ ） ①； ②； ③若方程有两个不相等的实数根，则； ④； ⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象法确定方程的根，从图象中有效的获取信息，利用二次函数的性质，以及图象与系数之间的关系，特殊点，最值，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵图象过，且对称轴为直线， ∴图象过， ∴；故②正确； 由图象可知：当时，函数有最大值为， ∴当方程有两个不相等的实数根时，，故③错误； ∵是时的函数值，可能大于0，可能小于0，也可能等于0，而， ∴无法得到，故④错误； ∵， ∴， ∴，故⑤错误； 故选A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知抛物线过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、代数式求值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数的解析式可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是________． 【答案】##34度 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，由是的直径，得，利用圆内接四边形的性质求出，即可求出． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为． 13. 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为__________. 【答案】5． 【解析】 【详解】解：设AE=x，则AC=x+4， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD. ∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理）， ∴∠CAD=∠CDB， ∴△ACD∽△DCE， ∴，即 解得：x=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系；3．相似三角形的判定与性质． 14. 已知图像过点，且在第一象限图像上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、相似三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，再设点的坐标为，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，证出，利用相似三角形的性质求出的值，由此即可得． 【详解】解：将点代入得：， ∴， 由题意，设点坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形的性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分类讨论是解题的关键． 分三种情况进行讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图，当时，, 由折叠性质，得, , ； 如图，当时， 由折叠性质，得， ∴； 如图，当时， 由折叠性质，得, ； 当时与时相同， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本题共8小题共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程可以配方为，再两边同时开平方解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． 17. 在投掷铅球时，铅球所经过的路线可以看作抛物线的一部分．如图，是小明在校运动会上某次试投中铅球所经过的路线．这次试投时，铅球从出手到落地的过程中，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度（米） 3 （1）根据以上数据，铅球运行的竖直高度的最大值为______米； （2）求小明这次试投的投掷距离（出手点与着陆点的水平距离）． 【答案】（1）3 （2）10米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据表格数据可得这个抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质求出最值即可得； （2）建立平面直角坐标系，设这个抛物线的解析式为，将点代入求出抛物线的解析式，再求出当时，的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，这个抛物线的对称轴为直线， ∵这个抛物线的开口向下， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为3， 即铅球运行的竖直高度的最大值为3米， 故答案为：3． 小问2详解】 解：如图，建立平面直角坐标系如下： ∵这个抛物线的顶点坐标为， ∴设这个抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴这个抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：小明这次试投的投掷距离为10米． 18. 如图，反比例函数（且）的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集：______； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）12 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再代入求解即可得； （2）先求出点的坐标，再补全反比例函数的解析式，然后根据关于的不等式表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方（含交点）求解即可得； （3）设一次函数与轴的交点为点，与轴的交点为点，先求出的长，再根据的面积为求解即可得． 【小问1详解】 解：将点代入得：， ∴， 将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将点代入得：，解得， ∴， 关于不等式表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方（含交点）， 补全反比例函数的图象如下： 则结合函数图象可知，关于的不等式的解集为或， 故答案为：或． 【小问3详解】 解：如图，设一次函数与轴的交点为点，与轴的交点为点， 将代入得：，解得，即， 将代入得：，即， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 19. 一位助农主播利用（“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 【答案】（1） （2），每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握知识点是解题的关键． （1）根据当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，列出一次函数解析式，并求出x的取值范围，即可解答； （2）根据每天的销售利润等于单件的利润每天的销售量，列出二次函数，再由确定W的最大值，即可解答． 【小问1详解】 解：， 由 ， 解得． 【小问2详解】 ， 由，开口向下，对称轴为， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为（元）． 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元． 20. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 21. 如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，结合共用，推出，得到； （2）证明是的直径，得到，根据，得到．根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形性质即得． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵， ∴是的直径， ∴， 由（1）可得． ∵， ∴ ．在 中， ， 在中， ． 【点睛】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理解直角三角形，圆周角定理及推论，全等三角形的性质与判定，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键． 22. 综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______． 