专题09 等腰三角形的判定与性质（3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题09 等腰三角形的判定与性质 （3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等腰三角形的定义 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 【即时训练】 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．8 B．10 C．4或8 D．6或10 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如果一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则此等腰三角形的周长为 ． 知识点2：等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 【即时训练】 4．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，分别以，为边作两个等腰直角三角形和，使． (1)求的度数； (2)求证：． 5．（2023·浙江温州·二模）如图，在中，，点为的中点，D，E分别为，上的点，且．      (1)求证：． (2)若，，求的度数． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使． (1)求证：． (2)设的面积为，的面积为，求的值． 知识点3：等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 【即时训练】 7．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 8．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 9．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，和分别平分和，过点D作，分别交于点E，F．    (1)若，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由； (2)若的周长为18，，求的周长． 【题型1 等腰三角形的定义】 1．如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得是以为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为 ． 4．若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4倍，我们把这样的等腰三角形叫做“4倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为 . 5．一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【题型2 等边对等角】 6．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图：在中，，平分，交于点D，若，则等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．等腰三角形的顶角等于，则一个底角的度数为 ；等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为 ． 10．如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 【题型3 三线合一】 11．下列说法正确的有（　　） ①角平分线上任意一点到角两边的距离相等 ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 ③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等 ④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 13．如图，中，，， ，，垂足分别是下列结论：①平分；②平分；③；④上的点到两边距离相等．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 15．如图，在中，边的垂直平分线，交边于点，交边于点，连接． (1)若，的周长为10，求的周长． (2)若，，求的度数． 【题型4 等腰三角形的判定】 16．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 17．如图，在中，，点D、E分别在边上，，连接相交于点P，求证：． 18．如图，在 中， 的平分线与交于点D，点E为上任意一点，过点E作 交于点F，作交于点G．求证： 是等腰三角形． 19．如图，在中，分别以，为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点，，直线交边于点，交边于点，连接． (1)请根据以上尺规作图为依据，结合图形写出两个正确的结论： ， ；（不添加字母和线段） (2)若，求证：为等腰三角形．（上题所写正确结论可作为已知条件） 20．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于．    (1)求的长； (2)若，且，求证：． 【题型5 等腰三角形的性质】 21．如图，在中，，点E，F，D分别在边，，上，∥，∥，则四边形的周长是（   ） A．6 B．15 C．18 D．12 22．如图，在三角形中，过点B，A作，，交于点F，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 23．如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ． 24．如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 25．如图，是的角平分线，是的中点，，交于点，交于点． (1)若，，则___________度； (2)若，求的长． 【题型6 格点中画等腰三角形】 26．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（  ）   A．4 B．5 C．6 D．8 28．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 29．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 30．如图是由36个边长为1的小正方形拼成的网格图，请按照要求画图： (1)在图1中画出1个以为底的等腰，要求顶点是格点． (2)在图2中画出1个以为直角边的直角，要求顶点是格点． 【题型7 尺规作等腰三角形】 31．如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 32．如图，在四边形中，点E是边上的点，请用尺规作图法作一个等腰，点P在四边形内部，且点P到边、的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 33．如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法） 34．已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题． (1)填空：由作图可知，射线是的______； (2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由． 35．已知：中，边上一点D． 求作：等腰，使为等腰的底边，且点P到、两边的距离相等．（保留作图痕迹，不必写作法） 【题型8 等腰三角形的最小值问题】 36．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 37．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 38．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，分别在三幅图中的线段上画出格点P，使点P满足以下要求： (1)在图①中，连结，使最小； (2)在图②中，连结、，使； (3)在图③中，连结、，使为直角三角形． 39．（1）观察发现 如图1，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使的值最小．方法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P． 如图2，在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在上找一点P，使的值最小． 方法如下：作点B关于的对称点，恰好与点C重合，连接交于一点，则这点就是所求的点P，故的最小值为_____________； （2）实践运用 如图3，在四边形中，点B与点D关于对称，对角线与交于点，点P是对角线上的一个动点，，点M是的中点，求的最小值； （3）拓展延伸 如图4，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，不必写出作法） 40．如图，在等腰三角形中，，点，在上，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作等腰三角形的对称轴． (2)如图2，为线段上一点，请在等腰三角形的对称轴上找一点，使得点到，两点的距离之和最小． 【拓展训练一 等腰三角形的判定与性质综合】 41．如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，求证：． 42．综合与实践：在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断： 如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：______． (2)性质探究： 如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，均在外，连结、，试说明（1）中和之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． (3)拓展应用： 如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，点，，在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 43．