专题2.3.1等腰三角形的性质定理十一大题型（第1课时 等边对等角）（一课一讲）2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

专题2.3.1等腰三角形的性质定理十一大题型（一课一讲） （第1课时 “等边对等角”） ①等腰三角形的性质定理 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。 ②由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论：等边三角形的各个内角都等于60°。 题型一：根据等边对等角求角度 【例题1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据等腰三角形的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴. 故选：B． 【变式训练1-1】如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．根据等边对等角，得出，可求，再根据，得到，最后根据即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式训练1-2】(25-26八上·北京师达中学·开学考)如图，点D在上，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角的和差推出，，利用证明，根据全等三角形的性质定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 【变式训练1-3】如图所示，在中，，点D、E、F分别在边上，连结，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质．先根据等边对等角，得出，再证 ，推出，最后根据三角形外角的性质可推导出． 【详解】解： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选D． 【变式训练1-4】(24-25七下·陕西咸阳渭城区底张镇·期末)如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质．解决问题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 连接，依据垂直平分线的性质可得，从而得到，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，所以，根据直角三角形性质可得的度数，根据轴对称的性质可得的度数． 【详解】解：连接， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选B． 【变式训练1-5】(25-26八上·重庆六校联考·月考)如图，，点落在上，且，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和，正确得出全等三角形对应角和对应边是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出，，结合等边对等角，角的等量代换可得，进而求出和度数，最后利用三角形内角和等于可求得的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型二：根据等边对等角求线段长度 【例题2】如图，在四边形中，，，，， 则点D到边的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，等边对等角，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行线的性质和等边对等角得到，然后利用角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点D到边的距离． 故选：B． 【变式训练2-1】(24-25七上·广西桂林宝贤中学·月考)如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若，则的周长为 （    ） cm     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由于垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质得到，由此得到的周长，又，，由此即可求出的周长． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长， 又，， 的周长． 故的周长为． 故选：C． 【变式训练2-2】(24-25七下·广东深圳宝安区·期末)如图，中，，，为平面上一点，连接，点为中点，连接，，，，，且，若，则的面积为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．证明，可得，再结合等腰直角三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴的面积为． 故选：C 【变式训练2-3】(24-25七下·上海松江区民乐中学·月考)如图，已知，的平分线交于点，，且，如果点是边的中点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 由平行线的性质，结合角平分线，可得，从而可得，即可得的长． 【详解】解：∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，点是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2-4】(2025·广东省汕头市·三模)如图，在中，是的平分线，，，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先在截取一点，使得，再运用外角性质得，然后证明，则，即可作答． 【详解】解：在截取一点，使得，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 题型三：三角形内角和与等边对等角 【例题3】在等腰三角形中，，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论．分为：为顶角、为顶角和为顶角，再根据三角形内角和定理可求得的度数，从而确定答案． 【详解】解：在等腰三角形中，， 当为顶角时， ； 当为顶角时， ； 当为顶角时， ， ； 则的度数不可能是， 故选：C． 【变式训练3-1】(24-25八上·湖北襄阳华侨城实验中学·月考)如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，，由等边对等角得到，，根据三角形内角和定理求出，再根据角的和差计算即可得到答案． 【详解】解： 点关于、的对称点为，， ，， ，， ， ， ， 故选：A． 【变式训练3-3】如图，中，，，点在内部，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得出，再结合三角形内角和性质，以及，得出，又因为，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，且， ， 而， ， 故选：D． 【变式训练3-4】(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如图，为等边三角形，以边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．首先求出，再利用等腰三角形的性质求解． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：D． 【变式训练3-5】在等腰中，与的度数之比是，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据与的度数之比是，设，，分为顶角和为底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵与的度数之比是， ∴设，， 当为顶角时，则：， ∴， ∴， ∴； 当为底角时，则：， ∴， ∴， ∴； 故或； 故选D． 【变式训练3-6】如图，直线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质并作出辅助线是解题的关键．过点作，得出，再得出，则，结合，可求出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图：过点作， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴， ， ， ， 故选：C． 题型四：三角形的外角与等边对等角 【例题4】如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的定义和性质．由等边对等角得出，再由三角形外角的定义和性质得出，最后再根据等边对等角即可得出答案． 