第21章 一元二次方程（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年人教版数学九年级上册优选题练习卷（新教材）

2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第21章 一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了，3月份的利润比2月份的利润下降了，则该公司3月份比1月份利润增长了（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东聊城·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程 的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论： ； ； ； ，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （    ） A． B．且 C．且 D．且 5．（24-25九年级下·山东临沂·期中）如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B． C．或 D． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数，满足则点到原点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 13．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若a，b是方程的两根，则 ． 14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）一元二次方程配方，得，则是 ． 15．（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 16．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，点E在边上，连接，，．若，则的长为 ．    17．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 18．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·四川宜宾·期末）解方程 (1) (2) 20．（本题6分）（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 21．（本题8分）（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图1，当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到6条线段；如图3，当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到10条线段……根据题意，回答下列问题． (1)当线段上有4个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． (2)若线段上有个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． (3)若在线段上得到66条线段，则线段上除端点之外还有多少个点？ 22．（本题8分）（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． (1)设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； (2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； (3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 23．（本题8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 24．（本题8分）（23-24九年级上·广东河源·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 25．（本题10分）（24-25九年级上·河南郑州·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 26．（本题10分）（24-25九年级上·江苏扬州·期末）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第21章 一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了，3月份的利润比2月份的利润下降了，则该公司3月份比1月份利润增长了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查增长率的实际应用和代数式的运算，解题关键是设1月利润为基础量，通过表示出2月、3月利润，推导3月相对1月的增长关系 ． 设1月份利润为1，计算2月份增长后的利润，再计算3月份下降后的利润，最后求3月份相对于1月份的增长率． 【规范解答】解：设1月份利润为1（单位利润），根据题意得 2月份利润为， 3月份利润为 3月份相对于1月份的增长率为 故选：D． 2．（2025·山东聊城·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程 的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论： ； ； ； ，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了根与系数的关系，多项式乘以多项式，通过将三次方程写成因式分解形式并展开，与原方程比较系数，得出根与系数的关系，进而验证各结论的正确性，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【规范解答】解：三次方程可表示为， ∴， ∴，，， ∴，，，故结论正确； 由，结论正确， 综上正确， 故选：． 3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 先根据n方程的实数根得出，结合根与系数的关系求出，然后利用整体代入的方法计算． 【规范解答】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，即， ∴， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可． 【规范解答】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 5．（24-25九年级下·山东临沂·期中）如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，设长为，则的长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【规范解答】解：设长为，则的长为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴长为， 故选：B． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数，满足则点到原点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查点的坐标，勾股定理，配方法，算术平方根，熟练掌握配方法是解题的关键．由点到原点的距离为：，结合逐步整理，最后将被开方数配方进行求解即可． 【规范解答】解：∵P点坐标为， ∴点到原点的距离为：， ∵， ∴ ， 故选：B． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是解一元二次方程，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【规范解答】解：， ， ， ． 故选：A． 8．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 9．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 【答案】A 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 首先根据非负性得到，则，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可． 【规范解答】解：∵ ∴， ∴， ∴， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ③时，， 则化为：，解得：或（舍）； ④时，， 则化为：，解得：或（舍）； ⑤当时，均不成立， ∴方程的解为或或， 故选：A． 10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求代数式的值，提公因式法因式分解．若，是一元二次方程的两根时，，．利用一元二次方程的根与系数的关系求得和的值，并将其代入变形后的代数式求值即可． 【规范解答】解：根据根与系数的关系得，， ∴ ． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式，不等式的应用．根据题意得到矩形周长为12，面积为，设矩形的一边长为，则另一边为，则，即，根据方程有实数根列出不等式，求解即可． 【规范解答】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为， 则， 整理得：， 由题意得原方程有实数根， ， ． 又， ， 即的取值范围为：． 13．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若a，b是方程的两根，则 ． 