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图①，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，点是边上一点，且，点是边上一动点（不包括两端点），连接，．老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空：__________；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图②，若．求证：； （3）任务二：如图③，，，，若，试说明．此时，点关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 44．人教版八年级上册课本中有如下内容： 活动2  用全等三角形研究“筝形” 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 (1)如图，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 (2)①如图1：小文通过连接筝形的一条对角线得到一对全等的三角形，进而得到筝形角的性质“筝形有一组对角相等”，判定这两个三角形全等的依据是：______； ②如图2，连结筝形的两条对角线．你能发现筝形对角线有哪些性质吗？请写出一条；______； 【拓展应用】 (3)①如图3，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数：______； ②如图4，在筝形中，过点D作交于点E，若，，求的长；              45．【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【拓展训练二 等腰三角形的动点问题】 46．综合与探究 【发现问题】 （1）在数学探究课上，王老师带着大家探究三角形全等的条件，对数学兴趣浓厚的小明发现了一个有趣的情景，情景如下： 如图1，在长方形中，，，，P为边上一点且．Q为上一动点，连接．小明发现当时，．请你帮助小明证明这个结论． 【探究发现】 （2）小华将小明的数学问题进行了改动，将原来的长方形换成了正方形．如图2．P为边上一点，过点P作，交的外角平分线于点Q，试探究与相等吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3．小林连接了，交于点F，连接．试判断、、之间的数量关系，只写结论，不需要证明． 47．如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为．过点作于点，连接交于点． (1)________，________．（用含t的式子表示） (2)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 48．中，，．D，E是直线上两动点，点D沿方向运动，点E沿方向运动，且．连接，作直线，垂足为F，交于点G，直线交（或延长线）于点H． (1)如图1，当点D，E在线段上时． ①过点B作交于点P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） ②求证：； ③猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想： (2)如图2，当点D，E在直线上时，其他条件不变，（1）③中你猜想的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 49．如图，在中，，，为边上一动点（点不与重合），过作于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)试探究的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 50．在中，，，点是的中点，点为射线上的一动点（点不与点、重合），过点作于点，过点作于点，连接并延长，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上运动时． ①求证：； ②在点的运动过程中，的大小是否随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； (2)当点在射线上运动时，连接，若，，请求出的面积． 【拓展训练三 等腰三角形的存在性问题综合】 51．如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，，分别与交于点M，N．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求t的值； (2)当t为何值时，点M在的平分线上？ (3)当点N为的中点时，求t的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 52．如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于，以下四个结论：①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 53．如图，，，以点圆心任意长为半径画弧交，分别于点，，再以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线，D为射线上一点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 54．如图，在中，，，点是上的一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 55．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，已知，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【拓展训练四 等腰三角形的新定义问题】 56．定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． (1)如图1，在“双垂四边形”中，若，则_______； (2)如图2，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，，且，求的长． 57．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 58．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 59．定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线． (1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数； (2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数． 60．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在如图2中，作出的“双等腰线”，并标出各内角度数或作必要的标注； (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是____________； (3)如图3，已知在中，，，点O是的中点，过点C作，交的延长线于点D，边上的一点E恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“三等腰线”． 1．等腰三角形中，若一个角度数为，则底角度数是（ ） A． B．或 C．或 D． 2．如图，在中，于点，点，是上的两点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．6 C． D．15 3．如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（    ）    A．10 B．9 C．6 D．5 5．如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以的速度从树枝的A点处出发沿树枝方向向上爬行，另一只蚂蚁N从O点出发，以的速度沿树枝方向爬行，如果足够长，，且两只蚂蚁同时出发，用表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是（    ） A． B． C．或 D．或或 6．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图所示的方格中， 度． 8．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 9．如图，中，垂直平分，分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是 10．如图，在中，和分别是和的平分线，过点D，且，若，则的长为 ． 11．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数是 ． 12．如图，在中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则 ． 13．如图，中，，；是一个足够大的等腰直角三形，，且可绕着点旋转，边、分别交线段于、两点；当 时，为等腰三角形？ 14．如图，在中，，点，在上，且．求证：是等腰三角形． 15．已知：如图，，，求证：． 小桐的证明方法如下框： 证明：连结． 在和中， ∵， ∴≌， ∴． 小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程． 16．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 17．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表：    课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 从A点向东走到B点，测得． 从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上． 从A点出发，沿着南偏东的方向走到点B，测得，． 测量示意图          (1)第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． (2)请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出河宽． 18．如图，点在线段AB上，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 19．如图，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 20．