第二章 等式与不等式知识归纳与题型突破（14类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第一册）

第二章 等式与不等式知识归纳与题型突破（14题型清单） 知识点1 等式的定义与性质 1、等式的定义 像，，，，这种用符号来表示相等关系的式子叫作等式． 2、等式的性质 （1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立． （2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． （3）用符号语言和量词表示上述等式的性质： 如果a=b，则对任意c，都有； 如果a=b，则对任意不为零的c，都有． 【注意】等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为减去、除以，结论仍成立． 3、等式性质的延伸 （1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果，那么； （2）传递性：如果，，那么（也叫等量代换）． 知识点2 恒等式 1、恒等式的定义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 2、恒等变形 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 3、常见的代数恒等式 （1）完全平方公式：，． （2）平方差公式：． （3）立方公式：，． （4），． 知识点3 方程的解集 1、相关概念 （1）方程：含有未知数的等式叫做方程． （2）方程的解：式方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解． （3）方程的解集：一般地，把一个方程所有解组成的集合，称为这个方程的解集． （4）解方程：求方程的解的过程叫作解方程． 2、因式分解法解一元二次方程 （1）因式分解法 通过因式分解使一个一元二次方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的解法称为因式分解法． （2）用因式分解法解一元二次方程的理论依据 如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0，即若，则或． （3）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 ①移项：将方程的右边化为0； ②化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解集． 知识点4 一元二次方程的解集 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：形如()，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，称为一元二次方程． （2）一元二次方程满足的条件 ①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 2、一元二次方程根的判别式与解集 式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用表示，即= （1）当>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 此时，方程的解集为： （2）当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根， 此时，方程的解集为：； （3）当<0时，一元二次方程没有实数根．此时，方程的解集为． 知识点5 一元二次方程根与系数的关系 1、一元二次方程根与系数的关系 如果的两根、，那么，． 2、常见变形： （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点6 方程组的解集 1、方程组的解集的定义 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中由每个方程解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2、方程组解集的表示方法 （1）二元一（二）次方程组的解集表示方法为：，其中，为确定的实数． （2）三元一次方程组解集的表示方法为：，其中，，为确定的实数． 知识点7 二元一次方程组及其解集 1、二元一次方程组的相关概念 （1）二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程． （2）二元一次方程组：方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 2、二元一次方程组的解法 （1）解二元一次方程组的基本方法 ①代入消元法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． ②加减消元法：对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法． （2）解二元一次方程组的基本思路：消元——把“二元”变为“一元”． 知识点8 二元二次方程组及其解法 1、二元二次方程组的定义 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，称为二元二次方程，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，称为二元二次方程组． 2、解二元二次方程组的思路：消元和降次． 知识点9 三元一次方程组及其解法 1、三元一次方程组的定义 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【注意】三元一次方程组中每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数． 2、三元一次方程组的解法 （1）先观察三个方程中各未知数系数及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的． （2）当“三元一次方程组”只含有两个方程时，我们将其中一个未知数看成已知数，此时，方程组即二元一次方程组，利用消元法思想即可求解． 3、解三元一次方程组的注意点 （1）三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可； （2）解三元一次方程组时，每个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确． 知识点10 不等式的概念 1、不等式的定义 用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． 2、文字语言与数学符号间的常见转换 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 知识点11 实数大小比较的依据 1、实数的特征 （1）任何实数的平方都不小于0； （2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数． 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 知识点12 不等式的性质 1、不等式的性质 性质1：如果，那么（可加性） 性质2：如果，，那么（可乘性） 性质3：如果，，那么（可乘性） 性质4：如果，，那么（传递性） 性质5：，（对称性） 2、不等式性质的推论 推论1：如果，则（不等式的移项法则） 推论2：如果，，那么（同向可加性） 推论3：如果，，那么（同向同正可乘性） 推论4：如果，那么（可乘方性） 推论5：如果，那么（可开方性） 【注意事项】 （1）推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号，从不等式的一边移到另一边； （2）推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向； （3）推论3表明，个两百年都是正数的同向不等式分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 3、不等式性质的拓展——倒数法则 （1）如果，，那么；． （2）如果，则． （3）如果，则． 