甘肃省平凉市第四中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年甘肃省平凉四中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.要使式子有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＞0 B. x≥-2 C. x≥2 D. x≤2 2.下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3.下列各组数据中，不是勾股数的是（　　） A. 3，4，5 B. 7，24，25 C. 8，15，17 D. 5，7，9 4.如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=42m，BC=64m，DE=26m，则AB等于（　　） A. ．42m B. ．52m C. ．56m D. ．64m 5.在今年的体育考试中，某校甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2=10，S乙2=25，S丙2=20，S丁2=15，则四个班体育考试成绩最整齐的是（　　） A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 丁班 6.如图，要使▱ABCD成为菱形，需要添加的条件可以是（　　） A. AB=AC B. AC⊥BD C. ∠BAC=90° D. AC=BD 7.如图，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（m，0）（m＞1），与函数y=2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（　　） A. x＜2 B. x＜1 C. x＞1 D. x＞2 8.若一次函数y=2x+1的图象经过点（-3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1≤y2 D. y1≥y2 9.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=6，F为DE的中点.若OF的长为1，则△CEF的周长为（　　） A. 14 B. 16 C. 18 D. 12 10.如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.=______． 12.数据5、3、8、7、8、7、7的众数是______，中位数是______. 13.若一次函数y=kx-2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k=______（写出一个满足条件的值）． 14.把直线y=2x-1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为______． 15.如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC=90°，AD=4，CD=3，AB=13，BC=12，则绿地的面积为           . 16.勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有______个正方形. 三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题4分) 计算：×-． 18.(本小题4分) 计算：. 19.(本小题8分) 在△ABC中，AC=5，BC=10，AB=5，求证：△ABC是直角三角形. 20.(本小题10分) 已知y是x的一次函数，当x=2时，y=-3；当x=-2时，y=1. （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x为何值时，y=5？ 21.(本小题10分) 如图，在平行四边形ABCD中，AE是∠DAB的平分线，交CD于点E，F是AB上的一点，连接EF，且CE=BF.求证：四边形ADEF是菱形. 22.(本小题10分) 某种子站销售一种玉米种子，单价为5元/千克，为惠民促销，推出以下销售方案：付款金额y（元）与购买种子数量x（千克）之间的函数关系如图所示． （1）当x≥2时，求y与x之间的函数关系式； （2）徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少千克？ 23.(本小题8分) 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛.在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m,n的值：m=______，n=______； （2）______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以.你认为他说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）. 24.(本小题10分) 如图，直线y=kx+1（k≠0）与两坐标轴分别交于点A、B，直线y=-2x+4与y轴交于点C.与直线y=kx+1交于点D，△ACD的面积为. （1）求k的值； （2）点P在直线y=-2x+4上，如果△BOP的面积为4，求点P的坐标. 25.(本小题10分) 随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售中心决定购进A型和B型两款新能源汽车共30辆，设购进A型新能源汽车a辆，销售完这两款新能源汽车可获得的总利润为w万元. A，B两款新能源汽车的进价和售价如表所示： 型号 A B 进价（万元/辆） 16 24 售价（万元/辆） 20 30 （1）求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； （2）B型汽车的数量不超过A型汽车的数量的2倍.如何制定进货方案，才能使该汽车销售中心获得的利润最大，最大利润是多少？ 26.(本小题10分) 已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点. （1）如图1，连接BE，DE.求证：BE=DE； （2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G.判断△FBG的形状并说明理由. 27.(本小题12分) 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（12，0）、C（0，9），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段OB的长度为______； （2）求直线BD所对应的函数表达式； （3）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1.【答案】  【解析】解：根据题意，得 x+2≥0， 解得，x≥-2． 故选：B． 二次根式的被开方数是非负数． 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2.【答案】  【解析】解：A．原式==，所以A选项不符合题意； B．原式=2，所以B选项不符合题意； C．原式==×，所以C选项不符合题意； D．原式=，所以D选项符合题意． 故选：D． 根据二次根式的除法法则对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 3.【答案】  【解析】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，是整数，故错误； B、72+242=252，能构成直角三角形，是整数，故错误； C、82+152=172，构成直角三角形，是正整数，故错误； D、52+72≠92，不能构成直角三角形，故正确； 故选：D． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 此题主要考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：∵CD=DA，CE=EB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=AB， ∵DE=26m， ∴AB=52m， 故选：B． 利用三角形的中位线定理即可解决问题． 本题考查三角形的中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5.【答案】  【解析】【分析】 根据四个班的平均分相等结合给定的方差值，即可找出成绩最稳定的班级． 本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【解答】 解：∵甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2=10，S乙2=25，S丙2=20，S丁2=15，且10＜15＜20＜25， ∴甲班体育考试成绩最整齐． 故选：A． 6.【答案】  【解析】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故选：B． 根据菱形的判定定理和平行四边形的性质进行判断即可． 本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是关键． 7.【答案】  【解析】解：在y=2x中，令y=2时，则2x=2， ∴x=1， ∴A（1，2）， 由图可得：不等式kx+b＜2x的解集为x＞1． 故选：C． 先求出A点坐标，再观察图象，利用一次函数与一元一次不等式的关系得出结论． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 8.【答案】  【解析】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0， ∴y随着x的增大而增大． ∵点P1（-3，y1）和P2（4，y2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4， ∴y1＜y2． 故选：A． 先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键． 9.【答案】  【解析】解：在正方形ABCD中，BO=DO，BC=CD，∠BCD=90°， ∵F为DE的中点， ∴OF为△DBE的中位线，ED=2CF=2EF， ∴△CEF的周长为EF+EC+FC=ED+EC， ∵OF=1， ∴BE=2OF=2， ∵CE=6， ∴BC=BE+CE=2+6=8， ∴CD=BC=8， 在Rt△CED中，∠ECD=90°，CD=8，CE=6， ∴ED=， ∴△CEF的周长为EF+EC+FC=ED+EC=10+6=16， 故选：B． 由正方形的性质及三角形的中位线可求得BE=2，由直角三角形斜边上的中线可求得△CEF的周长为ED+EC，利用勾股定理可求解ED的长，进而可求解． 本题主要考查勾股定理，正方形的性质，三角形的中位线，求解ED的长是解题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为3解答即可． 本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键． 【解答】 解：在菱形ABCD中，∠A=60°， ∴△ABD为等边三角形， 设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为3， ∴△ABD的面积=a2=3， 解得：a=， 故选：B． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次根式的化简求值，正确开平方是解题的关键． ​​​​​​​将被开方数12分解为4×3，进而开平方即可得出答案． 【解答】 解：==×=， 故答案为：​​​​​​​． 12.【答案】  【解析】解：在这组数据5、3、8、7、8、7、7中，7出现的次数最多，则众数是7； 数据重新排列：5、3、7、7、7、8、8．即中间的第四个数据是7，故中位数为7； 故答案为：7；7． 根据众数的概念及中位数的求法即可求解． 本题考查了众数与中位数，理解这两个概念是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：∵函数值y随着自变量x值的增大而增大， ∴k＞0， ∴k=2（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一）． 根据函数值y随着自变量x值的增大而增大得到k＞0，写出一个正数即可． 本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小是解题的关键． 14.【答案】  【解析】【试题解析】 解：把直线y=2x-1向左平移1个单位长度，得到y=2（x+1）-1=2x+1， 再向上平移2个单位长度，得到y=2x+3． 故答案为：y=2x+3． 直接利用一次函数的平移规律进而得出答案． 此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3， ∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，AC=5, 在△ABC中，AC2+BC2=25+122=169，AB2=132=169， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°， ∴S绿地=SRt△ABC-SRt△ACD=×5×12-×4×3=24， 故答案为：24． 先根据勾股定理求出AC2=25，再根据勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，然后根据S绿地=SRt△ABC-SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解． 本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有1+21=3个正方形， 第3个图形有1+21+22=7个正方形， ∴第5个图形中共有1+21+22+23+24=31个正方形， 故答案为：31． 观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21=3个正方形，第3个图形有1+21+22=7个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 本题考查图形类规律探究，正确找出规律是解题的关键． 17.【答案】  【解析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可． 本题考查了二次根式的混合运算，掌握•=（a≥0，b≥0）是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解： =3-2+1+4-5 =3-2． 先用完全平方公式和平方差公式展开，再算加减． 本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式． 19.【答案】  【解析】证明：∵AC2+AB2=52+（5）2=100，BC2=102=100， ∴AC2+AB2=BC2， ∴△ABC直角三角形， 根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】  【解析】（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），由条件可得： ，解得， ∴y=-x-1． （2）当y=5时， 5=-x-1，解得：x=-6． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把y=5代入（1）中解析式，即可求解． 本题主要考查了求一次函数的解析式：熟练掌握该知识点是关键． 21.【答案】  【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵BF=CE， ∴AB-BF=CD-CE， ∴AF=DE， ∵点E，点F在边CD，AB上， ∴DE∥AF， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∵AE是∠DAB的平分线， ∴∠DAE=∠FAE， ∵DE∥AF， ∴∠FAE=∠DEA， ∴∠DAE=∠DEA， ∴AD=DE， 又∵四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形ADEF是菱形． 先由平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，再证明AF=DE，进而证明四边形ADEF是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明∠DAE=∠DEA，得到AD=DE，据此可证明结论． 本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，关键是平行四边形性质的熟练掌握． 22.【答案】  【解析】（1）当x≥2时函数为一次函数，用待定系数法求函数解析式； （2）把y=20代入（1）中解析式求解即可． 本题考查一函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 23.【答案】  【解析】（1）乙运动员的成绩按照从小到大排列是：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10， 所以乙的中位数m==8.5， ∴甲运动员成绩中8环的最多，故众数n=8； 故答案为：8.5，8； （2）∵甲的方差是2.01，乙的方差是1.61，1.61＜2.01， ∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定； 故答案为：乙； （3）他说得不对， 理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定，所以应该推荐乙队员参赛． （1）根据中位数和众数的定义可以解答本题； （2）根据方差的意义判断即可； （3）根据方差越小越稳定可以解答本题． 本题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握这些知识点是关键． 24.【答案】  【解析】（1）当x=0时，y=k×0+1=1， ∴点A的坐标为（0，1）； 当x=0时，y=-2×0+4=4， ∴点C的坐标为（0，4）． 设点D的坐标为（t,-2t+4）， ∵△ACD的面积为， ∴， 解得：t=1， ∴点D的坐标为（1，2）， 把D（1，2）代入y=kx+1得：k+1=2， 解得：k=1， ∴k的值为1； （2）当y=0时，x+1=0， 解得：x=-1， ∴点B的坐标为（-1，0）． 设点P的坐标为（m,-2m+4）， ∵△BOP的面积为4， ∴×1×|-2m+4|=4， 解得：m=-2或m=6， ∴点P的坐标为（-2，8）或（6，-8）． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，C的坐标，设点D的坐标为（t,-2t+4），根据△ACD的面积为，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，进而可得出点D的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出k的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，设点P的坐标为（m,-2m+4），根据△BOP的面积为4，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再将其代入点P的坐标中，即可得出结论． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解一元一次方程，利用三角形的面积计算公式，找出关于t（或m）的一元一次方程是解题的关键． 25.【答案】  【解析】（1）由题意，得w=（20-16）a+（30-24）（30-a）=-2a+180， 即：w与a的函数关系式为：w=-2a+180； （2）由题意，得30-a≤2a, 解得：a≥10， 又∵a≤30， ∴10≤a≤30， 由（1）得w=-2a+180， ∵k=-2＜0， ∴w随a的增大而减小， ∴当a=10时，w最大值=-2×10+180=160， ∴30-a=30-10=20， 答：购进A型汽车10辆，B型汽车20辆时，才能使销售中心获得的利润最大，最大利润是160万元． （1）根据“利润=售价-进价”即可求解； （2）根据“B型汽车的数量不超过A型汽车的数量的2倍”得10≤a≤30，再根据一次函数的性质即可求解． 本题考查了一元一次不等式和一次函数的实际应用．理解题意是关键． 26.【答案】  【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（ASA）， ∴DE=DE； （2）解：△ABG是等腰三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， 在Rt△ADG中，∠ADG+∠AGD=90°， ∵∠AGD=∠FGB， ∴∠ADG+∠FGB=90°， ∵FB⊥BE， ∴∠FBG+∠ABE=90°， 由（1）可知：△ABE≌△ADE， ∴∠ADG=∠ABE， ∴∠FGB=∠FBG， ∴△FBG是等腰三角形． （1）根据正方形性质得AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，由此可依据“SAS”判定△ABE和△ADE全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据∠BAD=90°得∠ADG+∠AGD=90°根据∠AGD=∠FGB得∠ADG+∠FGB=90°，再根据FB⊥BE得∠FBG+∠ABE=90°，再根据△ABE和△ADE全等得∠ADG=∠ABE，由此得∠FGB=∠FBG，据此即可判定△FBG的形状． 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定是解决问题的关键． 27.【答案】  【解析】【分析】 （1）根据勾股定理即可解决问题； （2）设AD=x，则OD=OA=AD=12-x，根据折叠的性质，DE=x，BE=AB=9，又OB=15，可得OE=OB-BE=15-9=6，在Rt△OED中，根据OE2+DE2=OD2，构建方程即可解决问题； （3）过点E作EP∥BD交BC于点P，过点P作PQ∥DE交BD于点Q，则四边形DEPQ是平行四边形，再过点E作EF⊥OD于点F，想办法求出直线PE的解析式即可解决问题； 本题考查一次函数综合题、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题． 【解答】 解：（1）在Rt△ABC中，∵OA=12，AB=9， ∴OB===15． 故答案为15． （2）见答案； （3）见答案. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$