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 等腰三角形的判定与性质 （3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等腰三角形的定义 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 【即时训练】 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形． ∴这样的直线最多可画4条． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．8 B．10 C．4或8 D．6或10 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系， 根据等腰三角形的定义分两种情况讨论，再结合三角形的三边关系得出答案． 【详解】解：等腰三角形的两条边长分别是2和4， 若三边长为2，2，4；因为，所以不符合题意； 若三边为2，4，4；根据三角形三边关系，符合题意， 则等腰三角形的周长为． 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如果一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则此等腰三角形的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．分两种情况讨论∶ 当腰长为4时，当腰长为9时，即可求解． 【详解】解：①当腰长为4时，4、4、9，，不能够组成三角形； ②当腰长为9时，4、9、9，能够组成三角形，此时周长． ∴这个等腰三角形的周长是22． 故答案为：22. 知识点2：等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 【即时训练】 4．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，分别以，为边作两个等腰直角三角形和，使． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形性质，以及三角形内角和，全等三角形的性质和判定 （1）根据等腰三角形性质和三角形内角和，算出，，再利用，即可解题； （2）根据等腰三角形性质，证明，利用全等三角形的性质即可解题． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形， ． 又，， ． ； （2）证明：和均为等腰直角三角形， ，，． 又， ． ． ． 5．（2023·浙江温州·二模）如图，在中，，点为的中点，D，E分别为，上的点，且．      (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)55度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）由可得，再根据“两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”即可； （2）等腰三角形中由顶角度数可得两底角度数，由（1）题结论根据全等三角形的性质可得，然后在中根据内角和可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点P为的中点， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使． (1)求证：． (2)设的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质： （1）根据等边三角形中三线合一可得，根据三角形外角的性质和等腰三角形中等边对等角可得，推出，即可证明． （2）和的高相等，面积比等于底边长度之比，结合（1）中证明过程，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴，平分． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点D作， 则，， 由（1）知， ∴． 知识点3：等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 【即时训练】 7．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，然后推出，，结合已知条件，得到结论． （2）根据等腰三角形的三线合一，得到，根据的周长，利用已知条件，求出答案． 【详解】（1）证明：根据题意得： 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接， 当时， ， ， 的周长，，， 的周长的周长． 8．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证即可求证； （2）根据，结合全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴是等腰三角形 （2）解：∵ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推导是解题关键． 9．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，和分别平分和，过点D作，分别交于点E，F．    (1)若，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由； (2)若的周长为18，，求的周长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)12 【分析】（1）根据等边对等角，得到，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据平行线的性质，以及角平分线平分角，推出，，进而得到的周长为：，即可得解． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）∵的周长为18，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴的周长为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边对等角，平行加角平分线往往会出现等腰三角形，是解题的关键． 【题型1 等腰三角形的定义】 1．如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得是以为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握有两边相等的三角形是等腰三角形． 由等腰三角形的定义和图形，即可得到答案． 【详解】解：如图，这样的格点C的个数为5个， 故选：B． 2．等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分的角是底角和顶角两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当的角是底角时，底角即为； 当的角是顶角时，底角为； ∴它的一个底角的度数是或， 故选：C． 3．已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角新三边数量关系，掌握等腰三角形的定义，分类讨论是关键． 根据等腰三角形的定义分类讨论即可． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和10， 当腰长是，底边长为时， ∵， ∴不能构成等腰三角形； 当腰长是，底边长是时， ∵， ∴符合等腰三角形的定义， ∴这个等腰三角形的周长为， 故答案为：24 ． 4．若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4倍，我们把这样的等腰三角形叫做“4倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为 . 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，进行分类讨论是解题的关键． 设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为，分①为腰；②为腰两种情况讨论即可． 【详解】解：设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为. ①当为腰时， ， 不能组成三角形； ②当为腰时，能够组成三角形， ， ， ∴该等腰三角形底边长为2． 故答案为：2． 5．一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】(1) (2)与，或与 【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； 【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； （2）当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 【题型2 等边对等角】 6．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据腰三角形的性质即可求解，掌握腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7．如图：在中，，平分，交于点D，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键．设，由条件结合等腰三角形的性质可证明，在中由三角形内角和定理列出方程可求得x，可求得． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，即， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 8．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 9．等腰三角形的顶角等于，则一个底角的度数为 ；等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°即可得出答案． 【详解】解：等腰三角形的顶角等于，两底角相等， 一个底角等于：； 等腰三角形的底角等于，两底角相等， 顶角等于：． 故答案为：；． 10．如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数． 【答案】， 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一解答．根据等腰三角形的性质求出，进而解答即可． 【详解】，， ， ，是中线， ，即． ． ，是的平分线， ． 