知识点13 不等式（组）的解集 1、不等式的解集：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集． 2、不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 3、不等式（组）解集的表示方法 不等式（组）解集的表示方法：（1）集合法；（2）区间法；（3）数轴表示法：用数轴表示解集时要注意“实点”与“圆圈”的不同含义．有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈． 不等式组 数轴表示 解集 一般规律（口诀） 同大取大 同小取小 大小小大取中间 空集 大大小小是空集 知识点14 绝对值不等式 1、绝对值不等式的定义：含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 2、含绝对值不等式的解集 （1） （2）当时，的解集是；的解集是． 【注意】若或时，不等式的解集如下： 不等式 （3），型不等式的解法 ① ②或． 知识点15 数轴上的距离与中点坐标公式 1、数轴上点的坐标 （1）定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线称为数轴，或者说在这条直线上建立了直角坐标系． （2）在数轴上，根据点与实数的对应法则，在实数集和数轴上的点构成的集合之间建立了一一对应关系． ①如果点对应的数为，则记作； ②点在原点右边→为正数；点在原点左边→为负数； ③数轴上越靠右的点表示的数越大． 2、数轴上两点之间的距离公式：如果实数，在数轴上对应的点分别为，，即，，则线段的长为． 3、数轴上两点的中点坐标公式：如果线段的中点对应的数为，则． 4、绝对值不等式解集的几何意义 不等式 解集的几何意义 数轴上与原点的距离小于的所有数的集合 数轴上与原点的距离大于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离小于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离大于的所有数的集合 知识点16 一元二次不等式的概念 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式． 2、一般形式：，，（其中a≠0，a，b，c均为常数）． 知识点17 一元二次不等式的解法 1、一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形． 2、一元二次不等式的解法 （1）用因式分解法解一元二次不等式 ①如果，则不等式的解集是，不等式的解集是． ②方法步骤： 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： 时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； 时，求根； 时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集． （2）用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式通过配方总是可以变为或的形式， 然后根据的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． 【注意】（1）因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集；（2）用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧． 知识点18 三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点19 均值不等式 1、均值不等式 （1）给定两个正数，，数称为，的算数平均数；数称为，的几何平均数． （2）如果，是正数，那么，当且仅当时，等号成立． 2、均值不等式的几何意义 将均值不等式的两边平方可得，如果矩形的长和宽分别为和，那么矩形的面积为，可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． 3、重要不等式：,（当且仅当时取号）． 4、均值不等式的证明 （1）法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） （2）法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点20 利用均值不等式求最值 1、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为. 2、一正二定三取等 在用均值不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等 ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 知识点21 均值不等式的变式与推广 1、均值不等式的常见变式 ①（同号）； ②（异号）； ③或 2、均值不等式的推广 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 题型一 一元二次方程根与系数关系 例题：（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知，是方程的两个不等实根，则 . 【答案】 【分析】利用韦达定理即可得解. 【详解】因为，是方程的两个根， 所以，， 则. 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 【答案】 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组，解得的值，即可求解. 【详解】因为是方程的两实根， 所以由根与系数的关系得，. 又因为是关于的方程的两实根， 所以，， 即，. 所以，解之可得， 经验证，可得，所以，所以. 故答案为： 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）设，若有两个不相等的根，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式得到，再根据韦达定理即可得到答案. 【详解】关于的方程有两个不相等的实数根， ，解得:， 则. 故选：C. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程求根公式分别求出，从而可求解. 【详解】方程的两个根为，由求根公式可得： ，或，； 当，时，； 当，时，， 综上可得. 故答案为：. 4．（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）已知关于的方程有两个不等实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则实数m的值是（    ） A．17 B．-1 C．17或-1 D．-17或1 【答案】B 【分析】根据题意设出方程的两个实根分别为，结合方程有两实根条件，利用韦达定理把问题转化为含参数的方程来解即可. 【详解】设方程有两个不等实数根分别为， 有，这两个实数根的平方和比两个根的积大21， 则有，即， 解得或， 方程有两个不等实数根，， 得，所以. 故选：B 题型二 多元方程组的解集 例题：（23-24高一上·北京延庆·阶段练习）写出下列方程（方程组）的解集. (1) (2)； (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4). (5) 【分析】（1）化方程为，即可求解； （2）化简方程为，即可求解； （3）化简方程，求得或，即可求解； （4）根据方程组的解法，利用消元法，即可求解； （5）联立方程组，结合一元二次方程的解法，即可求解. 【详解】（1）由，得，解得或，解集为. （2）由，得，解得或，解集为. （3）由方程，即， 解得或，即或，解集为. （4）由方程组， ①②，得，④ ①+③，得，⑤ 由⑤得，代入④得， 将代入⑤得， 将代入②得， 所以解集为. （5）由方程组，由代入消元得， 即，解得或， 当时，可得；时，， 所以方程组的解集为. 