【详解】解∶∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 【变式训练4-1】(24-25八下·甘肃临夏回族永靖县·期中)如图，线段，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连结，延长交于点，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：连结，延长交于点， ∴， ∵点是，的垂直平分线的交点，， ∴，， ∴，， ∴， 即的度数为． 故选：D． 【变式训练4-2】如图，D、E分别是的边上的点，若，，时，则（　　） A．15° B．30° C．45° D．20° 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等量代换、等式性质． 先利用，可得，同理可得，再利用外角性质可得，，而，等量代换可得，化简得，解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练4-3】(24-25七上·湖南衡阳耒阳正源学校·月考)如图，在中，，，为线段的垂直平分线与直线的交点，连接，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 由D为线段的垂直平分线与直线的交点可得，可得，根据三角形外角的性质可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵由D为线段的垂直平分线与直线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练4-4】(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·月考)如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式训练4-5】(24-25八上·贵州黔西南州兴仁黔龙、黔峰、金成学校·期中)如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，同理即可求出． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：D． 题型五：等边对等角与尺规作图 【例题5】如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．在上找一点P，使得，若，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，由作图可知为的角平分线，即得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，即可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：B． 【变式训练5-1】(24-25八上·河南安阳林州·期末)如图，在长方形中，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【答案】B 【分析】本题主要考查长方形，尺规作图——作角平分线和线段垂直平分线，熟练掌握长方形的性质，角平分线和线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，是解题的关键 根据长方形性质得，，得，根据角平分线定义，线段垂直平分线段性质，，，得，即可求得． 【详解】解：∵长方形中，，， ∴， 根据尺规作图的痕迹知，射线为的角平分线， ∴， ∵点E在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练5-2】(24-25八上·吉林吉林吉化第九中学校·期末)如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 先根据尺规作图可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：由同圆的半径相等得：， ， ， ． 故选：B． 【变式训练5-3】(24-25八上·河南许昌第三初级中学·期末)如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质，由作图过程可知，直线，则．由等腰三角形的性质可得，则，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练5-4】(24-25八下·湖南长沙·模拟)如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，直线交于点D．连结，再按如图所示作射线，交于点P，根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线作法、线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及外角定理； A.由作法得D在的垂直平分线上，即可判断；B.由作法得平分，即可判断；C.由等腰三角形的性质得，即可判断；D.由等腰三角形的性质得，结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可判断． 【详解】解：A.由作法得D在的垂直平分线上，所以，结论正确，故不符合题意； B.由作法得平分，所以，结论正确，故不符合题意； C.由选项A得，所以，结论正确，故不符合题意； D.因为，，所以，所以， ，所以 ，结论错误，故符合题意； 故选：D． 【变式训练5-5】(23-24七下·贵州/毕节金沙县第二中学·期末)如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，与交于点，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质，等线段的作法和性质，等边对等角，三角形的内角和定理等内容．根据三角形的内角和定理和角平分线的性质得出，，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知平分，， ， ， ， 故选：B． 题型六：等边对等角基础证明 【例题6】如图，在中，，过点作，且，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质、“等边对等角”、全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题的关键．由，，，由，得，则，而，，即可根据“”证明，则． 【详解】解：， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练6-1】(23-24八上·北京师达中学·期末)中，，是中点，于点，于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，是中点， ∴，． ∵于，于， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练6-2】(24-25八上·河南南阳西峡县·期末)如图，，，，证明． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 由，推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，再根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据“等边对等角”证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式训练6-3】在等腰中，，，为上一点．如图，若为的中点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了余角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作，交的延长线于点，可证，得到，，再证明，得到，进而即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式训练6-4】(23-24七下·宁夏银川唐徕中学·期末)已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，．试说明：．    【答案】见解析 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角．由垂直平分，得，，进而可得，再证，即可说明． 【详解】证明： 垂直平分， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 题型七：利用等边三角形的性质求角度 【例题7】如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用等边三角形的性质得出相等的角和边，证明，得出，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在与中， ∴， ∴， ， 故选：A． 【变式训练7-1】(23-24八上·河南鹤壁外国语中学·期末)如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出垂直平分是解题的关键．由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． 