是的外角， ． 【题型3 三线合一】 11．下列说法正确的有（　　） ①角平分线上任意一点到角两边的距离相等 ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 ③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等 ④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．根据角平分线的性质定理和等腰三角形的性质逐一判断即得答案． 【详解】解：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，故①正确； 等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合，故②错误， 三角形三个角平分线的交点到三边的距离相等，故③错误，④正确； 综上，正确的说法是①④，有2个． 故选：B． 12．如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．利用等腰三角形的性质求得，推出，由，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 13．如图，中，，， ，，垂足分别是下列结论：①平分；②平分；③；④上的点到两边距离相等．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由，推出平分；得到上的点到两边距离相等；由，可推出，得到，，即可得到答案． 【详解】解：，， 平分， 故结论①正确； 上的点到两边距离相等， 故结论④正确； ，， ， 在和中， ， ，， 平分 故结论②③正确； 综上所述，结论正确的有个， 故选：D． 14．如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 【答案】110 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到，利用等边对对角得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：在中，，D为的中点， ，即， ，， ， ； 故答案为：． 15．如图，在中，边的垂直平分线，交边于点，交边于点，连接． (1)若，的周长为10，求的周长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形外角的性质， （1）根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式可推出，即可求解； （2）根据对顶角相等可得，根据垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质得，进而根据三角形外角的性质即可求解； 解题的关键是掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 【详解】（1）解：∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为； （2）∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【题型4 等腰三角形的判定】 16．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 17．如图，在中，，点D、E分别在边上，，连接相交于点P，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定， 先根据等腰三角形的性质得，再证明，可得，即可得，最后根据得出答案． 【详解】证明：∵在中，， ∴． 又∵, ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 18．如图，在 中， 的平分线与交于点D，点E为上任意一点，过点E作 交于点F，作交于点G．求证： 是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识．根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 19．如图，在中，分别以，为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点，，直线交边于点，交边于点，连接． (1)请根据以上尺规作图为依据，结合图形写出两个正确的结论： ， ；（不添加字母和线段） (2)若，求证：为等腰三角形．（上题所写正确结论可作为已知条件） 【答案】(1)垂直平分；（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． （1）根据尺规作图得到的信息，结合垂直平分线的判定与性质即可得到结论； （2）由（1）中证明的，根据“等边对等角”得到，再结合即可推得，由“等角对等边”即可得证． 【详解】（1）解：依题得：， 点、点都在线段的垂直平分线上， 即直线垂直平分线段； 直线交边于点， ． 故答案为：垂直平分；（答案不唯一）． （2）解：， ， ， ， ， ， 为等腰三角形． 20．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于．    (1)求的长； (2)若，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，再结合的周长等于，即可求出的长； （2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再利用三角形外角的性质得到，则有，即可得证． 【详解】（1）解：的垂直平分线交于点D， ， 的周长为， ． （2）证明：，， ． 由（1）得，， ， ， ， ． 【题型5 等腰三角形的性质】 21．如图，在中，，点E，F，D分别在边，，上，∥，∥，则四边形的周长是（   ） A．6 B．15 C．18 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ， 则四边形的周长是， 故选：D． 22．如图，在三角形中，过点B，A作，，交于点F，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：C． 23．如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到 ，，于是得到，，代入数据即可得到结论． 本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题． 【详解】解：∵， ∴，， ∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 24．如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得到，得，得到，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，从而求得的长． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 即， 又， ， 故答案为：4． 25．如图，是的角平分线，是的中点，，交于点，交于点． (1)若，，则___________度； (2)若，求的长． 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了平行线性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线是性质，等腰三角形的判定是解决问题的关键． （1）由平行线的性质得到，，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可求得答案； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质证得，根据等腰三角形的判定即可求得答案． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， 平分， ， ， 故本题答案为：35； （2）是的中点，， ， ， ， ， ， ． 【题型6 格点中画等腰三角形】 26．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 27．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（  ）   A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，根据是以为腰的等腰直角三角形，进行作图，即可作答． 【详解】解：∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： 综上：满足是以为腰的等腰直角三角形的点P有个， 故选：A 28．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 29．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 【答案】5 【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别为腰找等腰三角形和为底找等腰三角形，即可． 【详解】解：如图，分别为腰画出等腰三角形和为底画出等腰三角形， 符合条件的点C有5个， 故答案为：5． 30．如图是由36个边长为1的小正方形拼成的网格图，请按照要求画图： (1)在图1中画出1个以为底的等腰，要求顶点是格点． (2)在图2中画出1个以为直角边的直角，要求顶点是格点． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【分析】本题考查了几何画图的能力，掌握格点图中作相等的线段，作垂直的方法是解题关键． （1）根据网格的特点取格点C，即可解题； （2）过点A或点B作垂线段即可取到格点C． 【详解】（1）如图所示（答案不唯一）． 此为所有存在的答案，取其中1个即可． （2）如图所示（答案不唯一）． 此为所有存在的答案，取其中1个即可． 【题型7 尺规作等腰三角形】 31．如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据作图可得，进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义，即可求解． 【详解】解：如图， 根据作图可得 ∴ 32．如图，在四边形中，点E是边上的点，请用尺规作图法作一个等腰，点P在四边形内部，且点P到边、的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作等腰三角形，角平分线，解题的关键是掌握以上作图方法． 以点B为圆心，为半径画弧交于点F，然后作出的平分线交于点P，连接，，即为所求． 