考点02 常用逻辑用语 讲义——2026年《考点通关》高考数学一轮考点归纳与解题策略

考点02 常用逻辑用语2类常见考点全归纳 1． 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 充分、必要条件 考向1 充分、必要条件的判定 考向2“地图型”条件的判定 考向3 充分、必要条件的探求 考向4 充分、必要条件的应用 考点二 全称量词与存在量词 考向1 含量词命题的否定 考向2 含量词命题的真假判断 考向3 含量词命题的应用 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 提醒：p是q的充分不必要条件(p⇒q且qp)，与p的充分不必要条件是q(q⇒p且pq)两者是不同的． 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． [常用结论] 1.设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． (1)p是q的充分不必要条件⇔AB； (2)p是q的必要不充分条件⇔AB； (3)p是q的充要条件⇔A＝B； (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 2.常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 3.注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同． （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 考点一 充分、必要条件 考向1 充分、必要条件的判定 【典例1】(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件 B．“a>b”是“<”的充要条件 C．若P，Q为非空集合，“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件 D．“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件 【解析】对于A，由a>bac2>bc2(c＝0时不成立)，由ac2>bc2⇒a>b，则“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，A中命题是真命题； 对于B，若a>0，b<0，则由a>b得不到<，B中命题是假命题； 易知C，D中命题是真命题，故选ACD． 【典例2】(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．故选C． 【典例3】(2025·江苏扬州模拟)已知集合A＝，B＝{1，a＋1，a－1}，则“a＝1”是“A⊆B”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当a＝1时，A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则A⊆B； 反之，当A⊆B时，a＋1＝0或a－1＝0，解得a＝－1或a＝1．若a＝－1，A＝{0，1}，B＝{0，1，－2}，满足A⊆B，若a＝1，显然满足A⊆B， 因此a＝－1或a＝1，所以“a＝1”是“A⊆B”的充分不必要条件．故选B． 【典例4】（2024·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合题意即可下结论. 【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件. 故选：B. 解题策略： 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1、定义法：（1）分清命题的条件和结论；（2）判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假；（3）得出结论. 2、集合法：利用集合间的包含关系进行判断； 3、等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题。 【巩固训练】 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义，即可判断. 【详解】由是R上单调增函数，得. 故“”是“”为充要条件. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 3．（25-26高一上·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】a，，由，得，，则，因此充分性成立； 由，得，又，则，因此必要性不成立 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 考向2“地图型”条件的判定 已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可. 【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出， 因为是的的充分条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确， 因为，，，所以， 推不出，故是的充分不必要条件，②正确； 因为，，所以，是的充分条件，命题③错误； 因为，，所以，又， 所以是的充要条件，命题④错误； 故选：B. 解题策略： 多重复杂的充分必要条件之间传递变化判断， 可以借助类似如下“地图”一样来判断 。 判断方法是，根据箭头是否能“往返”或者“转圈”推导，以此判断充分性与必要性 【巩固训练】 1．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以可得，而推不出， 则是的充分不必要条件， 故选：A 2．（24-25高一·上海·课堂例题）若p是q的必要不充分条件，r是q的充分不必要条件，则p是r的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】由必要非充分条件和推出方向的关系可找到和的关系，可得答案． 【详解】解：是的必要不充分条件，r是q的充分不必要条件， ， 是的必要非充分条件， 故选：B． 考向3 充分、必要条件的探求 【典例1】(1) “ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　) A．－1<x<－　　　　　 B．x>0 C．－1<x<0 D．x<0 (2)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a＝－1 B．a＝b C．b＝1 D．ab＝1 【解析】(1)ln (x＋1)<0等价于0<x＋1<1，即－1<x<0．因为－1<x<0可以推出x<0，而x<0不能推出－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件，所以“ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是“x<0”．故选D． (2)由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故选AC． 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案. 【详解】∵不等式在R上恒成立， ∴ ，解得， 又∵，∴，则不等式在R上恒成立， ∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件, 故选:A. 解题策略： 探求充分条件、必要条件要分清题干的条件和结论，如“p的充分条件是q”等价于“q⇒p是真命题”． 【巩固训练】 1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“，”为真命题，从而得，即可求解. 【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题， 则，因，所以，所以可得， 所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确. 故选：A. 2．