第1章 大招专题2 全等三角形的常见模型-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（浙教版2024）

该初中数学课件聚焦八年级上册全等三角形常见模型，涵盖平移、对称、“手拉手”、一线三等角、半角模型，通过母题导入结合模型解读，构建从具体题目到抽象模型的学习支架，帮助学生理清模型特征及应用脉络。 其亮点是以模型为核心，母题学大招夯实基础，子题练变式拓展思维，培养几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）与模型观念（数学语言）。如“手拉手”模型通过旋转构造全等，一线三等角模型推导角度关系，学生能提升解题能力，教师可系统教学模型方法提高效率。

数 学 八年级上册 ZJ 1 2 第1章 三角形的初步知识 3 大招专 题2 全等三角形的常见模型 4 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 难关 母题学大招9 平移模型 1.［中］如图，点，，，在一条直线上， ， ，，试说明 ． 【解】因为，，所以， . 又因为，所以，所以 ，所以 ,所以 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 6 大招解读 平移模型 把沿着某一条直线平移，所得到的与 全等. 基本模型 常见模型 _________________________________________________________________ _____________________________________________________________ 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 母题学大招10 对称模型 2.［中］如图（1）是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图（2）所示， ，，， ，求 的大小. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 【解】因为，所以 ，即 . 在与中， 所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 大招解读 对称模型 将两个三角形沿着某一条直线折叠后，直线两边的三角形能够完全重合，这两个三 角形称为对称型全等三角形，此类图形中要注意隐含条件，即公共边或公共角相等. 基本模型 常见模型 ___________________ ______________________________________________________________________ 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 母题学大招11 “手拉手”模型 3.［2024江苏淮安调研］如图，已知，， ，连结 ， . （1）试说明： . 【解】因为，所以 ，所以 .又因为，，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （2）若 ， ，求 的度数. 【解】因为，所以 . 因为 ， ，所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 大招解读 “手拉手”模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个 三角形为旋转型全等三角形.识别旋转型全等三角形时，涉及对顶角相等、等角加 （减）公共角相等等条件. 基本模型 常见模型 _____________________ _________________________________________________________ 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 子题练变式 4.［中］在平面内，正方形与正方形如图放置，连结， ，两线 交于点 .试说明： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 （1） . 【解】在正方形与正方形中,, , , 所以 , 即 . 在和中， 所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 （2） . 【解】设与相交于点.因为,所以 .又因为 ,所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 （1）根据正方形的性质可得，， ，然 后得到，再利用“边角边”证明和 全等，根据全等三 角形对应边相等即可证明结论； （2）根据全等三角形对应角相等可得 ， 然后根据三角形的内角和定理求出 ， 再根据垂直的定义即可证明结论． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 母题学大招12 一线三等角模型（ 型） 5.［较难］如图（1），在中， ，，是过点 的一 条直线，且，在的异侧，于，于 ． 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 （1）求证： ； 【证明】因为于，于 ， 所以 ．因为 ， ，所以 ，所以 ． 在和中，所以 ，所以 ，.因为 ，所以 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 （2）若直线绕点旋转到如图（2）所示的位置 ，其余条件不变，则 与， 的数量关系如何？请予以证明. 【解】 ．证明如下： 因为于，于，所以 ．因为 ， 所以 ， 所以．在和中， 所以，所以， ，所以 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 思路分析 （1）根据已知条件易证得 ， 再根据全等三角形的判定可证明 ，根据各线段的关系即可得结 论．（2）根据全等三角形的判定可证明 ，根据各线段的关系即可 得结论． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 大招解读 一线三等角模型（ 型） 三个相等的角在同一直线上，称为一线三等角模型（若相等的角为直角则可称为 一线三垂直模型），利用三等角关系可找到三角形全等所需的角相等条件 （如 ）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 _________________________________________ _________________________________________ ____________________________________________________________________ 锐角一线三等角 钝角一线三等角 一线三垂直 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 子题练变式 6.［2025浙江宁波期中，较难］已知是经过的顶点 的一条直线， ，,是直线上两点， . （1）若直线经过的内部， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 图（1） ①如图（1），若 ， ，则，， 间的数量 关系为______________. 【解析】当 时， .因为 , 所以 .因为 ，所以 .因为,所以,所以, .因 为,所以.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 图（2） ②如图（2）， 与 具有怎样的数量关系，才能使①中的结论仍 然成立？写出 与 的数量关系__________________. 【解析】当 时，①中的结论仍然成立.因为 , , ,所以.又因为 ， 所以,在和 中, 所以,所以, ， 所以.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （2）如图（3）,若直线经过的外部， ，①中的结论是否成立？ 若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明. 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解】不成立,,,的数量关系为 .证明如下: 因为 ,, , ,所以 ,所以 .在和中,所以 , 所以，,所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 母题学大招13 半角模型 7.［中］【问题背景】如图（1），在四边形中， ， ， ，，分别是， 上的点，且 ，试探究图中线段，， 之间的数量关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （1）小王同学探究此问题的方法如下：延长到点，使，连结 ， 先说明，再说明 ，可得出结论，他的结论应是 ______________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【解】在和中， 所以，所以，.因为 ， 所以 ，即 .在和中，所以 ， 所以.因为，所以 .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【探索延伸】 （2）如图（2），若在四边形中，， ，， 分别 是，上的点，且 ，上述结论是否仍然成立？请说明理由. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 【解】结论仍然成立.理由：如图（1），延长 到 点，使，连结 . 因为 , ,所以 . 在和中，所以 ，所 以，.因为 ，所以 ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 即.在和中， 所以 ，所以.因为 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【学以致用】 （3）如图（3），四边形是边长为5的正方形， ，直接写出 的周长. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 【解】的周长是10.如图（2），延长到点，使 ， 连结.因为四边形 是正方形，所以 ，.在与 中， 所以，所以 ， .因为 ， ，所以 ， 所以 .在与 中， 所以，所以 ，所以 的周长为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 思路分析 （1）延长到点，使，连结，即可说明 ， 可得，再说明 ， 可得 ，即可解题. （2）延长到点，使，连结，即可说明 ， 可得，再说明 ， 可得 ，即可解题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 （3）延长到，使，连结 ， 根据“”可判定，故可得出 ， ，再由 ， 可得出 ， 故 ， 由“”可判定 ， 故 ，由此可得出答案. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 大招解读 半角模型 半角模型中的重要元素：（1）半角;（2）邻边相等 .半角模型中经常通过旋转将 分散的条件集中起来，进而通过证明两三角形全等进行解题.半角模型求解中一般 涉及两次全等证明，一次旋转型全等，一次对称型全等. _______________________ ____________________________________ ______________________________ _________________________________________________________ 正方形含半角 等腰直角三角形含半角 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 _________________________ ______________________________________________________________________________ 等边三角形含半角 续表 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 $$