【答案】2022 【思路引导】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据a、b是方程的两根，可得，，求出，进一步计算即可． 【规范解答】解：∵a、b是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2022． 14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）一元二次方程配方，得，则是 ． 【答案】9 【思路引导】本题主要考查了配方法，掌握配方步骤正确计算是本题的解题关键．将原方程进行配方，然后求解即可． 【规范解答】解： ， ，，即， ． 故答案为：9． 15．（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 16．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，点E在边上，连接，，．若，则的长为 ．    【答案】 【思路引导】过点作于点，延长至点使，连接，证明，得到，证明，进而得到，设，得到，进而得到，在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：过点作于点，延长至点使，连接，    则：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：或（舍去）； ∴， ∴； 故答案为：． 【考点评析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 17．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查了公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可知是方程的解，利用判别式可判断①；由方程的两根符号相同，由根与系数的关系可得，，对于方程，则有和，可判断②；由是方程的一个根，则有，可判断③；由题意得，利用公式法解方程，可判断④，即可得出结论． 【规范解答】解：若，则是方程的解，即方程有实数根， ，故①正确； 若方程的两根符号相同，设两根为、， ，， 符号相同， 对于方程，则， 方程有实数根，设两根为、， ， 、符号相同，故②正确； 若是方程的一个根，则有， ， 或， 当时，不一定有成立，故③错误； 若的一个实数根为4，则有， 对于方程，则， ， ， ，， 方程定有一个实数根为，故④正确； 综上所述，其中正确的是①②④． 故答案为：①②④． 18．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ． 【答案】2029 【思路引导】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．先根据根与系数的关系得出，，再利用一元二次方程解的定义得到，，从而得到，，则原式化简为，最后利用整体代入的方法计算即可． 【规范解答】解：、是一元二次方程的两个实数根 ，，， ， ，即 故答案为：2029． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·四川宜宾·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）先计算，再利用公式法解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20．（本题6分）（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式及方程根的应用，解题关键是用判别式判断根的情况，将根代入求参数，再化简代数式求值． （1）通过化简方程的判别式得出，根据，证得方程总有两个不等实数根． （2）把代入原方程，得，求出或；再化简代数式为，最后将的两个值分别代入化简式，计算得结果． 【规范解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根． （2）解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5． 21．（本题8分）（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图1，当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到6条线段；如图3，当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到10条线段……根据题意，回答下列问题． (1)当线段上有4个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． (2)若线段上有个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． (3)若在线段上得到66条线段，则线段上除端点之外还有多少个点？ 【答案】(1)5，15 (2)，； (3)10个 【思路引导】本题考查图形类规律探究及一元二次方程，找到图形变化规律是解答的关键． （1）依次求得线段上有1个、2个、3个点时分成的部分和线段条数，找到变化规律即可求解； （2）根据（1）中分成的部分及线段的总数与n的关系得出规律即可求解； （3）由（2）中结论列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到（条）线段； 当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到（条）线段； 当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到（条）线段， ∴当线段上有4个点时，可将线段分成5个部分，可得到（条）线段， 故答案为：5，15； （2）解：由（1）得当线段上有n个点时，可将线段分成个部分，可得到（条）线段， 故答案为：，； （3）解：由题意，得，整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴线段上除端点之外还有10个点． 22．（本题8分）（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． (1)设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； (2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； (3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【答案】(1) (2)54元或56元 (3)不能达成这个“小目标”，理由见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降x元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设售价每千克下降m元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【规范解答】（1）由题意可知，每天能售出：千克，即千克， 故答案为： （2）解∶ 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： 解得：， ∴或 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额 （3）解∶ 按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： ∴ ∴不能达到这个“小目标”． 23．（本题8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 24．（本题8分）（23-24九年级上·广东河源·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 【答案】(1) (2)“两根点”P的坐标为． 【思路引导】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 25．（本题10分）（24-25九年级上·河南郑州·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 (2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【规范解答】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件）， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 26．（本题10分）（24-25九年级上·江苏扬州·期末）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________． 【答案】(1)截去的小正方形的边长； (2)． 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据长方形的面积公式列一元二次方程求出边长． 设正方形的边长为，根据长方体盒子的底面积为，列一元二次方程求解，要把不符合题意的解舍去； 设左侧阴影正方形的边长为，根据盒子的底面积为为，列一元二次方程求出阴影正方形的边长，再求出盒子底面的长和宽，从而可以求出右侧阴影长方形的长，根据长方形的面积公式求出边角料的面积． 【规范解答】（1）解：设正方形的边长为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， 答：裁去的正方形的边长为； （2）解：设左侧阴影正方形的边长为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， 盒子的底面宽为，长为， 右侧阴影长方形的长为， 裁剪下来的边角料面积为， 故答案为：． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$