【变式训练7-2】(25-26九上·四川巴中南江县实验中学·月考)如图，等边中，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质及三角形全等的判定与应用．证明即可求解． 【详解】在等边中，， 又∵， ， ， 而， ． 故选：C． 【变式训练7-3】如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据等边三角形三线合一的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了等边三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵高与交于点O， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练7-4】如图，在等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练7-5】(2025·湖南省长沙市·模拟)如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，过A作，得到，推出，，由等边三角形的性质推出，求出，即可得到． 【详解】解：过A作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型八：利用等边三角形的性质求线段长度 【例题8】如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出． 由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和， 故答案为：． 【变式训练8-1】(24-25七下·江苏无锡江阴第一初级中学·期末)如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故答案为：． 【变式训练8-2】如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ． 【答案】3 【来源】12.3.1等腰三角形的性质-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（华东师大版2024） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由垂线段最短可得当时，的值最小，由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：点在边上， 当时，的值最小， 又是等边三角形， ， 故答案为：3． 【变式训练8-3】(24-25八上·辽宁大连甘井子区大连博雅中学·月考)如图所示，是等边三角形，，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查等边三角形的性质，熟练掌握三线合一是解题的关键．根据三线合一（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合 ）的性质和等边三角形的性质来求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴为中点，即． ∵， ∴； ∵等边三角形三边相等，即， ∴的周长为． 故答案为：12． 【变式训练8-4】(24-25七下·福建厦门思明区·期末)用10个等边三角形拼成一个五边形如图所示，已知最小的等边三角形的边长是1，则最大的等边三角形（阴影部分）的边长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键． 根据题意，设第二小的等边三角形的边长为，而最小等边三角形的边长是，根据等边三角形的性质，列方程求解即可得到，从而得到最大的等边三角形（阴影部分）的边长． 【详解】解：如图， 设第二小的等边三角形的边长为，而最小等边三角形的边长是， 所以其它等边三角形的边长分别，，，， 由图形得，，解得， 所以最大的等边三角形（阴影部分）的边长为：， 故答案为：． 【变式训练8-5】(24-25七下·广东茂名高州·月考)如图，等边周长是18，是的平分线，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质，“三线合一”，根据等边三角形三边相等可得，根据“三线合一”可得是的中线，即可得出． 【详解】解：等边周长是18， ， 是的平分线，， 是的中线， ， 故答案为：3． 题型九：等边对等角中折叠问题 【例题9】如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，还应理解翻折的性质．证明，利用三角形外角性质求出的度数，即可得到的度数，由翻折得，由此根据得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， 故选：A． 【变式训练9-1】(2025·湖北省武汉市·)如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 【变式训练9-2】(24-25八下·陕西西安经开第二中学·月考)如图，在中，，点为内一点，过点的直线分别交于点M，N，且点在的垂直平分线上，点沿折叠后与点重合，连接，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键． 由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得∶，，推出 ，再结合三角形的外角性质可得，最后根据，即可求解． 【详解】解:∵， ∴， ∵点A沿折叠后与点P重合，N在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴ ． 故选B． 【变式训练9-3】(24-25八下·陕西宝鸡·期末)如图，在等腰三角形ABC中，，，的平分线与AB的垂直平分线DO交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断． 连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，根据全等三角形的性质可得，根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】如图，连接， ∵，为的平分线， ∴． 又∵， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∵为的平分线，， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∵将沿 (E在上，F在上)折叠，点C与点O恰好重合， ∴． ∴； 在中， 故选：C． 【变式训练9-4】(24-25七下·江苏淮安开明集团校·期末)如图，在中，，沿直线翻折，使得点A与点B重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，由三角形内角和定理求出，由折叠的性质可得，再由等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿直线翻折，使得点A与点B重合， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型十：等边对等角中最值问题 【例题10】如图，在中，，，平分，P，Q分别为，上的动点，当最小时，的大小是 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点，推出当最小时，点P，点Q分别位于点，点处，的度数为的度数，再求出的度数即可解决问题． 【详解】解：在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴是的对称轴， ∴， ∴， ∴最小值为， ∴当最小时，点P位于点处，点Q位于点处，的度数为的度数， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴当最小时，的度数是， 故答案为：． 【变式训练10-1】(24-25七下·江苏扬州江都区第三中学·期中)如图，在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），P，Q分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出图形是解题的关键．作D关于的对称点E，作D关于的对称点F，连接交于P，交于Q，则此时的周长最小，根据三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作D关于的对称点E，作D关于的对称点F，连接交于P，交于Q， 则此时的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练10-2】(24-25七下·江苏江阴·期末)如图，中，，，D，E，F分别是上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形，垂线段最短，三角形内角和定理，三角形的外角性质．作关于的对称线段，作点关于的对称点，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点，由垂线段最短知的最小值为线段的长，求得，利用直角三角形的性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：作关于的对称线段，作点关于的对称点，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点， ∵，， ∴， 由垂线段最短知的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练10-3】(24-25七下·四川成都成华区·期末)如图，中，和E为边上的定点，F与G分别为边和边上的动点，连接，设的交点为O，当最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 作点关于的对称点，作点关于的对称点，由线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短，可知当最小时，点、、、共线，根据三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，计算即可得的度数． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，则垂直平分，， 作点关于的对称点，连接，则垂直平分，， 当最小时，点、、、共线，如图， ∵，，， ∴， 设，，则，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练10-4】(24-25七下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，在中，，，分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当的值达到最小时，的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：1． 题型十一：等边对等角中解答题综合 【例题11】如图，已知在等腰中，，分别以，为边向外作三角形，使得．有下列2个条件：①；②． (1)请从上述条件中选择一个条件，使得，你选择的条件为______（请填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)①，见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，等边对等角； （1）选择①，根据证明，选择②，根据证明； （2）由等腰三角形的性质得，由（1）知，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：选择①，理由如下： 在和中， ． 选择②，理由如下： 在和中， ． （2）解：， ． ． 由（1）知， ． 【变式训练11-1】如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点G；边的垂直平分线交于点E，交于点F． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，，进而计算即可． 【详解】（1） 边的垂直平分线交于点D，交于点G；边的垂直平分线交于点E， ，， 的周长为， ， ； （2） ， ， ，， ,, ． 【变式训练11-2】(24-25七下·陕西西安高陵区·期末)如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F． (1)若，求的度数． (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，得到，即可求解； （2）由平行线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练11-3】(24-25八上·湖南郴州桂阳县·期末)如图，在中，，点E、F在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，   在和中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴． 【变式训练11-4】(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)如图，在四边形中，点E在上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）利用同角的余角相等得，再根据证明，即可证明结论； （2）由，知是等腰直角三角形，得，再根据，得，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练11-5】(24-25七下·山东枣庄峄城区东方学校·期末)如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理及等边对等角等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键． （1）根据平行线的性质可得，依据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由各角之间的数量关系得出，利用等边对等角及三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练11-6】(24-25八上·安徽亳州谯城区·期末)如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键： （1）根据等边对等角，先得出，再证明，进而可得出答案； （2）先证明，再证明，得出，进而可得出答案； （3）先证明，，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中，， ， （2）解：， ， 在和中，， ， ， ． （3）证明：， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3.1等腰三角形的性质定理十一大题型（一课一讲） （第1课时 “等边对等角”） ①等腰三角形的性质定理 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。 ②由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论：等边三角形的各个内角都等于60°。 题型一：根据等边对等角求角度 【例题1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】(25-26八上·北京师达中学·开学考)如图，点D在上，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】如图所示，在中，，点D、E、F分别在边上，连结，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】(24-25七下·陕西咸阳渭城区底张镇·期末)如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】(25-26八上·重庆六校联考·月考)如图，，点落在上，且，则 度． 题型二：根据等边对等角求线段长度 【例题2】如图，在四边形中，，，，， 则点D到边的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式训练2-1】(24-25七上·广西桂林宝贤中学·月考)如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若，则的周长为 （    ） cm     A． B． C． D． 【变式训练2-2】(24-25七下·广东深圳宝安区·期末)如图，中，，，为平面上一点，连接，点为中点，连接，，，，，且，若，则的面积为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式训练2-3】(24-25七下·上海松江区民乐中学·月考)如图，已知，的平分线交于点，，且，如果点是边的中点，那么的长为 ． 【变式训练2-4】(2025·广东省汕头市·三模)如图，在中，是的平分线，，，，则的长为 ． 题型三：三角形内角和与等边对等角 【例题3】在等腰三角形中，，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】(24-25八上·湖北襄阳华侨城实验中学·月考)如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】如图，中，，，点在内部，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如图，为等边三角形，以边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【变式训练3-5】在等腰中，与的度数之比是，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 【变式训练3-6】如图，直线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型四：三角形的外角与等边对等角 【例题4】如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】(24-25八下·甘肃临夏回族永靖县·期中)如图，线段，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图，D、E分别是的边上的点，若，，时，则（　　） A．