类比迁移（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）①，的最小值为32；②或 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的应用等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造圆，利用到圆的性质是解题关键． （1）根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，，则，即，由此即可得； （2）先证出，再根据相似三角形的性质可得，，则，即，由此即可得； （3）①先证出四边形是正方形，再过点作于点，则，分和两种情况，求出的长，然后利用勾股定理可得，则可得关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可得的最小值； ②连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，先根据圆周角定理可得点在上，，再过点作于点，过点作于点，根据垂径定理可得，，根据矩形的判定与性质可得，利用勾股定理可得的长，然后求出正方形的面积的值，代入函数关系式求解即可得． 【详解】解：（1）当时，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：，． （2），，证明如下： ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）①当时，， ∴，， ∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形． 如图，过点作于点，则， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为32． ②如图，连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径， 由上已证：，即， ∴点在上， 由圆周角定理得：， 过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴直径， ∴正方形的面积， 由（3）①已得：， ∴， 解得或，均符合题意， 所以的长度为或． 23. 已知抛物线：与轴一交点，将抛物线：平移使平移后的抛物线：过点，并且最大值为，与轴另一交点在的右侧如图 （1）直接写出抛物线的解析式______． （2）求抛物线解析式并叙述拋物线怎样平移得抛物线． （3）直线与抛物线从左到右交于点，，，，直线（）与抛物线交于，（在左）． ①若，请直接写出的值______． ②点，，，的横坐标依次为，，，，若满足，求值． 【答案】（1） （2）抛物线的解析式为，抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度得抛物线 （3）①5；②． 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式即可得解； （2）由抛物线的解析式得其顶点坐标，结合题中所给的平移后的抛物线：过点，并且最大值为即可得出其平移规律及平移后的顶点坐标，设顶点式解析式后将点代入可求新解析式； （3）①由平移性质得，的值即为向上平移的单位长度； ②根据二次函数与一元二次方程的关系可得，是的解，，是的解，且，再由根与系数的关系求出、、、的值 ，结合完全平方公式的变形求出、的值，代入后解方程即可得值． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线：得，， ， 则抛物线的解析式为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）得，则抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为，最大值为， 平移后的抛物线：过点，并且最大值为， 抛物线由抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度得到， 则抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 综上，抛物线的解析式为，抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度得抛物线． 【小问3详解】 解：①由平移性质得，平移不改变抛物线的形状和大小， 若，的值即为向上平移的单位长度， ． 故答案为：． ②直线与抛物线从左到右交于点，，，， 点，，，的横坐标依次为，，，， ，是的解，，是的解，且， ，， ，， ， ， ， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移、平移性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程中根与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育才中学教育集团九年级2024~2025学年度上学期数学学科第二次限时作业 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长共120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则的长是（ ） A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 12 5. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A. B. 且 C 且 D. 且 6. 一次函数经过一、三、四象限，则抛物线图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 8. 反比例函数图像经过点并且，则，，的大小正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径是（ ） A. 24厘米 B. 26厘米 C. 28厘米 D. 30厘米 10. 已知抛物线图像的一部分，对称轴是直线且过点下列关系中正确个数（ ） ①； ②； ③若方程有两个不相等的实数根，则； ④； ⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知抛物线过点，则______． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是________． 13. 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为__________. 14. 已知图像过点，且在第一象限图像上，则点的坐标为______． 15. 如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则______． 三、解答题（本题共8小题共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解一元二次方程： （1） （2） 17. 在投掷铅球时，铅球所经过的路线可以看作抛物线的一部分．如图，是小明在校运动会上某次试投中铅球所经过的路线．这次试投时，铅球从出手到落地的过程中，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度（米） 3 （1）根据以上数据，铅球运行的竖直高度的最大值为______米； （2）求小明这次试投的投掷距离（出手点与着陆点的水平距离）． 18. 如图，反比例函数（且）的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集：______； （3）连接，，求的面积． 19. 一位助农主播利用（“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 20. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 21. 如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求长． 22 综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______． 类比迁移（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用（3）在（1）条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 23. 已知抛物线：与轴一交点，将抛物线：平移使平移后的抛物线：过点，并且最大值为，与轴另一交点在的右侧如图 （1）直接写出抛物线的解析式______． （2）求抛物线解析式并叙述拋物线怎样平移得抛物线． （3）直线与抛物线从左到右交于点，，，，直线（）与抛物线交于，（在左）． ①若，请直接写出的值______． ②点，，，的横坐标依次为，，，，若满足，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $