第二章 等式与不等式（复习课件）数学人教B版2019必修第一册

该高中数学单元复习课件聚焦等式与不等式核心内容，通过单元知识图谱系统梳理等式的性质、方程解集、一元二次方程根与系数关系，以及不等式的性质、解法和均值不等式，构建知识间内在逻辑网络。 其亮点在于考点串讲结合题型剖析，涵盖因式分解、换元法等8类题型，如均值不等式求最值的配凑法和“1”的代换，针对训练融入分类讨论思想，培养数学运算与逻辑推理能力。知识图谱助力体系构建，分层设计提升复习效率，便于教师精准教学。

单元复习课件 第二章等式与不等式 人教B版2019必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.通过类比，理解等式与不等式的共性与差异，掌握基本不等式； 发展学生逻辑推理和数学运算能力 3.会用基本不等式求最值，培养转化的思想方法 2. 会解含参一元二次不等式，逐步学会对参数分类 单元学习目标 等式与不等式 等式 等式的性质 方程的解集 一元二次方程的解集 一元二次方程根与系数的关系 方程组的解集 不等式 不等式及其性质 不等式的解集 一元二次不等式的解法 均值不等式及其应用 单元知识图谱 一、等式 （一）等式的性质与方程 的解集 1.等式的性质 （1）若a=b，则∀c，ac=bc （2）若a=b，则∀c≠0，ac=bc （3）若a=b，则∀c≠0，= （4）若a=b，则b=a （5）若a=b且b=c，则a=c c在不为零的条件下，a=b是ac=bc的充要条件 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. 恒等式是进行代数变形的依据之一 考点串讲 一、等式 十字相乘法 交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项 acx2+(ad+bc)x+bd ax cx b d adx+bcx=(ad+bc)x 横向写出两因式 acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) 口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项 （拆两头，凑中间） 考点串讲 一、等式 3.方程的解集 方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值. 一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，结合任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零这一结论，可以得到方程的解集. 考点串讲 一、等式 （二）一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.一元二次方程的常用解法 （1）因式分解法 适用于一边为0，另一边易分解成两个一次因式的积的一元二次方程 可用的方法有提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法 （2）公式法 适用于所有的一元二次方程 利用求根公式，由一元二次方程的系数的值求得方程的解 考点串讲 一、等式 ， 利用配方法化简的过程 具体步骤 ①提取二次项系数 ②在括号内加并减“一次项系数一半的平方” ③化简整理:将括号中写成平方式，并将括号外计算出结果 配方法： 利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式 考点串讲 一、等式 因此可以化为. 从而可知，的符号情况决定了上述方程的解集情况： (1)当时，方程的解集为； (2)当时，方程的解集为； (3)当时，方程的解集为. 一般地，称为一元二次方程的判别式.由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定. 求根公式 考点串讲 一、等式 2.一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程的解集不是空集时，这个方程的解可以记为 韦达定理 考点串讲 一、等式 求方程组解集常用的方法： 代入消元法、加减消元法 （三）方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集. 考点串讲 二、不等式 （一）不等式及其性质 1.不等式的性质 性质1 如果，那么 性质2 如果，，那么 性质3 如果，，那么 性质4 如果，那么 性质5 推论1 如果，那么 推论2 如果，那么 推论3 如果，那么 推论4 如果那么 推论5 如果那么 考点串讲 二、不等式 （一）不等式及其性质 2.证明不等式的方法 （1）作差法 ， ， 要比较两个实数，的大小， 只要考察与的相对大小就可以了 实质：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小 （2）反证法 特点：间接证明（正难则反） 实质：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出 假设不成立 考点串讲 二、不等式 （3）综合法 思路：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论 最重要的推理形式：，其中是已知或者已经得出的结论 实质：不断寻找必然成立的结论 （4）分析法 思路：执果索因 最重要的推理形式：“要证，只需证明”,这可以表示为其中是需要证明的结论 实质：不断寻找结论成立的充分条件 当证明不知如何入手时，有时可以运用分析法从结论入手探讨证明的思路，事实上，人们经常用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程 考点串讲 二、不等式 （二）不等式的解集 1.不等式的解集与不等式组的解集 一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集 称为不等式组的解集 2.