（24-25高二下·浙江宁波·期中）不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】应用分类讨论解绝对值不等式，结合充分、必要性的定义判断即可. 【详解】当时，，则，可得； 当时，，则，可得； 当时，，则，可得； 综上，不等式的解为或， 所以A为必要不充分条件，B、D为充分不必要条件，C为充要条件. 故选：A. 3．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 考向4 充分、必要条件的应用 【典例1】请在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”中任选一个，将序号补充在横线处，并解答． 已知集合A＝，B＝，且x∈A是x∈B的________条件，判断实数m的值是否存在，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝， 由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m， 所以B＝． 若选择条件①，则集合A是B的真子集，得且等号不能同时取得，解得m≥4． 当m＝4时，B＝，AB，符合题意． 若选择条件②，则集合B是A的真子集，得且等号不能同时取得，解得0<m≤3． 当m＝3时，B＝，则BA，符合题意． 若选择条件③，则集合A＝B，得无解，所以不存在满足条件③的实数m． 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件得到，即可得到答案. 【详解】，解得，， 因为是的充分不必要条件， 所以，即. 故选：A 解题策略： 1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； 2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。 【巩固训练】 1．（24-25高二下·云南·期中）已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解不等式化简、，结合是的必要不充分条件，得到不等关系，解得即可. 【详解】由，解得或， 即：“或”， 由，即，解得， 所以：“”， 因为是的必要不充分条件， 所以或，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：B 2．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 考点二 全称量词与存在量词 考向1 含量词命题的否定 【典例1】(1)命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为(　　) A．∀x<0，x＋2>2x B．∃x≥0，使得x＋2>2x C．∀x<0，x＋2≤2x D．∃x≥0，使得x＋2≤2x (2)命题“素数的立方是素数”的否定是________． 【解析】(1)因为命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，所以命题p为“∀x<0，x＋2≤2x”．故选C． (2)命题的否定为存在一个素数，它的立方不是素数． 【典例2】（2024·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出. 【详解】因为对全称量词的否定用特称量词， 所以命题p：，的否定为：，. 故选：D 【典例3】已知命题：，使得且，则为（    ） A．，使得且 B．，使得或 C．，使得或 D．，使得且 【答案】C 【详解】“存在一个符合A且B”的否定为“任意一个都不符合A且B”，即“任意一个都符合或”. 即使得或, 故选：C. 解题策略： 全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤 ①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； ②否定结论：对原命题的结论进行否定． 【巩固训练】 1．（2025高一上·全国·专题练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】全称量词命题的否定首先是改量词，把量词“”改为量词“”，不要忘记对结论否定. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定为“，” 故选：B 2．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案. 【详解】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称命题， 所以命题，的否定为：，. 故选：D. 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得出答案. 【详解】特称命题的否定是全称命题，所以是. 故选：B 考向2 含量词命题的真假判断 【典例】(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 【解析】对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题．故选B． 解题策略： 要判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假． 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．，是整数 【答案】D 【分析】举反例判断AC，根据求解范围判断B，根据整数的概念判断D. 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 真假 原因 A 假 举反例，例如，但． B 假 因为对于任意实数，，所以，恒大于0. C 假 举反例，当时，，不满足． D 真 对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数， 所以，是整数． 故选：D 2．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知命题，命题，则（    ） A．p是假命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是假命题 【答案】B 【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式判断命题真假，得到答案. 【详解】因为，所以或，解得或，所以命题是真命题， 因为，所以命题是假命题， 故选：B. 3．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】结合存在量词和全称量词判断的真假，再判断各选项.. 【详解】当时，，所以为真命题， 当时，，所以为假命题， 所以为假命题，为真命题， 所以只有C正确， 故选：C. 考向3 含量词命题的应用 【典例1】若命题p：“∃x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________． 【解析】法一：若p为真命题，即∃x∈R，x2－mx－m≤0，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≥0或m≤－4， ∴当p为假命题时，－4<m<0． 法二：∵p为假命题， ∴¬p：∀x∈R，x2－mx－m>0为真命题， 即Δ＝m2＋4m<0，∴－4<m<0． 【典例2】已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出题设假命题的否命题“，”，则等价于，，求最小值即可. 【详解】因为命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，所以，． 易知函数在上单调递增，所以当时，取最小值，所以．所以实数a的取值范围为． 故选：D． 【典例3】若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是____． 【答案】 【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“”是真命题，再利用存在量词命题为真得关于x的方程有实根，最后利用判别式计算得结论． 【详解】因为“”的否定是假命题， 所以“”是真命题， 因此关于x的方程有实根， 所以，解得． 因此实数m的取值范围是． 故答案为：． 解题策略： 1、由命题真假求参数的取值范围，一是直接由命题的真假求参数的取值范围；二是利用等价转化，根据命题与命题的否定之间的关系求参数的取值范围． 2、全称量词命题对应恒成立，存在量词命题对应能成立． 3、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； 4、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。 【巩固训练】 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由命题为真求出的范围，再结合选项求出命题为假命题的必要不充分条件. 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，， 由给定的选项知，集合真包含于集合， 所以使命题为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）若“，”是真命题，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】将真命题转化为恒成立问题，结合基本不等式得出参数的最大值即可. 【详解】因为“，”是真命题， 所以恒成立， 所以， 因为，当且仅当时，的最小值为， 所以， 所以实数的最大值为. 故选：C. 3．（24-25高二下·山东·阶段练习）若“，”是假命题，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出存在量词命题的否定，再由恒成立列式求解. 【详解】由“”是假命题，得“”是真命题， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 一、单选题 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．不存在， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题 命题“，”的否定是：，. 故选：D. 2．使“x≤－或x≥3”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．x＜0 B．x≥0 C．x∈{－1， 3， 5} D．x≤－或x≥3 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的概念即得. 【详解】对于A，不能推出或，反之也不能，是其既不充分也不必要条件； 对于B，不能推出或，反之也不能，是其既不充分也不必要条件； 对于C，可以推出或，反之不能，是其充分不必要条件； 对于D，或，是其充要条件 故选：C. 二、填空题 3．用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空： （1）“”是“”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 【答案】 充分条件 充分条件 必要条件 充要条件 【分析】利用充分条件，必要条件和充要条件的定义求解. 【详解】（1）当时，一定有成立，但反之不一定成立，如，但，故填充分条件； （2）当时，，反之当时，或，故填充分条件； （3）当时，不一定成立，如，但，反之时，一定成立，故填必要条件； （4）当时，说明x，y同号，即成立，反之当时，一定成立，故填充要条件. 故答案为：充分条件，充分条件，必要条件，充要条件. 4．填空： （1）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 ； （2）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； （3）“一元二次方程有两个不相等的正实数根”的充要条件是 ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】（1）利用判别式即可求出实数的取值范围； （2）先求出一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件，再求解即可； （3）利用和韦达定理得出结论． 【详解】（1）一元二次方程有实数根，应满足， 解得或，所以实数的取值范围是． （2）一元二次方程的两个根， ∵方程有一个正实数根和一个负实数根，，， ， 一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分条件但不是必要条件的是(答案不唯一)； （3）一元二次方程有两个不相等的正实数根， 则，或， 又两个根的和，， ， 故一元二次方程有两个不相等的正实数根的充要条件是． 故答案为：（1）；（2）(答案不唯一)；（3）． 5．已知、都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件.用“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”之一填空： （1）是的 ； （2）是的 ； （3）是的 . 【答案】 充要条件 充要条件 必要条件 【分析】推导出，，由此判断可得出（1）（2）（3）中的结论. 【详解】由题意可知，. （1）是的充要条件； （2）是的充要条件； （3）是的必要条件. 故答案为：（1）充要条件；（2）充要条件；（3）必要条件. 6．已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由成立的一个充分不必要条件是，可得，再列不等式求解即可. 【详解】解：由题意，得，但， ∴，∴，即， 故答案为． 【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系、集合相等的充要条件,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想,属中档题. 7．若命题“∀x∈R，3x2+2ax+1≥0”的否定是假命题，则实数a取值范围是 【答案】. 【分析】由已知可得命题“∀x∈R，3x2+2ax+1≥0”是真命题，再由判别式法求解． 【详解】∵命题“∀x∈R，3x2+2ax+1≥0”的否定是假命题， ∴命题“∀x∈R，3x2+2ax+1≥0”是真命题， 则判别式＝（2a）2﹣12≤0，解得， ∴实数a取值范围是． 故答案为：． 8．设命题，命题对任意，都有，命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由“真假”和“假真”求得的取值范围. 【详解】， 所以命题， ， 所以命题， ，有且仅有一个成立， “真假”时，， “假真”时，， 则实数的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 9．已知集合，．设p：，q：，试判断p是q的什么条件，q是p的什么条件． 【答案】详见解析. 【分析】分别令，，化简得到集合A，再根据集合B，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】解：令，则，，令，则， 则或，又因为， 所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件． 10．已知，且是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】 【解析】根据题意得到，得到，计算得到答案. 【详解】是的充分不必要条件， 的取值范围是. 【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数，确定集合的包含关系是解题的关键. 11．已知A={满足条件p},B={满足条件q}, (1)如果,那么p是q的什么条件? (2)如果,那么p是q的什么条件? (3)如果,那么p是q的什么条件? 【答案】(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件. 【解析】(1) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可. (2) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可. (3) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可. 【详解】(1)如果,则满足条件p也满足条件q.故p是q的充分条件. (2)如果,则满足条件q也满足条件p.故p是q的必要条件. (3)如果,则满足条件p满足条件q,且满足条件q也满足条件p.故p是q的充要条件. 【点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件的关系,属于基础题型. 12．写出下列命题的否定： (1)对于任意一个实数x，都有； (2)三个连续整数中，至少有一个数是3的倍数； (3)所有的矩形都是平行四边形； (4)所有的平行四边形都是菱形； (5)，有； (6)锐角，使． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】根据命题的否定即可得到答案. 【详解】（1）存在一个实数x，使得成立； （2）三个连续整数中，任意一个数都不是3的倍数； （3）存在一个矩形不是平行四边形； （4）存在一个平行四边形不是菱形； （5），使； （6）锐角，有． 13．写出下列命题的否定： （1）若xy＝0，则x＝0或y＝0； （2）若x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0. 【答案】（1）若xy＝0，则x≠0且y≠0；（2）若x2＋y2＝0，则x≠0或y≠0. 【分析】（1）命题的否定只需否定结论即可，注意“或”改为“且”； （2）否定结论即可. 【详解】（1）命题的否定为：若xy＝0，则x≠0且y≠0； （2）命题的否定为：若x2＋y2＝0，则x≠0或y≠0. 14．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （1）； （2）． 【答案】（1），假命题；（2），假命题． 【解析】根据全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，写出其否定，再判断其真假. 【详解】解：（1）因为命题“”为特称命题， 所以其否定为：， 因为当时，，故原命题为真命题，其否定为假命题； （2）因为命题“”为全称命题， 所以其否定为： 因为当时，， 即，，方程无解； 当时，， 即，，不适合题意， 所以原命题为真命题，故其否定为假命题. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 15．已知命题p:∀x∈R，x2+(a-1)x+1≥0成立，命题q:∃x0∈R，a-2ax0-3>0不成立，若p假q真，求实数a的取值范围. 【答案】[-3，-1) 【分析】先写出命题的否定，再根据p:∃x0∈R，+(a-1)x0+1<0是真命题，可得=(a-1)2-4>0，命题q:∀x∈R，ax2-2ax-3≤0是真命题，可得或，解得实数a的取值范围，然后取交集即可求出． 【详解】因为命题p:∀x∈R，x2+(a-1)x+1≥0是假命题， 所以命题p:∃x0∈R，+(a-1)x0+1<0是真命题， 则=(a-1)2-4>0，即(a-1)2>4， 故a-1<-2或a-1>2，即a<-1或a>3. 因为命题q:∃x0∈R，a-2ax0-3>0不成立， 所以命题q:∀x∈R，ax2-2ax-3≤0成立， 当时，成立; 当时，必须， 即，解得，故. 综上所述，. 所以实数a的取值范围是. 【点睛】本题主要考查写出全称命题和特称命题的否定，以及利用命题的真假求参数的取值范围，意在考查学生的等价转化能力和数学运算能力，属于基础题． 16．已知集合A={x|a<x<3a}，其中a>0，B={x|2<x≤3}， （1）若a=1，求A∩B． （2）若“x∈∁RA”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）首先求出集合，再根据交集的定义计算可得； （2）依题意可得B⫋RA，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：(1)由于a=1,A={x|1<x<3},B={x|2<x≤3},所以A∩B={x|2<x<3}. (2)因为A={x|a<x<3a},所以RA={x|x≤a或x≥3a}, 因为“x∈RA”是“x∈B”的必要不充分条件, 所以B⫋RA,所以3≤a或3a≤2, 即0<a≤或a≥3, 所以实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查集合的运算，充分条件与必要条件，属于基础题. $$考点02 常用逻辑用语2类常见考点全归纳 1． 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 充分、必要条件 考向1 充分、必要条件的判定 考向2“地图型”条件的判定 考向3 充分、必要条件的探求 考向4 充分、必要条件的应用 考点二 全称量词与存在量词 考向1 含量词命题的否定 考向2 含量词命题的真假判断 考向3 含量词命题的应用 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 提醒：p是q的充分不必要条件(p⇒q且qp)，与p的充分不必要条件是q(q⇒p且pq)两者是不同的． 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． [常用结论] 1.设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． (1)p是q的充分不必要条件⇔AB； (2)p是q的必要不充分条件⇔AB； (3)p是q的充要条件⇔A＝B； (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 2.常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 3.注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同． （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 考点一 充分、必要条件 考向1 充分、必要条件的判定 【典例1】(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件 B．“a>b”是“<”的充要条件 C．若P，Q为非空集合，“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件 D．“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件 【典例2】(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3】(2025·江苏扬州模拟)已知集合A＝，B＝{1，a＋1，a－1}，则“a＝1”是“A⊆B”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4】（2024·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解题策略： 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1、定义法：（1）分清命题的条件和结论；（2）判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假；（3）得出结论. 2、集合法：利用集合间的包含关系进行判断； 3、等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题。 【巩固训练】 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考向2“地图型”条件的判定 已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 解题策略： 多重复杂的充分必要条件之间传递变化判断， 可以借助类似如下“地图”一样来判断 。 判断方法是，根据箭头是否能“往返”或者“转圈”推导，以此判断充分性与必要性 【巩固训练】 1．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一·上海·课堂例题）若p是q的必要不充分条件，r是q的充分不必要条件，则p是r的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 考向3 充分、必要条件的探求 【典例1】(1) “ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　) A．－1<x<－　　　　　 B．x>0 C．－1<x<0 D．x<0 (2)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a＝－1 B．a＝b C．b＝1 D．ab＝1 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 解题策略： 探求充分条件、必要条件要分清题干的条件和结论，如“p的充分条件是q”等价于“q⇒p是真命题”． 【巩固训练】 1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江宁波·期中）不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 考向4 充分、必要条件的应用 【典例1】请在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”中任选一个，将序号补充在横线处，并解答． 已知集合A＝，B＝，且x∈A是x∈B的________条件，判断实数m的值是否存在，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题策略： 1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； 2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。 【巩固训练】 1．（24-25高二下·云南·期中）已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 考点二 全称量词与存在量词 考向1 含量词命题的否定 【典例1】(1)命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为(　　) A．∀x<0，x＋2>2x B．∃x≥0，使得x＋2>2x C．∀x<0，x＋2≤2x D．∃x≥0，使得x＋2≤2x (2)命题“素数的立方是素数”的否定是________． 【典例2】（2024·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例3】已知命题：，使得且，则为（    ） A．，使得且 B．，使得或 C．，使得或 D．，使得且 解题策略： 全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤 ①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； ②否定结论：对原命题的结论进行否定． 【巩固训练】 1．（2025高一上·全国·专题练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 考向2 含量词命题的真假判断 【典例】(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 解题策略： 要判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假． 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．，是整数 2．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知命题，命题，则（    ） A．p是假命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是假命题 3．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 考向3 含量词命题的应用 【典例1】若命题p：“∃x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________． 【典例2】已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是____． 解题策略： 1、由命题真假求参数的取值范围，一是直接由命题的真假求参数的取值范围；二是利用等价转化，根据命题与命题的否定之间的关系求参数的取值范围． 2、全称量词命题对应恒成立，存在量词命题对应能成立． 3、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； 4、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。 【巩固训练】 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）若“，”是真命题，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 3．（24-25高二下·山东·阶段练习）若“，”是假命题，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．不存在， C．， D．， 2．使“x≤－或x≥3”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．x＜0 B．x≥0 C．x∈{－1， 3， 5} D．x≤－或x≥3 二、填空题 3．用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空： （1）“”是“”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）“”是“”的 ； （4）“”是“”的 ． 4．填空： （1）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 ； （2）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； （3）“一元二次方程有两个不相等的正实数根”的充要条件是 ． 5．已知、都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件.用“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”之一填空： （1）是的 ； （2）是的 ； （3）是的 . 6．已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 7．若命题“∀x∈R，3x2+2ax+1≥0”的否定是假命题，则实数a取值范围是 8．设命题，命题对任意，都有，命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 . 三、解答题 9．已知集合，．设p：，q：，试判断p是q的什么条件，q是p的什么条件． 10．已知，且是的充分不必要条件，求的取值范围. 11．已知A={满足条件p},B={满足条件q}, (1)如果,那么p是q的什么条件? (2)如果,那么p是q的什么条件? (3)如果,那么p是q的什么条件? 12．写出下列命题的否定： (1)对于任意一个实数x，都有； (2)三个连续整数中，至少有一个数是3的倍数； (3)所有的矩形都是平行四边形； (4)所有的平行四边形都是菱形； (5)，有； (6)锐角，使． 13．写出下列命题的否定： （1）若xy＝0，则x＝0或y＝0； （2）若x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0. 14．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （1）； （2）． 15．已知命题p:∀x∈R，x2+(a-1)x+1≥0成立，命题q:∃x0∈R，a-2ax0-3>0不成立，若p假q真，求实数a的取值范围. 16．已知集合A={x|a<x<3a}，其中a>0，B={x|2<x≤3}， （1）若a=1，求A∩B． （2）若“x∈∁RA”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. $$