【详解】如图所示， 根据题意得，，且点P到，的距离相等 ∴等腰即为所求． 33．如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先画射线，在射线上截取，然后作的垂直平分线，垂足为O，再截取，再连接、，即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 34．已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题． (1)填空：由作图可知，射线是的______； (2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)角平分线 (2)，理由见解析 【分析】本题考查尺规作图--作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定． （1）根据作图可知：射线是的角平分线； （2）根据作图可知，得到，进而推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由作图可知，射线是的角平分线； 故答案为：角平分线； （2），理由如下： 由作图可知：， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 35．已知：中，边上一点D． 求作：等腰，使为等腰的底边，且点P到、两边的距离相等．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】见解析 【分析】作BD的垂直平分线和∠ACB的平分线，两条线的交点即为点P，顺次连接即可． 【详解】解：如图所示： 则即为所求. 【点睛】本题考查了尺规作图，解题关键是明确垂直平分线和角平分线的性质及作法． 【题型8 等腰三角形的最小值问题】 36．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到的长度的最小值是解题的关键．由垂直平分，得到点关于直线对称，于是得到的长度的最小值，即可得到结论． 【详解】∵，D是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， 如图，当P为与的交点时，取最小值， 此时， ∴的最小值为， 故选：B． 37．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 38．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，分别在三幅图中的线段上画出格点P，使点P满足以下要求： (1)在图①中，连结，使最小； (2)在图②中，连结、，使； (3)在图③中，连结、，使为直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线段最短，在线段上取格点P，使即可； （2）作线段的垂直平分线，与的交点即为点P； （3）在线段上取格点P，使即可． 【详解】（1）解：如图①，在线段上取格点P， 则点P即为所求； （2）解：如图②，作线段的垂直平分线， 则点P即为所求； （3）解：如图③，在线段上取格点P， 则点P即为所求． 39．（1）观察发现 如图1，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使的值最小．方法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P． 如图2，在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在上找一点P，使的值最小． 方法如下：作点B关于的对称点，恰好与点C重合，连接交于一点，则这点就是所求的点P，故的最小值为_____________； （2）实践运用 如图3，在四边形中，点B与点D关于对称，对角线与交于点，点P是对角线上的一个动点，，点M是的中点，求的最小值； （3）拓展延伸 如图4，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，不必写出作法） 【答案】（1）2；（2）4；（3）见解析 【分析】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，理解并掌握轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，两点直线线段最短的计算方法是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，轴对称的性质得到的最小值为的值，且，由此即可求解； （2）由题意可知所在直线是的对称轴，连接交于点P，连接，此时的值最小，，由M，O为的中点，得到，，可证明，得到，由此即可求解； （3）如图所示，以点A为圆心，为半径画弧，以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接交于点，连接并延长交于点， 可证，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，是高， ∴作点B关于的对称点，恰好与点C重合，的最小值为的值， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）由题意可知所在直线是的对称轴，连接交于点P，连接， ∴，此时的值最小，， ∵M，O为的中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4； （3）如图所示，以点A为圆心，为半径画弧，以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接交于点，连接并延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求点的位置． 40．如图，在等腰三角形中，，点，在上，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作等腰三角形的对称轴． (2)如图2，为线段上一点，请在等腰三角形的对称轴上找一点，使得点到，两点的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、轴对称最值问题， （1）如图，连接，交于点，连接，则直线即为等腰的对称轴； （2）如图，连接，则与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点，连接，则直线即为等腰的对称轴． 理由如下： ， ， ， ，， ， ， 由等腰三角形的对称性可知：点与点、点与点都关于的对称轴对称， 连接，交于点，则点在等腰的对称轴上， 直线即为等腰的对称轴； （2）解：如图，连接，则与直线的交点即为所求的点． 理由如下： 点在等腰的对称轴上， ， 由“两点之间，线段最短”可知：当点在与对称轴的交点处时，点到、两点的距离之和最短． 【拓展训练一 等腰三角形的判定与性质综合】 41．如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，，得出，再根据等腰三角形的性质得出即可得证结论； （2）根据证，得出，根据，即可得证结论． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴，， ， ，， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知，，那么， 在和中， ， ∴， ∴， 是边上的中线 ， ∴． 42．综合与实践：在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断： 如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：______． (2)性质探究： 如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，均在外，连结、，试说明（1）中和之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． (3)拓展应用： 如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，点，，在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)成立；见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可得出答案； （2）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可完成证明； （3）通过已知条件，证明，得出，在等腰中，由为的高，得为的中点，即，根据，即可完成证明． 【详解】（1）解：和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ， 故答案为：； （2）依然成立，理由如下： 和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ； （3）和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，， ，， ， ， ； 在等腰中，， 为的中点， ， ， ． 43．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图①，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，点是边上一点，且，点是边上一动点（不包括两端点），连接，．老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空：__________；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图②，若．求证：； （3）任务二：如图③，，，，若，试说明．此时，点关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）=；（2）见解析；（3）7.5或4.5． 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点Q，则，即可证明，有和，结合角平分线即可得．如图③，在线段上取点，使得．由对称得，可证明，有．即可得．进一步证明，则，再次证明．可求得和，，即可求得的面积；当时，在线段上取点，使得．同理可得，，有，，和即可． 【详解】解：（1）∵平分，，分别是，的高， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图②，作于点H． 在和中， ∴， 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． （3）解：如图③． ∵， ∴． 延长交的延长线于点Q， ∴． ∴． 在和中， ∴（） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． 如图③，在线段上取点，使得． ∵点是点关于的对称点， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴，即． 在和中， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴． ∴的面积为． 如图，当时，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，的面积7.5或4.5． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、对称性以及三角形全等的判定，关键是要分和两种情况讨论． 44．人教版八年级上册课本中有如下内容： 活动2  用全等三角形研究“筝形” 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 (1)如图，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 (2)①如图1：小文通过连接筝形的一条对角线得到一对全等的三角形，进而得到筝形角的性质“筝形有一组对角相等”，判定这两个三角形全等的依据是：______； ②如图2，连结筝形的两条对角线．你能发现筝形对角线有哪些性质吗？请写出一条；______； 【拓展应用】 (3)①如图3，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数：______； ②如图4，在筝形中，过点D作交于点E，若，，求的长；              【答案】(1)见解析 (2)①；②两条对角线互相垂直（答案不唯一） (3)①或；②8 【分析】本题考查了筝形、画轴对称图形、全等三角形的性质与判定、垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，理解筝形的定义及其性质是解题的关键． （1）作点关于对称得到点，连接、，由轴对称的性质可得，，则筝形即为所求； （2）①利用全等三角形判定即可解答；②利用垂直平分线的判定与性质即可得出结论； （3）①根据筝形的性质，分和两种情况讨论，结合图形分别求出的度数即可；②根据筝形的性质得到，，利用三线合一性质得到，再利用平行线的性质得到，进而得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，筝形即为所求： （2）解：①在和中， ， ． 故答案为：； ②，， 是的垂直平分线， ， 筝形的两条对角线互相垂直（答案不唯一）． 故答案为：两条对角线互相垂直（答案不唯一）． （3）解：①情况一：当筝形中，时，如图， ； 情况二：当筝形中，时，如图， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或； ②筝形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 45．【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）证明和中三个角分别对应相等即可得到结论； （2）分别证明，，，可得与为均等三角形，证明，可得，可得为等腰三角形，从而可得结论； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴和是均等三角形. （2）在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴，，， ∴与为均等三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴为的“均等分割线”． （3）①∵是等腰三角形，， 当时，， ∵是的均等分割线， ∴， 此时，，满足条件； ②当时，， ∴， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，， 则 那么（舍去）， 故的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“均等三角形”以及“均等分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． 【拓展训练二 等腰三角形的动点问题】 46．综合与探究 【发现问题】 （1）在数学探究课上，王老师带着大家探究三角形全等的条件，对数学兴趣浓厚的小明发现了一个有趣的情景，情景如下： 如图1，在长方形中，，，，P为边上一点且．Q为上一动点，连接．小明发现当时，．请你帮助小明证明这个结论． 【探究发现】 （2）小华将小明的数学问题进行了改动，将原来的长方形换成了正方形．如图2．P为边上一点，过点P作，交的外角平分线于点Q，试探究与相等吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3．小林连接了，交于点F，连接．试判断、、之间的数量关系，只写结论，不需要证明． 【答案】（1）见解析；（2）与相等，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明即可得解； （2）在上截取点，使得，则，证明，即可得证； （3）由（2）可得：，则为等腰直角三角形，延长至，使得，连接，证明，得出，，证明，得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 在上截取点，使得，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图，延长至，使得，连接， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 47．如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为．过点作于点，连接交于点． (1)________，________．（用含t的式子表示） (2)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由路程、速度和时间的关系表示的长，由等边三角形的性质及线段的和差关系表示即可得到答案； （2）过点作的平行线交于，证得，得到，进而求得． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下： 过点作的平行线交于，如图所示： ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，等边三角形的性质及判定，平行线的判定及性质，全等三角形的判定与性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 48．中，，．D，E是直线上两动点，点D沿方向运动，点E沿方向运动，且．连接，作直线，垂足为F，交于点G，直线交（或延长线）于点H． (1)如图1，当点D，E在线段上时． ①过点B作交于点P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） ②求证：； ③猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想： (2)如图2，当点D，E在直线上时，其他条件不变，（1）③中你猜想的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①图见解析；②见解析；③猜想：，证明见解析 (2)（1）③中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）①作出，即可得解；②由平行线的性质可得，再根据同角的余角相等即可得证；③先证明，得出，再证明得出．最后证明出，再由等角对等边即可得证； （2）如图，过点B作交的延长线于点P．先证明得出，，再证明得出，从而得出，即可得解． 【详解】（1）解：①作图如图所示．（作法不唯一） ②证明：， ． 又， ． ， ． ③猜想：． 证明：在和中 ， ． ． ，． ， 在和中 ， ． ． ． ，， ． ． （2）解：（1）③中的结论仍然成立． 证明：如图，过点B作交的延长线于点P． ． ， ． ． 在和中 ， ． ，． 在和中 ， ． ． ． ． 49．如图，在中，，，为边上一动点（点不与重合），过作于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)试探究的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)为定值，定值为 【分析】（）利用余角性质可得，进而由即可求证； （）过点作交于点，可证，可得，即得是等腰直角三角形，得到，进而由三角形外角性质得到，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是定值，理由如下： 过点作交于点， ∴， ∴， ∵，即，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的大小为定值，定值为． 50．在中，，，点是的中点，点为射线上的一动点（点不与点、重合），过点作于点，过点作于点，连接并延长，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上运动时． ①求证：； ②在点的运动过程中，的大小是否随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； (2)当点在射线上运动时，连接，若，，请求出的面积． 【答案】(1)①见解析；②的大小不变，； (2)满足条件的的面积为或． 【分析】本题考查了全等三角形的证明与性质，等腰三角形的判定和性质； （1）①根据等角的余角相等得出，证明； ②证明，进而证明证明，得出，则的大小不变，．证明是等腰直角三角形，可得结论； （2）根据题意画出图形，分类讨论，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； ②如图，结论：的大小不变，，理由如下： 由①得： ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； ∴是等腰直角三角形， ∴的大小不变，； （2）如图，当，时， ∴， ∴， ∴； 如图3中，当，时，， ∴ 综上所述，满足条件的的面积为或． 【拓展训练三 等腰三角形的存在性问题综合】 51．如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，，分别与交于点M，N．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求t的值； (2)当t为何值时，点M在的平分线上？ (3)当点N为的中点时，求t的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或6或9 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平移的性质等知识内容，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的定义可得，据此可得答案； （2）连接，证明，得到，据此可得答案； （3）连接，由平移的性质可得，可证明垂直平分，则，导角证明，得到，则，据此可得答案； （4）分，和三种情况，根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解；如图所示， ∵垂直平分， ∴， 在图①中， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵点M在的平分线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由平移的性质可得， ∵，即， ∴， ∵点N为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：存在，理由如下： 当时， 过点B作于G， 在图①中，∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点E与点G重合， ∵，， ∴， ∴； 当时，则； 当时， 则点F在的垂直平分线上， ∴同理可得， ∴； 综上所述，t的值为或6或9． 52．如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于，以下四个结论：①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角性质，分类讨论，熟练掌握是解题的关键． 根据已知得到，根据三角形的外角性质即可得到，判断①；根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形性质即可得到，判断②；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，判断③；证明，可得，得到，判断④． 【详解】解：①∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故①正确； ②∵D为中点，， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ③∵， ∴， ∴ ， ∵为等腰三角形， ∴当时， ∴ ， ∵ ， ∴； 当时， ∴， ∴ ， ∴或 故③错误； ④∵， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故④正确， 综上所述正确的有①②④． 故选：C． 53．如图，，，以点圆心任意长为半径画弧交，分别于点，，再以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线，D为射线上一点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图—作角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，分，，，三种情况进行讨论求解即可，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论进行求解，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况：如图： ①当时，则：，此时点为与的交点， ∴； ②当时，则：，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴； ③当时，则：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或或； 故答案为：或或． 54．如图，在中，，，点是上的一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，图形的折叠，利用分类讨论思想解答是解题的关键．先求出，，再根据折叠的性质可得，，然后分两种情况讨论：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵， ∴，， 由折叠的性质得：，， 当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，是等腰三角形， ∴ ∴， 即，不符合题意，舍去； 当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，度数为或． 故答案为：或． 55．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，已知，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或或，是等腰三角形． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，根据题意求出，根据三角形内角和定理计算； （3）分三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当时，， ∴， ②当时，， ∴， ③当时，， ∴， 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了是全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关的判定定理是解题的关键． 【拓展训练四 等腰三角形的新定义问题】 56．定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． (1)如图1，在“双垂四边形”中，若，则_______； (2)如图2，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，，且，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，理解题中定义是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质推导可证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 57．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)18 【分析】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）证明，即可得； （2）延长至点P，使，证明，得到，根据邻补角的定义证明即可； （3）连接，首先得到，然后证明出，推出，然后得到，即可． 【详解】（1）证明：∵和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点， 和都是等腰三角形， ，，， ， 即 ， ； （2）理由如下：如图2，延长至点P，使， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：连接，如图3所示： ，， ， ∵和互为“兄弟三角形”， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， 是公共部分， ． 58．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 【答案】（1）③ ；（2），证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】解：（1）∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 59．定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线． (1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数； (2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义、三角形的三分线的定义画出图形即可得； （2）先根据等腰三角形的性质可得，，，再设，根据三角形的内角和定理、三角形的外角性质可得，，，则，然后分两种情况：①和②，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：画图如下：（答案不唯一） （2）解：∵，， ∴是等腰三角形，，， ∵， ∴是等腰三角形，， 又∵线段，是的三分线， ∴是等腰三角形， 设， ∴， ， ， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形， 则，即，解得； ②当时，是等腰三角形， 则，即，解得； 综上，的度数为或． 60．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在如图2中，作出的“双等腰线”，并标出各内角度数或作必要的标注； (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是____________； (3)如图3，已知在中，，，点O是的中点，过点C作，交的延长线于点D，边上的一点E恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“三等腰线”． 【答案】(1)见解析； (2)或或或； (3)见解析． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解三角形的“双等腰线”，“三等腰线”的定义，属于中考创新题型． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （3）证明，，都是等腰三角形即可． 【详解】（1）解：如图2，取的中点D，则， ∴和是等腰三角形；相等的线段为； 如图，取，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形；相等的线段为； 如图，作的垂直平分线，交于D，交于E，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形；相等的线段为，； （2）解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ④设顶角为x， 可得，， 解得：， ∴ 故答案为：或或或； （3）证明：∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，都是等腰三角形， ∴线段、是的“三等腰线”． 1．等腰三角形中，若一个角度数为，则底角度数是（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分两种情况可直接求出其底角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，若顶角是， 其底角为； 等腰三角形的两个底角相等，若底角是， 其底角为． 