绝对值不等式 （1）绝对值的几何意义 数轴上表示数的点与原点的距离称为数的绝对值，记作 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上数a和数b之间的距离 考点串讲 二、不等式 （2）绝对值的代数表示 绝对值不等式的代数解法 （即分类讨论法去掉绝对值符号的方法） 解决绝对值问题的关键 （3）含绝对值不等式与的解集(其中m>0） 类型 数轴表示 解集 一般地，当c>0时 (1) (2) 考点串讲 二、不等式 一般地，如果实数，在数轴上对应的点分别为，，即，，则线段的长为，这就是数轴上两点之间的距离公式. 更进一步，如果线段的中点对应的数为，.这就是数轴上的中点坐标公式. （4）数轴上两点间的距离公式和中点坐标公式 利用中点坐标公式能方便地求解形如 这是因为根据绝对值的几何意义，原不等式的解是数轴上到表示a的点的距离大于到表示b的点的距离的点所对应的数，即数轴上表示a的点与表示b的点的中点靠正方向的点对应的数，所以原不等式的解集为, 考点串讲 二、不等式 （三）一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式 形如ax²+bx+c>0的方程为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，且a≠0 一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≤”“≥” 2.一元二次不等式的解法 （1）因式分解法 一般地，如果，则 不等式的解集是， 不等式的解集是． 考点串讲 二、不等式 用因式分解法解一元二次不等式的基本步骤 ①将不等式右边化为0 ②将不等式左边分解为两个一次因式乘积的形式 ③用符号法则，把一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组 ④解不等式组 ⑤写出原不等式的解集：两个不等式组解集的交集 两个实数相乘， 同号为正，异号为负 考点串讲 二、不等式 （2）配方法 形如（或）的一元二次不等式解集的情况 R R R 配方法解一元二次不等式的关键： 用配方法先将一元二次不等式化为或(为常数)，再求解集 考点串讲 二、不等式 实质：由分式不等式转化成整式不等式 方法一 方法二 3.分式不等式的解法 考点串讲 二、不等式 （四）均值不等式及其应用 1.均值不等式（也称为基本不等式） 如果a,b都是正数，那么 当且仅当a=b时，等号成立 实质：两个正数的算数平均值不小于它们的几何平均值 几何意义1：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 几何意义2：即半圆上的点到直径的距离不大于半圆的半径 考点串讲 二、不等式 利用均值不等式求最值遵循的原则： 一正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数， 如果有负数则考虑变形或使用其它方法 二定：求和的最小值时，必须把构成和的二项之积转化为定值 求积的最大值时，必须把构成积的因式之和转化为定值 三相等：利用均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件， 若不能取等号则这个定值就不是所求的最值（易出错） 注：①若求最值的过程中，多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须同时成立 ②若涉及的变量初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围 考点串讲 二、不等式 2.其他重要不等式 （1） （2） （3）不等式链： 考点串讲 题型一 因式分解 例1 解： x x 原式 解： 我们把这种从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法 平方差公式 题型剖析 这两个式子对应项相等， 得出方程组 1. 针对训练 分类讨论的数学思想 2. 针对训练 题型二 一元二次方程的解集 例2 换元时要写出新变量的取值范围，以免出现增根 解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法一般称为换元法 题型剖析 易忽视 针对训练 题型三 一元二次方程根与系数的关系 例3 注：a的取值范围一定要先求，有时候后面取舍a的值要用到 化简出两根之和、两根之积 才能用韦达定理 题型剖析 立方和公式 注意限制m的这些条件 针对训练 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 题型四 方程组的解集 例4 题型剖析 针对训练 题型五 不等式及其性质 例5 分析法证明不等式的基本步骤： 要证......只需证......即证...... 题型剖析 1. 针对训练 2. ①假设结论的否定成立 ②由此进行推理得到矛盾 ③得出假设不成立 反证法证明不等式的基本步骤： 针对训练 题型六 绝对值不等式 例6(1) 解： 题型剖析 解： 例6(2) 题型剖析 分类讨论思想 针对训练 题型七 一元二次不等式 例7 先把二次项系数化为正值， 再因式分解 题型剖析 解： 针对训练 题型八 利用均值不等式求最值 1.配凑法 例8(1) 通过添项、拆项、变系数等方法凑成“和为常数”或“积为常数”的形式 题型剖析 2.和积转化 适用于 例8(2) 解： 题型剖析 例8(3) 3.平方和与积型转化 适用于 求或的最值，利用 求的最值，先利用, 再利用均值不等式放缩掉 题型剖析 题型剖析 4.“1”的代换 类型一：已知正数x,y满足,求的最小值（ 例8(4) ① 题型剖析 类型二：已知正数x,y满足,求的最小值（ 例8(4) ② 题型剖析 5.消元法 消去一个参数，转化为只含有一个变量的式子 例8(5) 题型剖析 6.借助均值不等式求分式的最值 关键：让分式的分子变为常数 求的最小值 例8(6) 换元法 题型剖析 (多选) 1. 针对训练 针对训练 1的代换 2. 针对训练 配凑法：积为定值求和的最小值 3. 针对训练 1.一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2.绝对值不等式 3.一元二次不等式 4.均值不等式：一正、二定、三相等 5.利用均值不等式求最值 课堂总结 感谢聆听! $$