巩固训练 1．（23-24高一上·广东潮州·阶段练习）解下列方程或方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二元一次方程组，利用消元法即可求解， （2）根据一元二次不等式的求解即可. 【详解】（1）解：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， 故原方程组的解为． （2）解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为． 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）化简方程，即可求解； （2）化简方程，即可求解； （3）化简方程，求得，即可求解； （4）根据方程组的解法，利用消元法，即可求解； （5）联立方程组，结合一元二次方程的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由方程，即， 解得或，即方程的解集为. （2）解：由方程，即 解得或，即方程的解集为. （3）解：由方程，即，解得，即， 所以方程的解集为. （4）解：由不等式组， ①+②，可得，②-③，可得， 联立方程组，解得，代入①式，可得， 所以不等式组的解集为. （5）解：由方程组，整理得，解得或， 当时，可得；时，可得， 所以方程组的解集为. 3．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知是方程组的解，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据两个方程组之间的关系，观察可得出方程组的解. 【详解】由题意，代入方程组可得， 所以当时，代入方程组， 可得，成立， 所以方程组的解是， 故答案为： 题型三 不等式的性质及应用 例题：（24-25高一上·湖南·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断. 【详解】若，取，，则，故A错误； 若，当时，则，故B错误； 若，取，，则，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：D. 巩固训练 1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】因为且，可得，所以， 对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，由，所以，所以B不正确； 对于C中，由， 因为，所以，可得， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，所以，所以D不正确. 故选：A. 2．（24-25高二上·四川南充·开学考试）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，且，可得，正负不确定.取特值可得AD错误；根据不等式的基本性质可判定BC项. 【详解】因为，， 则，所以，. AD选项，令，满足条件，， 但，则，故AD错误； B选项，由，则，故B正确； C选项，由，则，故C错误. 故选：B. 3．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）若，且则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】运用特殊值，结合作差法逐个判断即可. 【详解】由于 对于A，设则，故A错误； 对于B，设则，故B错误； 对于C，，由于，则.， 则.则.故C正确. 对于D，设，则，故D错误； 故选：C. 题型四 作差法与作商法比较大小 例题：（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 巩固训练 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较的大小，再结合中间值比较即可. 【详解】易知， 因为，，所以， 则，即. 因为，，所以. 综上，. 故选：A 2．（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）已知，，则P，Q的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差法比较P，Q的大小即可得出答案. 【详解】， 所以. 故选：A. 3．（18-19高一·全国·课后作业）已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【分析】因为与都大于0，故相除再和1比较大小即可，在变形过程中要用到立方和公式以及基本不等式. 【详解】由题意，由立方和公式， 可得分子， 将其代入原式得， 进一步对其分子利用基本不等式可得，且等号成立当且仅当， 将其代入原式得， 综上所述（当且仅当时取等号）. 4．（10-11高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 题型五 利用不等式求取值范围 例题：（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件，根据不等式的性质可求结论. 【详解】因为， 所以，，， 所以，， 所以. 故选：A. 巩固训练 1．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，，则的取值范围是 【答案】 【分析】先利用待定系数法得到，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】设， 则，解得， 所以， 因为，， 所以，， 则，即. 所以的取值范围是. 故答案为： 2．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质可求的取值范围. 【详解】设， 则，故， 因为，则， 故即， 故答案为：. 3．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用待定系数法求得，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】令， 则，解得，则， 因为，所以， 因为，所以， 则，即. 故选：B. 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知实数，满足，，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．19 【答案】B 【分析】令，表示出，然后由不等式性质得出结论． 【详解】解：令则， 则， 又，， 所以，，所以， 所以的最大值为16. 故选：B. 5．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知实数且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由等式得到关于的表达式，再由条件得到，进而分析各不等式得到的取值范围，从而得解. 【详解】由，得， 因为且，所以， 所以由，得，所以， 由，得，所以， 由，得， 综上，，即. 故选：B. 题型六 含绝对值不等式的解法 例题：（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，根据交集运算得解. 【详解】由，可得，解得， ，又， 所以， 故选：D． 巩固训练 1．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解绝对值不等式得集合A，解分式不等式得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：D 2．（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）解不等式： (1)； (2). (3)； 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解，然后可解； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据符号法则转化为两组不等式组求解可得. 