15° B．30° C．45° D．20° 【变式训练4-3】(24-25七上·湖南衡阳耒阳正源学校·月考)如图，在中，，，为线段的垂直平分线与直线的交点，连接，则（   ）    A． B． C． D． 【变式训练4-4】(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·月考)如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】(24-25八上·贵州黔西南州兴仁黔龙、黔峰、金成学校·期中)如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 题型五：等边对等角与尺规作图 【例题5】如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．在上找一点P，使得，若，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式训练5-1】(24-25八上·河南安阳林州·期末)如图，在长方形中，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【变式训练5-2】(24-25八上·吉林吉林吉化第九中学校·期末)如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】(24-25八上·河南许昌第三初级中学·期末)如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】(24-25八下·湖南长沙·模拟)如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，直线交于点D．连结，再按如图所示作射线，交于点P，根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】(23-24七下·贵州/毕节金沙县第二中学·期末)如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，与交于点，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型六：等边对等角基础证明 【例题6】如图，在中，，过点作，且，连接，．试说明：． 【变式训练6-1】(23-24八上·北京师达中学·期末)中，，是中点，于点，于，求证：． 【变式训练6-2】(24-25八上·河南南阳西峡县·期末)如图，，，，证明． 【变式训练6-3】在等腰中，，，为上一点．如图，若为的中点，且，求证：． 【变式训练6-4】(23-24七下·宁夏银川唐徕中学·期末)已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，．试说明：．    题型七：利用等边三角形的性质求角度 【例题7】如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】(23-24八上·河南鹤壁外国语中学·期末)如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】(25-26九上·四川巴中南江县实验中学·月考)如图，等边中，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】如图，在等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】(2025·湖南省长沙市·模拟)如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型八：利用等边三角形的性质求线段长度 【例题8】如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 【变式训练8-1】(24-25七下·江苏无锡江阴第一初级中学·期末)如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ． 【变式训练8-2】如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ． 【变式训练8-3】(24-25八上·辽宁大连甘井子区大连博雅中学·月考)如图所示，是等边三角形，，，则的周长为 ． 【变式训练8-4】(24-25七下·福建厦门思明区·期末)用10个等边三角形拼成一个五边形如图所示，已知最小的等边三角形的边长是1，则最大的等边三角形（阴影部分）的边长为 ． 【变式训练8-5】(24-25七下·广东茂名高州·月考)如图，等边周长是18，是的平分线，则 ． 题型九：等边对等角中折叠问题 【例题9】如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-1】(2025·湖北省武汉市·)如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】(24-25八下·陕西西安经开第二中学·月考)如图，在中，，点为内一点，过点的直线分别交于点M，N，且点在的垂直平分线上，点沿折叠后与点重合，连接，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式训练9-3】(24-25八下·陕西宝鸡·期末)如图，在等腰三角形ABC中，，，的平分线与AB的垂直平分线DO交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-4】(24-25七下·江苏淮安开明集团校·期末)如图，在中，，沿直线翻折，使得点A与点B重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型十：等边对等角中最值问题 【例题10】如图，在中，，，平分，P，Q分别为，上的动点，当最小时，的大小是 ． 【变式训练10-1】(24-25七下·江苏扬州江都区第三中学·期中)如图，在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），P，Q分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数为 ． 【变式训练10-2】(24-25七下·江苏江阴·期末)如图，中，，，D，E，F分别是上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【变式训练10-3】(24-25七下·四川成都成华区·期末)如图，中，和E为边上的定点，F与G分别为边和边上的动点，连接，设的交点为O，当最小时，的度数为 ． 【变式训练10-4】(24-25七下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，在中，，，分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当的值达到最小时，的值为 ． 题型十一：等边对等角中解答题综合 【例题11】如图，已知在等腰中，，分别以，为边向外作三角形，使得．有下列2个条件：①；②． (1)请从上述条件中选择一个条件，使得，你选择的条件为______（请填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式训练11-1】如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点G；边的垂直平分线交于点E，交于点F． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【变式训练11-2】(24-25七下·陕西西安高陵区·期末)如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F． (1)若，求的度数． (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式训练11-3】(24-25八上·湖南郴州桂阳县·期末)如图，在中，，点E、F在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练11-4】(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)如图，在四边形中，点E在上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练11-5】(24-25七下·山东枣庄峄城区东方学校·期末)如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练11-6】(24-25八上·安徽亳州谯城区·期末)如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $