3.1.1函数及其表示方法 第1课时 课件——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.1 函数及其表示方式 第1课时 整体概览 问题1 阅读课本本节内容,回答下列问题: (1)本章将要研究哪类问题? (2)本章要研究的对象在高中的地位是怎样的? (3)本章研究的起点是什么?目标是什么? 情景与探究 探究(1)国家统计局的课题组公布,如果将2005年中国创新指数记为100,近些年来中国创新指数的情况如下表所示. 以y表示年度值,i表示中国创新指数的取值,则i是y的的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示? 年度 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 中国创新指数 116.5 125.5 131.8 139.6 148.2 152.6 158.2 171.5 情景与探究 探究(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以描绘出心电图,如下图所示.医生在看心电图时,会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等). 如果用t表示测量的时间,v表示测量的指标值,则v是t的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示? 新知探究 定义:一般地,给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作 形成定义 y=f(x),x∈A. 其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域,所有函数值组成的集合称为函数的值域. 新知探究 例1 求下列函数的定义域: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解: (1)因为函数有意义当且仅当 解得x>-1,所以函数的定义域为(-1,+∞); 6 新知探究 例1 求下列函数的定义域: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解: (2)因为函数有意义当且仅当 , (-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞) 解得x≠0且x≠-2,因此函数的定义域为 7 新知探究 例1 求下列函数的定义域: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解: (3)因为 ,所以原函数的定义域为R; (4)虽然 ,但是因为只有非负数才有平方根,所以原函数的定义域为[0,+∞); 8 新知探究 例1 求下列函数的定义域: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解: (6)由 -1≥0可得 ≥0,即0<x≤1,可知原函数的定义域为(0,1]. (5)由 可知原函数的定义域为 ; 9 新知探究 方法总结:求函数定义域常用的依据: (1)若函数f(x)是整式,则其定义域为R; (2)若函数f(x)是分式,则其定义域是所有使分母不等于零的实数组成的集合; (3)若函数f(x)是无理式,则其定义域是所有使根式中的被开方数不小于零的实数组成的集合. (4)若函数f(x)是由几个数学式子构成,则其定义域是使各部分都有意义的实数组成的集合. 新知探究 例2 设函数 的值域为S,分别判断 和3是否是S中的元素. 解: 由于 恒成立,所以 无解,因此 ∉S. 当 时,可解得x=8,即g(8)=3,所以3∈S. 追问:你能求出集合S吗? 由于S=[0,+∞). 11 新知探究 例3 已知 (1)求f(-1),f(0)和f(2); (2)求函数f(x)的值域. 解: (1)由已知可得 12 新知探究 例3 已知 解: (2)方法一:因为x≥0,所以x2+1≥1恒成立,从而可知 又因为当x的绝对值逐渐变大时,函数值会逐渐接近于0,但不会等于0,因此所求函数的值域为(0,1]. (2)求函数f(x)的值域. 13 新知探究 例3 已知 (2)求函数f(x)的值域. 解: (2)方法二:假设t是所求值域中的元素, 则关于x的方程 应该有解 , 即 应该有解, 解得0<t≤1.因此所求值域为(0,1]. 从而 ,即 , 14 新知探究 例3 已知 (2)求函数f(x)的值域. 方法总结:方法一实质上用的是不等式的性质,即可以利用不等式的性质求一类函数值域.方法二实质上是通过定义域构造不等式来求函数的值域. 15 新知探究 例4 求函数 的值域. 解: 因为 可以取所有非零实数, 所以f(x)可以取所有除3以外的实数, 由 , 所以函数 的值域为(-∞,3)∪(3,+∞). 方法总结:求函数值域常见方法有直接法、逆求法、观察法、配方法、换元法等. 16 归纳小结 问题2 回顾本节课,你有什么收获? (1)什么叫函数?函数有哪三要素? (2)什么叫函数的定义域?如何求函数的定义域? (3)什么叫函数的值域?如何求函数的值域? 作业:教科书练习B 1、2、4、5 作业布置 再 见 $$