【详解】（1）由得，解得， 所以不等式的解集为. （2），解得， 所以，原不等式的解集为. （3）或， 解得或， 所以，原不等式的解集为. 3．（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）根据分式不等式的解法求得正确答案. （2）根据绝对值不等式的解法求得正确答案. （3）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （4）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】（1）依题意，， 解得或，所以不等式的解集为或. （2）， 解得或， 所以不等式的解集为或. （3）依题意，，解得， 所以不等式的解集为. （4）依题意，， 解得或， 所以不等式的解集为或. 题型七 一元二次不等式的解法 例题：（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元二次不等式，确定集合，再根据交集的定义求两个集合的交集. 【详解】因为或， 所以， 又，所以. 故选：D 巩固训练 1．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若规定则不等式的解集（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】按照新的运算，则不等式可化为：，解此二次不等式即可得出答案. 【详解】由题意可知：不等式的解集可化为 即，得． 所以不等式的解集为. 故选：C． 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）使成立的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解不等式得到，根据题意找到的一个真子集即可. 【详解】由得， 对于A，因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，故A错误； 对于B，因为是的真子集，所以是的充分不必要条件，故B正确； 对于C，因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，故C错误； 对于D，因为与不是包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：B. 题型八 分式/高次不等式的解法 例题：（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将不等式变形为，解之即可； （2）将不等式变形为，解之即可； 【详解】（1）由可得，解原不等式可得或， 因此，不等式的解集为或； （2）由得，即， 解得，所以不等式的解集是. 巩固训练 1．（24-25高一上·天津南开·开学考试）求下列不等式的解集. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将不等式组转化为，再分别解出各个一元二次不等式，即可得解； （2）移项、通分，再将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可. 【详解】（1）因为，即， 解不等式，即，解得； 解不等式，即，又恒成立， 所以不等式的解集为， 综上，不等式组的解集为. （2）由，即，即， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 2．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先分和两种情况讨论，当时不等式显然成立，当时转化为，根据分式不等式的求解方法求解，最终得到结果. 【详解】由，当时，不等式显然成立； 当时，，， 解得：且. 综上，不等式的解集为. 故选：D. 3．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）回答下面两个题 (1)解不等式： (2)已知集合． ①当时，求： ②若，求实数的值 【答案】(1) (2)①；②8 【分析】（1）首先将分式不等式转化为，即可求解； （2）①分别求解两个不等式，再求集合的运算结果；②根据不等式的解集与不等式对应方程的根的关系，即可求解. 【详解】（1），解得：或，且， 所以不等式的解集为； （2）①，得，即， 当时，，解得：，即， ； ②， 的根， 即． 当时．此时，满足条件， . 题型九 三个“二次”的应用 例题：．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则 ． 【答案】5 【分析】由题意得是方程的两个根，由根与系数的关系求出即可. 【详解】由题意可知，是方程的两个根，且， 由根与系数的关系得且， 解得，则. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求的值； (2)当时，求关于的一元二次不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）根据三个“二次”的关系及韦达定理即可求解； （2）由（1）知，，则不等式化为，对分、和讨论即可求解. 【详解】（1）由题意知，一元二次方程的解为，， 由韦达定理得， 解得，. （2）由（1）知，，则不等式化为． 即， 即， 又，不等式化为， 当时，，解得或； 当时，不等式化为，解得； 当时，，解得或． 综上，当时解集为，当时解集为，当时解集为． 2．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则（ ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集可判断A；利用韦达定理可得，代入BCD依次判断即可. 【详解】对A，由不等式的解集为可知，A错误； 对B，又2和3是方程的两根，由韦达定理可得， 即，所以， 解得，B错误； 对C，，C正确； 对D，，解得，D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据不等式的解集得出，8是关于x的方程的两个不相等的实数根再应用韦达定理计算即可判断选项. 【详解】由题意得，8是关于x的方程的两个不相等的实数根， 则，得， 所以，. 故选：A. 4．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）关于的不等式的解集中至多包含个整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对与的大小进行分类讨论，求出不等式的解集，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】由可得， 当时，原不等式即为，该不等式的解集为，合乎题意； 当时，原不等式的解集为， 由题意可知，集合至多包含个整数，则该整数为，所以，； 当时，原不等式的解集为， 由题意可知，集合至多包含个整数，则该整数为，所以，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型十 一元二次不等式恒成立 例题：（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，分两种情况讨论，结合一元二次不等式解集的结论，即可得出答案. 【详解】当时，恒成立，所以为真命题， 当，为真命题， 所以，解之可得， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）若命题：“，不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】{或} 【分析】由题可知命题的否定为真命题，根据一元二次不等式在R上恒成立求解即可. 【详解】由题意得：，不等式成立为真命题， 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围是{或}. 故答案为：{或}. 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】将条件转化为不等式的解集为，再分类讨论的取值情况，结合根的判别式即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的不等式的解集为. 当，即时，，显然满足题意； 当，则，解得； 综上，，即实数的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项. 【详解】因为“不等式在上恒成立”， 所以等价于二次方程的判别式，即， 要求得它的一个必要不充分条件， 则集合为选项中不等式所对应的集合的真子集， 对于A，不是的真子集，故A错误； 对于B，不是的真子集，故B错误； 对于C，不是的真子集，故C错误； 对于D，是的真子集，故D正确； 故选：D. 4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由定义运算将所求不等式化简，再结合一元二次含参不等式恒成立问题求解即可； 【详解】由题意可变形为 ， 即， 化简可得恒成立， 所以恒成立， 化简可得， 解得， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 题型十一 一元二次方程根的分布 例题：（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用二次方程根的分布等价于对应二次函数零点的分布问题，求解实数m的取值范围即可. 【详解】因为方程有两个不等正实根，设两根为， 则等价于函数有两个不相等且大于0的零点， 所以或， 故选：D 巩固训练 1．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 2．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由命题求出的范围，利用充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】命题：一元二次方程有两个负数解，所以，解得， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 3．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布可得答案. 【详解】因为方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得且. 故选：A. 4．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程 ，当方程的根满足下列条件时，求的取值范围. (1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小； (2)至少有一个正根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则由题意可得，求解即可得答案； （2）采用正难则反的原则再进行分类讨论即可. 【详解】（1）设， 则由题意可得，解得. （2）关于x的方程无实数根时，， 解得， 关于x的方程有两个负实数根时， ，解得， 所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时， 可得关于x的方程至少有一个正实数根，则. 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布规律列式求解即得. 【详解】令，显然二次函数的图象开口向上， 而的两根一个比2大另一个比2小，则， 即，解得， 所以实数m的范围是. 故答案为： 6．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得. 【详解】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 题型十二 利用均值不等式求最值 例题：（24-25高一上·江西·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值. 【详解】因正数a，b满足， 则， 当且仅当，即， 所以当时，取得最小值9. 故选：A 巩固训练 1．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知，，且，则的最大值是（   ） A．9 B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意直接利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，，且， 则，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是9. 故选：A. 2．（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用，结合基本不等式可求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）已知，当时，取得最小值为b，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 【答案】C 【分析】变形后根据基本不等式求出，并得到等号成立的条件，得到答案. 【详解】因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故，. 故选：C 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可知，进而利用基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立. 于是，即. 故的最小值为. 故选：B. 5．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】在等式的两边同乘以，结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为正实数满足， 等式两边同乘以可得， 所以， 因为，解得，当且仅当 时，等号成立. 因此，的最小值为. 故选：A. 6．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】将条件变形为，再利用凑项法，结合基本不等式求即可得解. 【详解】由得， ，，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 题型十三 均值不等式恒成立问题 例题：（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合基本不等式判断“”和“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，对于任意正实数x，y， ，当且仅当时取等号， 即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立； 当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时， ， 当且仅当时取等号， 此时需满足，解得，此时a不一定等于9， 故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 巩固训练 1．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，然后根据不等式恒成立，将问题转化为关于的不等式求解. 【详解】因为正数，满足， 则，因为， 所以，则，当且仅当即时等号成立. 因为不等式对任意实数恒成立，即恒成立. ，所以，即对任意实数恒成立. 令，因为，所以. 所以. 故选：D. 2．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，换元令，．则原问题转化为任意，恒成立.变形，结合基本不等式求最值可解. 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可得答案. 【详解】解：因为，，恒成立， 即恒成立， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以的最大值为. 故选：A. 4．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案． 【详解】因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选：B． 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 6．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为. 因为恒成立， 所以，即， 解得，即. 故选：D. 题型十四 均值不等式的实际应用 例题：（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．无法确定采用哪种方案划算 B．两种方案一样划算 C．采用第一种方案划算 D．采用第二种方案划算 【答案】D 【分析】设两次加油时的油价分别为元/升和元/升，计算出两种方案下的燃油的均价，利用基本不等式比较即得. 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价： ，当且仅当时取等号； 第二种方案的均价： ,因，则，故，当且仅当时取等号. 所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 故选：D． 巩固训练 1．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）某单位采用新工艺将二氧化碳转化为化工产品，其月处理成本y（元）与月处理量x（吨）的函数关系式为.请问：当月处理量为（    ）吨时，可以使每吨的平均处理成本最低？ A．100吨 B．150吨 C．200吨 D．250吨， 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】依题意，每吨的平均处理成本， 当且仅当，即时取等号， 所以当月处理量为100吨时，可以使每吨的平均处理成本最低. 故选：A 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可. 【详解】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式知识归纳与题型突破（14题型清单） 知识点1 等式的定义与性质 1、等式的定义 像，，，，这种用符号来表示相等关系的式子叫作等式． 2、等式的性质 （1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立． （2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． （3）用符号语言和量词表示上述等式的性质： 如果a=b，则对任意c，都有； 如果a=b，则对任意不为零的c，都有． 【注意】等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为减去、除以，结论仍成立． 3、等式性质的延伸 （1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果，那么； （2）传递性：如果，，那么（也叫等量代换）． 知识点2 恒等式 1、恒等式的定义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 2、恒等变形 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 3、常见的代数恒等式 （1）完全平方公式：，． （2）平方差公式：． （3）立方公式：，． （4），． 知识点3 方程的解集 1、相关概念 （1）方程：含有未知数的等式叫做方程． （2）方程的解：式方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解． （3）方程的解集：一般地，把一个方程所有解组成的集合，称为这个方程的解集． （4）解方程：求方程的解的过程叫作解方程． 2、因式分解法解一元二次方程 （1）因式分解法 通过因式分解使一个一元二次方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的解法称为因式分解法． （2）用因式分解法解一元二次方程的理论依据 如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0，即若，则或． （3）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 ①移项：将方程的右边化为0； ②化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解集． 知识点4 一元二次方程的解集 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：形如()，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，称为一元二次方程． （2）一元二次方程满足的条件 ①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 2、一元二次方程根的判别式与解集 式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用表示，即= （1）当>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 此时，方程的解集为： （2）当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根， 此时，方程的解集为：； （3）当<0时，一元二次方程没有实数根．此时，方程的解集为． 知识点5 一元二次方程根与系数的关系 1、一元二次方程根与系数的关系 如果的两根、，那么，． 2、常见变形： （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点6 方程组的解集 1、方程组的解集的定义 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中由每个方程解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2、方程组解集的表示方法 （1）二元一（二）次方程组的解集表示方法为：，其中，为确定的实数． （2）三元一次方程组解集的表示方法为：，其中，，为确定的实数． 知识点7 二元一次方程组及其解集 1、二元一次方程组的相关概念 （1）二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程． （2）二元一次方程组：方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 2、二元一次方程组的解法 （1）解二元一次方程组的基本方法 ①代入消元法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． ②加减消元法：对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法． （2）解二元一次方程组的基本思路：消元——把“二元”变为“一元”． 知识点8 二元二次方程组及其解法 1、二元二次方程组的定义 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，称为二元二次方程，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，称为二元二次方程组． 2、解二元二次方程组的思路：消元和降次． 知识点9 三元一次方程组及其解法 1、三元一次方程组的定义 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【注意】三元一次方程组中每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数． 2、三元一次方程组的解法 （1）先观察三个方程中各未知数系数及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的． （2）当“三元一次方程组”只含有两个方程时，我们将其中一个未知数看成已知数，此时，方程组即二元一次方程组，利用消元法思想即可求解． 