故选：B． 2．如图，在中，于点，点，是上的两点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．6 C． D．15 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 先利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后利用证明，从而可得图中阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的面积的面积， ∵，， ∴的面积， ∴图中阴影部分的面积的面积， 故选：C． 3．如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，则，得到，；根据等角对等边，则，即可． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（    ）    A．10 B．9 C．6 D．5 【答案】D 【分析】分别计算和的面积，再根据等腰三角形的面积直接可求出的值． 【详解】解：连接，    由题可知：， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分割法求面积，再利用等面积转化是解决问本题的关键． 5．如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以的速度从树枝的A点处出发沿树枝方向向上爬行，另一只蚂蚁N从O点出发，以的速度沿树枝方向爬行，如果足够长，，且两只蚂蚁同时出发，用表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】分点M在O点下方或点M在O点上方两种情况，分别根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】 解：当点M在O点下方时， ∵， ∴当时， ∴， 解得， 当点M在点A上方时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 解得， ∴或， 故选：C． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，一元一次方程，运用分类讨论思想是解题的关键． 6．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，先求出，进而求出，求出，由三角形内角和定理和即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ，为的平分线， ． 又， ． 是的垂直平分线， ， ， ． 为的平分线，， 直线垂直平分， ， ， 点C沿折叠后与点O重合， ，， ， 在中，， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关知识来分析、判断． 7．如图所示的方格中， 度． 【答案】135 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理．根据网格结构的特点找出全等三角形以及等腰直角三角形是解题的关键．标注字母，然后根据网格结构可得与所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出的度数；再根据所在的三角形是等腰直角三角形可得，然后进行计算即可得解． 【详解】解：如图， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． 8．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为； 故答案为： ． 9．如图，中，垂直平分，分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，求三角形的面积，先根据垂线段最短确定最小值，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 过点A作，交于点G， 根据垂线段最短，可知， ∴的最小值为． ∵， 解得， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 10．如图，在中，和分别是和的平分线，过点D，且，若，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角形即可解答． 【详解】解：∵和分别是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 11．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，由作图方法可知，垂直平分，则由三线合一定理可推出点A在直线上，再分点P在点A下方和点P在点A上方，两种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴点A在直线上， 如图所示，当点P在点A下方时， ∴， 由作图方法可知， ∴； 如图所示，当点P在点A上方时， 同理可得 由作图方法可知， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 12．如图，在中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则 ． 【答案】3.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，证明，得出，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再根据已知可得，从而可得，最后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，中，，；是一个足够大的等腰直角三形，，且可绕着点旋转，边、分别交线段于、两点；当 时，为等腰三角形？ 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解决本题的关键是利用分类讨论思想解决问题．为等腰三角形可以分为，，三种情况讨论，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可求解． 【详解】解：，， ， 是等腰直角三角形，， ， 当时， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ； 综上所述：当为或或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 14．如图，在中，，点，在上，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由等腰三角形的性质得，再证明，得，即可得出结论． 【详解】证明： 在和中 为等腰三角形 15．已知：如图，，，求证：． 小桐的证明方法如下框： 证明：连结． 在和中， ∵， ∴≌， ∴． 小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程． 【答案】不正确，过程见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据不能判定三角形全等，可知，小桐的证明是错误的，连接，等边对等角，得到，根据，得到，等角对等边，得到即可． 【详解】解：小桐的证明是利用证明三角形全等，而不能判定三角形全等，故小桐的证明不正确； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 16．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 17．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表：    课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 从A点向东走到B点，测得． 从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上． 从A点出发，沿着南偏东的方向走到点B，测得，． 测量示意图          (1)第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． (2)请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出河宽． 【答案】(1)第二小组的方案可行，证明过程见详解 (2)证明方法见详解 【分析】本题主要考查等腰直角三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据题意可得，可证，所以，由此即可求解； （2）选择第一小组，可证是等腰直角三角形，可得，可得河宽；选择第三小组，可证是等腰三角形，可得，可得河宽． 【详解】（1）证明：第二小组的方案可行，理由如下， ∵点在点的正北方，从点向正东走到点， ∴， ∵点在点的正东，从点向南走到点， ∴点三点共线，， ∴， ∵树，标杆，人在一条直线上， ∴，且， ∴， ∴， ∴第二小组的方案可行； （2）解：第一小组，根据题意，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴河宽； 第三小组，根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴河宽． 18．如图，点在线段AB上，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理和等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，得到，据此可证明结论； （2）根据等边等等角得到，由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ． ． 是等腰三角形． （2）解：， ， ， ． , ， ， ． 19．如图，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，即可得证； （2）先利用等腰三角形的性质可得：，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，进而利用三角形内角和定理可得，最后利用平行线的性质可得． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，外角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 20．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$