3、解三元一次方程组的注意点 （1）三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可； （2）解三元一次方程组时，每个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确． 知识点10 不等式的概念 1、不等式的定义 用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． 2、文字语言与数学符号间的常见转换 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 知识点11 实数大小比较的依据 1、实数的特征 （1）任何实数的平方都不小于0； （2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数． 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 知识点12 不等式的性质 1、不等式的性质 性质1：如果，那么（可加性） 性质2：如果，，那么（可乘性） 性质3：如果，，那么（可乘性） 性质4：如果，，那么（传递性） 性质5：，（对称性） 2、不等式性质的推论 推论1：如果，则（不等式的移项法则） 推论2：如果，，那么（同向可加性） 推论3：如果，，那么（同向同正可乘性） 推论4：如果，那么（可乘方性） 推论5：如果，那么（可开方性） 【注意事项】 （1）推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号，从不等式的一边移到另一边； （2）推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向； （3）推论3表明，个两百年都是正数的同向不等式分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 3、不等式性质的拓展——倒数法则 （1）如果，，那么；． （2）如果，则． （3）如果，则． 知识点13 不等式（组）的解集 1、不等式的解集：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集． 2、不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 3、不等式（组）解集的表示方法 不等式（组）解集的表示方法：（1）集合法；（2）区间法；（3）数轴表示法：用数轴表示解集时要注意“实点”与“圆圈”的不同含义．有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈． 不等式组 数轴表示 解集 一般规律（口诀） 同大取大 同小取小 大小小大取中间 空集 大大小小是空集 知识点14 绝对值不等式 1、绝对值不等式的定义：含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 2、含绝对值不等式的解集 （1） （2）当时，的解集是；的解集是． 【注意】若或时，不等式的解集如下： 不等式 （3），型不等式的解法 ① ②或． 知识点15 数轴上的距离与中点坐标公式 1、数轴上点的坐标 （1）定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线称为数轴，或者说在这条直线上建立了直角坐标系． （2）在数轴上，根据点与实数的对应法则，在实数集和数轴上的点构成的集合之间建立了一一对应关系． ①如果点对应的数为，则记作； ②点在原点右边→为正数；点在原点左边→为负数； ③数轴上越靠右的点表示的数越大． 2、数轴上两点之间的距离公式：如果实数，在数轴上对应的点分别为，，即，，则线段的长为． 3、数轴上两点的中点坐标公式：如果线段的中点对应的数为，则． 4、绝对值不等式解集的几何意义 不等式 解集的几何意义 数轴上与原点的距离小于的所有数的集合 数轴上与原点的距离大于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离小于的所有数的集合 数轴上与表示的点的距离大于的所有数的集合 知识点16 一元二次不等式的概念 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式． 2、一般形式：，，（其中a≠0，a，b，c均为常数）． 知识点17 一元二次不等式的解法 1、一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形． 2、一元二次不等式的解法 （1）用因式分解法解一元二次不等式 ①如果，则不等式的解集是，不等式的解集是． ②方法步骤： 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： 时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； 时，求根； 时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集． （2）用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式通过配方总是可以变为或的形式， 然后根据的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． 【注意】（1）因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集；（2）用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧． 知识点18 三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点19 均值不等式 1、均值不等式 （1）给定两个正数，，数称为，的算数平均数；数称为，的几何平均数． （2）如果，是正数，那么，当且仅当时，等号成立． 2、均值不等式的几何意义 将均值不等式的两边平方可得，如果矩形的长和宽分别为和，那么矩形的面积为，可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． 3、重要不等式：,（当且仅当时取号）． 4、均值不等式的证明 （1）法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） （2）法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点20 利用均值不等式求最值 1、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为. 2、一正二定三取等 在用均值不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等 ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 知识点21 均值不等式的变式与推广 1、均值不等式的常见变式 ①（同号）； ②（异号）； ③或 2、均值不等式的推广 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 题型一 一元二次方程根与系数关系 例题：（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知，是方程的两个不等实根，则 . 巩固训练 1．（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）设，若有两个不相等的根，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知方程的两个根为，则 ． 4．（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）已知关于的方程有两个不等实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则实数m的值是（    ） A．17 B．-1 C．17或-1 D．-17或1 题型二 多元方程组的解集 例题：（23-24高一上·北京延庆·阶段练习）写出下列方程（方程组）的解集. (1) (2)； (3) (4) (5) 巩固训练 1．（23-24高一上·广东潮州·阶段练习）解下列方程或方程组： (1) (2)． 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 3．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知是方程组的解，则方程组的解是 ． 题型三 不等式的性质及应用 例题：（24-25高一上·湖南·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 巩固训练 1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川南充·开学考试）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）若，且则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 题型四 作差法与作商法比较大小 例题：（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 巩固训练 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）已知，，则P，Q的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 3．（18-19高一·全国·课后作业）已知，，试比较与的大小； 4．（10-11高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 题型五 利用不等式求取值范围 例题：（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，，则的取值范围是 2．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）已知，则的取值范围是 . 3．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知实数，满足，，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．19 5．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知实数且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 含绝对值不等式的解法 例题：（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）解不等式： (1)； (2). (3)； 3．（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 题型七 一元二次不等式的解法 例题：（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若规定则不等式的解集（    ） A．或 B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）使成立的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 题型八 分式/高次不等式的解法 例题：（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）解下列不等式： (1) (2) 巩固训练 1．（24-25高一上·天津南开·开学考试）求下列不等式的解集. (1)； (2) 2．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）回答下面两个题 (1)解不等式： (2)已知集合． ①当时，求： ②若，求实数的值 题型九 三个“二次”的应用 例题：．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则 ． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求的值； (2)当时，求关于的一元二次不等式的解集． 2．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则（ ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 3．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）关于的不等式的解集中至多包含个整数，则实数的取值范围是 . 题型十 一元二次不等式恒成立 例题：（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知为真命题，则实数的取值范围是 ． 巩固训练 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）若命题：“，不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 题型十一 一元二次方程根的分布 例题：（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 巩固训练 1．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程 ，当方程的根满足下列条件时，求的取值范围. (1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小； (2)至少有一个正根. 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ． 6．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 题型十二 利用均值不等式求最值 例题：（24-25高一上·江西·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．9 B．6 C．4 D．3 巩固训练 1．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知，，且，则的最大值是（   ） A．9 B．6 C． D．3 2．（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 3．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）已知，当时，取得最小值为b，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 5．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 6．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 题型十三 均值不等式恒成立问题 例题：（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 巩固训练 1．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十四 均值不等式的实际应用 例题：（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．无法确定采用哪种方案划算 B．两种方案一样划算 C．采用第一种方案划算 D．采用第二种方案划算 巩固训练 1．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）某单位采用新工艺将二氧化碳转化为化工产品，其月处理成本y（元）与月处理量x（吨）的函数关系式为.请问：当月处理量为（    ）吨时，可以使每吨的平均处理成本最低？ A．100吨 B．150吨 C．200吨 D．250吨， 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$