第2章 有理数（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

第2章 有理数 教学目标 1.理解正数与负数的概念，掌握有理数的概念与分类。 2.掌握数轴、绝对值、相反数的相关概念，学会用数轴表示有理数，了解绝对值的几何意义，会分类讨论数轴中的动点问题；学会用数轴比较有理数的大小。 3.掌握有理数的四则混合运算，学会运用有理数的四则运算法则进行计算，可以独立解决简便计算问题；掌握有理数四则运算实际问题。 4.掌握科学记数法相关概念。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的分类； （2）数轴的表示、绝对值的性质和相反数的定义； （3）有理数的四则混合运算。 2.难点 （1）数轴上的动点问题，动点的表示等； （2）学会表示绝对值的几何意义，可以分类讨论问题。 （3）有理数的实际应用问题，找到数量关系，列出算式解决问题 知识点一 正数与负数 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 整数和分数 整数：正整数、负整数、零统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 易错点： 1.0不是分数，0是整数； 2.零和正整数又叫自然数； 3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非正整数； 4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数（见知识点五的拓展）. 用正负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 【即学即练】 1．（2025·江苏无锡·一模）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）有理数0.5，，0，，3.1415，中，负数有 个 知识点二 有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：. （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、等，混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．例如：，. 有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 【即学即练】 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）在，，，，（相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数有 个． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合内 ，，0，，12，，，，． 负有理数集合{                  }    正分数集合{                    }   非负整数集合{                  } 知识点三 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【即学即练】 5．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列各图中，所画出的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上江苏镇江·阶段练习）数轴上，点分别表示数和2，则到点A，点B距离相等的点表示的数是 ． 知识点四 绝对值与相反数 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 【即学即练】 7．（24-25七年级上·江苏·期末）已知，，则 . 8．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若与互为相反数，则的绝对值等于 ． 知识点五 比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 【即学即练】 9．（24-25七年级上·江苏南通·期中）比较大小： （用“”“”或“”填空）． 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把下列各数填在相应的大括号里，并用“<”把这些数连接起来． ，，，，，． (1)负整数｛______…｝ (2)正分数｛______…｝ (3)非负数｛______…｝ (4)负有理数｛______…｝ (5)用“<”把这些数连接起来为：______． 知识点六 有理数的四则混合运算 有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 【即学即练】 11．（24-25七年级上·江苏南通·期末）计算： (1)； (2) 12．（24-25七年级上·江苏南通·期末）计算： (1)； (2)． 知识点七 科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 【即学即练】 13．（2025·江苏盐城·三模）2025年“五一”假期，盐城市A级旅游景区、乡村旅游重点村、旅游休闲街区共接待游客6806800人次．数据6806800用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）人工智能的应用需要数据存储技术支持．一个大数据中心的信息存储量相当于本书籍．将用科学记数法表示为 ． 题型01 正数与负数 1．在，，，，，，，这些数中，正数有 ，负数有 ． 2．现在有某种圆形零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为，则这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 3．如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 4．出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米） (1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 题型02 有理数5．把下列各数填入相应的集合内： ①；②18；③；④；⑤；⑥；⑦π；⑧3.5；⑨0． 整数集合：{                   }． 负数集合：{                   }． 非负整数集合：{               }． 分数集合：{                   }．（填序号） 6．把下列各数填入相应的集合中： ，0.5，，28，0，， (1)负分数集合{                      } (2)正整数集合{                      } (3)非负有理数集合{                      } 7．把下面的数的序号填在相应的大括号里：（填序号） ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦1.010010001…（每两个1之间依次多1），⑧ 正数集合：｛                       ｝；整数集合：｛                           ｝； 有理数集合：｛                    ｝；非负整数集合：｛                       ｝； 8．在学习《有理数》一章时，小君了解到：有理数是“比率数”，有理数可以写成两个整数之商．小君想“所有的有理数都可以写成两个整数之商吗?”对此，他展开了研究，他分以下几步来研究，请你来帮他补充完成： （1）整数和分数统称有理数； （2）任何整数都是它除以1所得的商，如把下列数写成两个整数的商：_________，_________， （3）任何分数可以看做两个整数的商，如把下列数写成两个整数的商：_________ （4）无限循环小数能化为分数吗? 小君做了研究：是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即小数部分与原数相同（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即．由此可知，99个等47，所以． 根据小君的研究，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） ①仿上例把化为分数形式，写出推导过程； ②直接写出化为的分数形式是________． ③若已知，则________． 题型03 数轴 9．已知有理数：，0，4，，2.5． (1)画出数轴，在数轴上表示出这几个数，并用“”连接起来； (2)这几个有理数中是正数的有____________________． 10．已知一组数：，，0，，． (1)把下列这条直线补充成一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来； (2)把这些数按照从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来． 11．已知下列有理数：． (1)这些有理数中，整数有____________个，负数有____________个； (2)画出数轴并在数轴上标出上述有理数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 12．如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 题型04 数轴上点的移动 13．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 14．数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 15．数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 16．如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型05 根据点在数轴的位置判断式子的正负 17．实数a，b，c在数轴上对应的点如图，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 18．如图，数轴上两点所表示的数分别为，则 ．（填“”“”或“”）    19．已知a、b是有理数，其在数轴上对应的点如图所示． (1)利用圆规在数轴上分别作出对应的点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)用“＜”连接：______． 20．已知三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是． (1)填空： 0， 0；（填“＞”，“＝”或“＜”） (2)若且点到点的距离相等，当时，求的值； 题型06 相反数与绝对值 21．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 22．下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中结论错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．在数轴上，如果点表示的数是，那么到点的距离等于3个单位的点所表示的数是 ． 24．已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为、、，． (1)　　　，　　　，　　　．（填“”“”“”） (2)　　　，　　　，　　　．（填“”“”“”） (3)化简：． 题型07 绝对值的性质 25．若，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 26．如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 28．已知：a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数，回答以下问题． (1)______，______； (2)已知，求． 题型08 绝对值化简 29．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 30．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 31．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 32．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空） (2)化简：． 题型09 绝对值的其他应用 33．水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 34．对于任意有理数x，y，都有，利用这一结论，求的最小值为 ． 35．阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 36．数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 题型10 有理数大小比较 37．比较与的大小． 38．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 39．比较下列各组数的大小： (1)和2； (2)和； (3)和； (4)． 40．已知下列各数：，，0，，2，，． (1)按要求填空：正分数有 ；负整数有 ；非负有理数有 ． (2)将其中的整数按从小到大的用“”号连接起来． 题型11 有理数的四则混合运算 41．计算 (1) (2) 42．计算： (1)； (2)． 43．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)． 44．计算 (1)； (2)． 题型12 有理数混合运算的实际应用 45．胡老师的新能源汽车上周日行驶里程为75km，记该汽车上周日的行驶里程为0，下表是该汽车本周行驶里程的变化情况（正号表示里程比前一天多，负号表示里程比前一天少，上周日的行驶里程记为0）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 里程变化/km (1)本周哪一天该汽车行驶里程最多？这一天该汽车行驶了多少千米？ (2)本周该汽车的行驶里程为多少千米？ (3)已知该汽车满电续航里程（汽车充满电时可以行驶的总路程）为550km，当续航里程不足满电续航里程的10％时需要为汽车充电，本周一早上出发时该汽车为满电状态．请通过计算说明，本周日胡老师使用完该汽车后，是否需要为该汽车充电？ 46．小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 增减产值 (1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具________个； (2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具________个； (3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每周计件工资制”．小颖本周工资是多少？ 47．西安市地铁2号线北起草滩站，南至常宁宫站，如图是2号线的部分站点图，某天，李刚从小寨站出发，负责2号线上这10站路段志愿者服务活动，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，若规定向北为正，向南为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为，求这次李刚志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程． 48．2024年9月8日至11日，第二十四届中国国际投资贸易洽谈会在厦门举行，本次主题为“投资链接世界”，共吸引了120个国家和地区、18个国际组织、1000多个境内外政府机构及工商企业团组、近8万名客商参展参会．通过展览展示、会议论坛、项目对接和信息发布等多种形式，助力投资合作精准匹配，让国际资本进入中国、中国企业走向国际．为了确保本次洽谈会的顺利进行，厦门国际会议展览中心沿线加强警力巡逻，某巡警早上从会展路路口出发，骑摩托车在东西走向的会展路上巡逻，晚上停留在会展路A处，规定向东为正，向西为负，当天行驶记录如下（单位：千米）： (1)通过计算说明A处在会展路路口的什么方向？距离会展路路口有多远？ (2)若巡警所骑摩托车行驶1千米耗油0.05升，则这一天摩托车共耗油多少升？ 题型13 有理数的简便运算与规律计算 49．计算下面各题，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 50．简便计算： (1) (2) 51．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 52．一串分数，，，，，，，，，，…，问： (1)是这串分数的第________个，第50个分数是________． (2)计算________，________． (3)利用得到的规律求的和． 题型14 科学记数法 53．2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，飞船的飞行速度约为460800米/分，请将数据“460800”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 54．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 55．今年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为38.4万千米，数据38.4万用科学记数法表示为 ． 56．减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 题型15 程序流程图 57．如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则输出的值为 ． 58．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ． 59．请你在2，，4，，6中任选四个数，利用有理数的混合运算，使得这四个数的运算结果为24，请列出2种表达式 60．游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 题型16 拓展训练之数轴综合 61．如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 62．在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 63．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 64．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．    (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合． ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合． ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） 题型17 拓展训练之绝对值综合 65．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 66．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 67．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，如图，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为（M在的左侧），则M、N两点表示的数分别是：______，______． (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值=_______． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是____． ③当______时，取最小值． (3)①数轴上点表示的数分别为，动点P从B出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与A的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从A出发，沿着数轴反方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 68．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 题型18 拓展训练之新定义问题 69．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 70．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．    利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________； (2)在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？ ②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数． 71．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)【初步应用】 当取最小值时，可以取的整数有几个_________； (2)当的值最小时，最小值为__________； (3)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 72．数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列7个数：（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2025·江苏南京·二模）下列计算结果比小的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏连云港·一模）电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注．截止年月日，电影的全球票房已突破亿，将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）现定义两种运算“”，“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知有一种密码，将英文26个小写字母依次对应26，25，24，…，1这26个整数（见表格），当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文对应密文．按上述规定，将明文“”译成密文后是（    ） 字母 序号 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 字母 序号 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为 ． 8．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，数轴上点A，B表示的数分别是，10，C是线段上的一个动点，以C为圆心，为半径画弧交数轴于点D．若，则点C表示的数是 ． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知，互为倒数，，互为相反数，则的值是 ． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若，则输出的结果是 ． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知“”是一种运算符号，并且，，，，，则 ． 12．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若，则 ． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于 ． 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，在数轴上任意画出一条长为5个单位长度的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 15．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)． (2)． 16．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 17．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，〇表示载有乘客，且乘客都不相同）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × 〇 〇 × 〇 〇 〇 〇 (1)刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有7升油，若少于2升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油． (3)已知载客时2千米以内收费10元，超过2千米后每千米收费1.5元，问刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为多少元？ 19．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知四个有理数a、b、c、d在数轴上对应的点分别为A、B、C、D，a，b互为倒数，c，d互为相反数． (1)根据已知条件回答：若，则 ；若，则 ； (2)把下列各数在数轴上表示：，2，，0，． (3)将（2）中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 20．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）某工厂规定每个工人每周要生产某种零件350个，平均每天生产50个；但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是工人小王的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 0 (1)最多的一天比最少的一天多生产了______个零件； (2)根据记录的数据计算小王本周实际生产零件的总数量； (3)该厂实行“每日计件工资制”．每生产一个零件可得工资4元，若超额完成任务，则超过部分每个再加奖3元：少生产一个则倒扣2元，那么小王这一周的工资总额是多少元？ 21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，点A、B在数轴上对应的数为a、b，其满足，点O表示原点，M、N分别从O、B出发沿数轴同时向负方向匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度． (1)直接写出线段___________，___________； (2)设运动时间为t秒，当t为何值时，恰好有； (3)设点P为线段的中点，点Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，说明理由并求出的值；若变化，当t为何值时，有最小值？并求出最小值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数 教学目标 1.理解正数与负数的概念，掌握有理数的概念与分类。 2.掌握数轴、绝对值、相反数的相关概念，学会用数轴表示有理数，了解绝对值的几何意义，会分类讨论数轴中的动点问题；学会用数轴比较有理数的大小。 3.掌握有理数的四则混合运算，学会运用有理数的四则运算法则进行计算，可以独立解决简便计算问题；掌握有理数四则运算实际问题。 4.掌握科学记数法相关概念。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的分类； （2）数轴的表示、绝对值的性质和相反数的定义； （3）有理数的四则混合运算。 2.难点 （1）数轴上的动点问题，动点的表示等； （2）学会表示绝对值的几何意义，可以分类讨论问题。 （3）有理数的实际应用问题，找到数量关系，列出算式解决问题 知识点一 正数与负数 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 整数和分数 整数：正整数、负整数、零统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 易错点： 1.0不是分数，0是整数； 2.零和正整数又叫自然数； 3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非正整数； 4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数（见知识点五的拓展）. 用正负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 【即学即练】 1．（2025·江苏无锡·一模）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）有理数0.5，，0，，3.1415，中，负数有 个 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的分类，牢记负数的定义（小于）是解题的关键．根据定义即可求得答案． 【详解】解：有理数0.5，，0，，3.1415，中，负数有： ，，共个． 故答案为：． 知识点二 有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：. （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、等，混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．例如：，. 有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 【即学即练】 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）在，，，，（相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数有 个． 【答案】3/三 【分析】本题考查了有理数的定义，有理数分为：整数和分数．根据有理数的定义即可得出结论． 【详解】解：在，，，，（相邻两个1之间依次增加1个中，有理数有，，，共3个． 故答案为：3． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合内 ，，0，，12，，，，． 负有理数集合{                  }    正分数集合{                    }   非负整数集合{                  } 【答案】，，，；，；0，12 【分析】本题考查有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、正分数、负分数的定义与特点．注意整数和正数的区别．根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：负有理数集合{，，，}； 正分数集合{，}； 非负整数集合{ 0，12 }． 知识点三 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【即学即练】 5．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列各图中，所画出的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的表示方法，根据数轴的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：A、没有单位长度，故错误； B、没有正方向，故错误； C、有原点，正方向，单位长度，正确； D、没有原点，故错误． 故本题选：C． 6．（24-25七年级上江苏镇江·阶段练习）数轴上，点分别表示数和2，则到点A，点B距离相等的点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上中点表示的数计算．根据题意利用求中点数公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵点分别表示数和2， ∴到点A，点B距离相等的点表示的数：， 故答案为：． 知识点四 绝对值与相反数 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 【即学即练】 7．（24-25七年级上·江苏·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】本题考查相反数和绝对值．先计算得到，然后计算解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若与互为相反数，则的绝对值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，由相反数的定义可得，即得，再根据绝对值的意义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点五 比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 【即学即练】 9．（24-25七年级上·江苏南通·期中）比较大小： （用“”“”或“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，根据两个负数相比较，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把下列各数填在相应的大括号里，并用“<”把这些数连接起来． ，，，，，． (1)负整数｛______…｝ (2)正分数｛______…｝ (3)非负数｛______…｝ (4)负有理数｛______…｝ (5)用“<”把这些数连接起来为：______． 【答案】(1) (2)， (3)，，， (4)， (5) 【分析】本题考查了有理数的分类、有理数的大小比较方法． （1）根据有理数的分类解答即可； （2）根据有理数的分类解答即可； （3）根据有理数的分类解答即可； （4）根据有理数的分类解答即可； （5）根据有理数的大小比较方法即可得解． 【详解】（1）解：负整数｛…｝ （2）解：正分数｛，…｝ （3）解：非负数｛，，，…｝ （4）解：负有理数｛，…｝ （5）解：用“<”把这些数连接起来为：． 知识点六 有理数的四则混合运算 有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 【即学即练】 11．（24-25七年级上·江苏南通·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘法，再算加减即可； （2）先算乘方，再算括号里面的，然后算乘除，最后算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25七年级上·江苏南通·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算绝对值，再算乘法，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再算乘方，然后算乘除，最后算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点七 科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 【即学即练】 13．（2025·江苏盐城·三模）2025年“五一”假期，盐城市A级旅游景区、乡村旅游重点村、旅游休闲街区共接待游客6806800人次．数据6806800用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）人工智能的应用需要数据存储技术支持．一个大数据中心的信息存储量相当于本书籍．将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法－绝对值大于10的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：将用科学记数法表示为， 故答案为：． 题型01 正数与负数 1．在，，，，，，，这些数中，正数有 ，负数有 ． 【答案】 ，，， ，， 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数都大于0，负数都小于0即可得解，熟练掌握正负数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：正数有：，，，；负数有：，，； 故答案为：，，，；，，． 2．现在有某种圆形零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为，则这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了具有相反意义的量．圆形零件的标准直径为，超出的记作正数，不足的记作负数，根据要求求出圆形零件的最大直径和最小直径，通过比较判断零件是否合格． 【详解】解：圆形零件，标明要求是， 这个圆形零件直径的最大值为，最小值为， ， 这个圆形零件合格． 故答案为： 合格． 3．如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系． 根据题干描述的算筹计数法计数即可． 【详解】 解：根据算筹计数法，“”所表示的数是， 故答案为：． 4．出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米） (1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)小张向西行驶1千米才能回到出发地 (2)小张今天上午不需要加油，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的加法，正数和负数，熟练掌握有理数的加法是解答本题的关键． （1）根据题意，将小张所有行程按照向东为“正”，向西为“负”，依次相加，得到结果，判断小张最后地点距离出发地的距离，以此分析小张该如何行驶才能回到出发地． （2）根据题意，计算出小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地一共行驶的距离，然后计算行驶了这些距离耗的油量，最终得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， （千米）， 小张将最后一名乘客送达的目的距离出发地正东方向千米， 故小张向西行驶1千米才能回到出发地． 答：小张向西行驶1千米才能回到出发地． （2）不用加油，理由如下： 小张将最后一名乘客送达目的地一共行驶了：（千米）， 再返回出发地一共行驶了：（千米）， 汽车耗油：． 答：小张今天上午不需要加油． 题型02 有理数 5．把下列各数填入相应的集合内： ①；②18；③；④；⑤；⑥；⑦π；⑧3.5；⑨0． 整数集合：{                   }． 负数集合：{                   }． 非负整数集合：{               }． 分数集合：{                   }．（填序号） 【答案】①②⑨；①③⑤；②⑨；③④⑤⑥⑧ 【分析】此题主要考查有理数的分类，准确把握相关概念的意义是解题的关键． 根据有理数的分类标准，结合相关概念的意义进行区分选择即可． 【详解】解：整数集合：{①②⑨…}． 负数集合：{①③⑤…}． 非负整数集合：{②⑨…}． 分数集合：{③④⑤⑥⑧…}． 6．把下列各数填入相应的集合中： ，0.5，，28，0，， (1)负分数集合{                      } (2)正整数集合{                      } (3)非负有理数集合{                      } 【答案】(1)， (2)28 (3)0.5，28，0， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题过程中重点在于做到不重不漏．根据有理数分类进行填空即可． 【详解】（1）解：负分数集合：{，}； （2）解：正整数集合：{28}； （3）解：非负有理数集合：{0.5，28，0，}． 7．把下面的数的序号填在相应的大括号里：（填序号） ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦1.010010001…（每两个1之间依次多1），⑧ 正数集合：｛                       ｝；整数集合：｛                           ｝； 有理数集合：｛                    ｝；非负整数集合：｛                       ｝； 【答案】①，②，⑥，⑦，⑧；①，③，⑤，⑥；①，②，③，⑤，⑥，⑧；①，③，⑥ 【分析】本题考查了对正数、负数、有理数等知识点的理解和运用，分别根据正数、负数、有理数的定义选出后分别填上即可． 【详解】解：， 正数集合{①，②，⑥，⑦，⑧，…}； 整数集合{①，③，⑤，⑥，…}； 有理数集合{①，②，③，⑤，⑥，⑧，…}； 非负整数集合{①，③，⑥，…}； 故答案为：①，②，⑥，⑦，⑧；①，③，⑤，⑥；①，②，③，⑤，⑥，⑧；①，③，⑥． 8．在学习《有理数》一章时，小君了解到：有理数是“比率数”，有理数可以写成两个整数之商．小君想“所有的有理数都可以写成两个整数之商吗?”对此，他展开了研究，他分以下几步来研究，请你来帮他补充完成： （1）整数和分数统称有理数； （2）任何整数都是它除以1所得的商，如把下列数写成两个整数的商：_________，_________， （3）任何分数可以看做两个整数的商，如把下列数写成两个整数的商：_________ （4）无限循环小数能化为分数吗? 小君做了研究：是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即小数部分与原数相同（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即．由此可知，99个等47，所以． 根据小君的研究，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） ①仿上例把化为分数形式，写出推导过程； ②直接写出化为的分数形式是________． ③若已知，则________． 【答案】（2）答案不唯一，见解析；（3）；（4）①；②；③ 【分析】本题考查了有理数的概念以及有理数表示为两个整数之商，由题目明确提及“整数和分数统称有理数”是研究的基础概念，通过将整数写成分数的形式是解决本题的关键． （2）将和0表示成两个整数之商即可； （3）将带分数化为假分数求解即可； （4）①将扩大1000倍，再由999个等于325，即可推导； ②将分别扩大10倍和扩大1000倍，再相减即可求解； ③将扩大1000倍，可表示出，将表示为即可求解． 【详解】（2）解：；；（答案很多符合即可） （3）解：； （4）①∵，是一个以325为循环节的无限循环小数，将它扩大到1000倍， 即， 由此可知，999个等于325，所以． ②∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ③∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型03 数轴 9．已知有理数：，0，4，，2.5． (1)画出数轴，在数轴上表示出这几个数，并用“”连接起来； (2)这几个有理数中是正数的有____________________． 【答案】(1)图见解析， (2)4，2.5 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、有理数的大小比较，数轴上正确表示有理数是解答的关键． （1）先在数轴上表示这些数，再根据数轴上，右边的数总比左边的数大得到大小关系即可； （2）根据正数大于零求解即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示出这几个数，如图： 由图知：； （2）解：由图知，这几个有理数中是正数的有：4，2.5． 故答案为：4，2.5． 10．已知一组数：，，0，，． (1)把下列这条直线补充成一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来； (2)把这些数按照从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小． （1）在数轴上根据有理数与数轴的对应进行画图即可； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号把各数连接起来即可． 【详解】（1），， 如图所示，即为所求； （2）从小到大的顺序排列如下： ． 11．已知下列有理数：． (1)这些有理数中，整数有____________个，负数有____________个； (2)画出数轴并在数轴上标出上述有理数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)3；2 (2)见解析， 【分析】本题考查有理数的分类，数轴的应用以及有理数的大小比较，解题的关键是明确整数，负数的定义，会正确在数轴上表示有理数并比较大小． （1）明确整数和负数的定义，据此确定给定有理数中整数和负数的个数； （2）画出数轴，确定各有理数在数轴上的位置，根据数轴上数的大小规律比较各有理数大小． 【详解】（1）解：整数包括正整数，0，负整数，在中，整数有，共3个． 负数是小于0的数，这里负数有，共2个． 故答案为：3；2； （2） 解： 由图可知：． 12．如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的运动规律，数轴上两点之间的距离公式，掌握数轴上点的运动规律是解题的关键． 根据数轴上点的运动规律及数轴上两点之间的距离公式即可解答． 【详解】解：设运动的时间为 秒， ∵点表示的数为，点表示的数为10， ∴根据题意可得：点表示的数为；点表示的数为， ∵的距离为5个单位长度， ∴， ∴或． 故选B． 题型04 数轴上点的移动 13．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2023次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为， 点A2表示的数为， 点A3表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 14．数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴，画出数轴，然后确定出点C的位置，再向左移动3个单位确定出点B，向右移动2个单位确定出A，即可得解，逆向思维确定出各点的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 【详解】解：如图所示： 点表示的数为4， 故答案为：． 15．数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键． （1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解； （2）运用两点之间距离的计算即可． 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 16．如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号．根据题意得到，，由此根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，，，， 观察四个选项，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 题型05 根据点在数轴的位置判断式子的正负 17．实数a，b，c在数轴上对应的点如图，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，实数与数轴，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由数轴得出，整理得，再进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由数轴得出 则 ∴，，， 故选：D 18．如图，数轴上两点所表示的数分别为，则 ．（填“”“”或“”）    【答案】 【分析】根据数轴先判断出的大小，再根据有理数的加法法则计算即可解决问题． 【详解】解：根据数轴可得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴的对应关系，数轴上的数右边的数总是大于左边的数，以及有理数的加法法则． 19．已知a、b是有理数，其在数轴上对应的点如图所示． (1)利用圆规在数轴上分别作出对应的点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)用“＜”连接：______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查数轴的理解和运用，和利用圆规作出数轴上的对应的点，熟练应用圆规作出数轴上的对应的点是解题的关键． （1）按照尺规作图的作法，在数轴上作图即可， （2）根据数轴从左到右的顺序，就是从小到大的顺序排序即可． 【详解】（1） （2）如图可知， ． 20．已知三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是． (1)填空： 0， 0；（填“＞”，“＝”或“＜”） (2)若且点到点的距离相等，当时，求的值； 【答案】(1)， (2)10 【分析】（1）根据在数轴上的位置得出，进行判断即可得出最终结果； （2）根据题意，求出的值，再结合，列出式子计算即可求出． 【详解】（1）解：由在数轴上的位置可知：， ， 比距离原点要远， ， ， 故答案为：． （2），， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用数轴判断式子正负，数轴上两点的距离公式，利用数轴判断a、b、c的取值范围是解此题的关键． 题型06 相反数与绝对值 21．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了化简多重符号，相反数的定义．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．先化简各选项中的数，再判断是否满足条件． 【详解】解：A、，，两数相等，不是相反数，故本选项不符合题意； B、，，两数相等，不是相反数，故本选项不符合题意； C、，，绝对值不同，不是相反数，故本选项不符合题意； D、，，符号相反且绝对值相等，互为相反数，故本选项符合题意； 故选：D． 22．下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中结论错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值等知识点．根据绝对值的性质，通过举反例逐项判断即可． 【详解】解：①当，，满足，而，故①错误； ②当，，满足，而，故②错误； ③当，，满足，而，故③错误； ④若，则，故④正确； 综上，错误的有①②③共3个． 故选：C． 23．在数轴上，如果点表示的数是，那么到点的距离等于3个单位的点所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点距离，掌握数形结合思想是解决此类题型的关键．到到点A距离等于3个单位的点可能在A点的左边，也可能在A的右边，可以直接设此点表示的数为x，根据两点之间距离等于两点所对数之差的绝对值列式求解即可． 【详解】解：设到点距离等于个单位的点所表示的数为， 由题意得： 或． 24．已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为、、，． (1)　　　，　　　，　　　．（填“”“”“”） (2)　　　，　　　，　　　．（填“”“”“”） (3)化简：． 【答案】(1)，， (2)，， (3) 【分析】本题考查了有理数大小比较、数轴、绝对值等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据各数在数轴上的位置填空即可； （2）根据各数在数轴上的位置填空即可； （3）根据（2）中各式的正负性进行绝对值化简即可． 【详解】（1）解：根据各数在数轴上的位置可知，，，． 故答案为：，，； （2）解：∵ ，， ∴，，， 故答案为：，，； （3）解：由（2）可知，，，， ∴ ． 题型07 绝对值的性质 25．若，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解决问题的关键．根据非负数的性质，可得，即可求出的值． 【详解】∵ ∴，解得： ∴ 故选：A． 26．如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 27．a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 28．已知：a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数，回答以下问题． (1)______，______； (2)已知，求． 【答案】(1) (2)或3 【分析】本题主要考查相反数、绝对值的非负性； （1）根据相反数及绝对值可直接进行求解a、b的值； （2）根据（1）及绝对值的非负性可得m、n的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数， ∴ （2）∵ ∴ ∴ 当时，； 当时，； 综上：或3； 题型08 绝对值化简 29．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴及绝对值，熟知绝对值的性质及能根据所给数轴判断出绝对值内代数式的正负是解题的关键． 根据所给数轴，得出绝对值内代数式的正负，再结合绝对值的性质即可解决问题． 【详解】解：由所给数轴可知，， ∴， ∴ ． 30．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 31．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（）根据数轴解答即可求解； （）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解； （）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵， ∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则， 解得； 当在右侧时，则， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴原式 ． 32．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较、化简绝对值，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，从而可得，即可得解； （2）由数轴可得，从而得出，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∴， ∴； （2）解：由数轴可得：， ∴，， ∴． 题型09 绝对值的其他应用 33．水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【答案】3 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 34．对于任意有理数x，y，都有，利用这一结论，求的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的应用，正确掌握绝对值的意义是解题的关键，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 35．阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 36．数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 题型10 有理数大小比较 37．比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， 而， ∴． 38．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数大于零，零大于负数，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解答本题的关键．两个负数比较大小，先比较绝对值，利用绝对值大的反而小即可得解； 【详解】（1）， ， ， （2）， ， ， （3）， ， ， 39．比较下列各组数的大小： (1)和2； (2)和； (3)和； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正数大于负数，即可作答． （2）根据负数的绝对值越大的数反而越小，即可作答． （3）先化简绝对值，再根据正数大于负数，即可作答． （4）结合正数大于0，0大于负数，负数的绝对值越大的数反而越小，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：依题意，， ∵， ∴； （3）解：依题意，， ∵， ∴； （4）解：依题意，， ∵， ∴． 40．已知下列各数：，，0，，2，，． (1)按要求填空：正分数有 ；负整数有 ；非负有理数有 ． (2)将其中的整数按从小到大的用“”号连接起来． 【答案】(1)，；，；，0，2， (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数比较大小，数量掌握有理数的相关知识是解题的关键． （1）根据有理数的分类方法进行求解即可； （2）根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】（1）解：正分数有：，； 负整数有：，； 非负有理数有：，0，2，； （2）解：由题意得，． 题型11 有理数的四则混合运算 41．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘除法，再计算减法即可得到答案； （2）先计算乘方，再计算括号内的加法，接着计算乘法和绝对值，最后计算加法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则以及乘法分配律． （1）将除法算式转化成乘法算式，再利用乘法对加法的分配律进行计算即可； （2）先进行乘方运算，再进行乘除法运算，再进行有理数的加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)． 【答案】(1)； (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律进行简便运算． （2）先计算括号内的式子，再将除法转化为乘法，最后按照从左到右的顺序依次计算． （3）用括号内的每一项分别乘以，再将所得的积相加． （4）可将带分数转化为，然后利用乘法分配律进行计算． （5）按照先乘方、再乘除、最后算加减，有绝对值先算绝对值里面的运算顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，包括加减、乘除、乘方以及绝对值的运算，同时涉及乘法分配律的应用．熟练掌握有理数混合运算的运算顺序、运算法则以及乘法分配律是解题的关键． 44．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按步骤计算即可． （1）先算括号里面的，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型12 有理数混合运算的实际应用 45．胡老师的新能源汽车上周日行驶里程为75km，记该汽车上周日的行驶里程为0，下表是该汽车本周行驶里程的变化情况（正号表示里程比前一天多，负号表示里程比前一天少，上周日的行驶里程记为0）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 里程变化/km (1)本周哪一天该汽车行驶里程最多？这一天该汽车行驶了多少千米？ (2)本周该汽车的行驶里程为多少千米？ (3)已知该汽车满电续航里程（汽车充满电时可以行驶的总路程）为550km，当续航里程不足满电续航里程的10％时需要为汽车充电，本周一早上出发时该汽车为满电状态．请通过计算说明，本周日胡老师使用完该汽车后，是否需要为该汽车充电？ 【答案】(1)本周五该汽车行驶里程最多，这一天该汽车行驶了80千米； (2)本周该汽车的行驶里程为520千米； (3)本周日胡老师使用完该新能源汽车后，需要为该新能源汽车充电． 【分析】本题考查有理数混合运算及正数和负数的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义分别求得本周每天的实际行驶里程，据此即可求得答案； （2）将每天的行驶里程相加并计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算并与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得，本周每天的实际行驶里程如下： 周一：（千米）； 周二：（千米）， 周三：（千米）， 周四：（千米）， 周五：（千米）， 周六：（千米）， 周日：（千米）， 则本周五该汽车行驶里程最多，这一天该汽车行驶了80千米； （2）解：本周该新能源汽车行驶里程共为：（千米） 即本周该汽车的行驶里程为520千米； （3）解：（千米），（千米）， 因为，， 所以，本周日胡老师使用完该新能源汽车后，需要为该新能源汽车充电． 46．小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 增减产值 (1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具________个； (2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具________个； (3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每周计件工资制”．小颖本周工资是多少？ 【答案】(1)23 (2)191 (3)元 【分析】本题考查了正数与负数，有理数的混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． （1）根据记录可知，小颖星期二生产玩具（个）； （2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可； （3）用基本工资加上奖励工资即可求出本周工资． 【详解】（1）解：小颖星期二生产玩具（个）； 故答案为：23； （2）解：本周实际生产玩具：（个）； 故答案为：191； （3）解：由题意得，（元）， 答：每周计件工资制，小颖本周的工资总额是元． 47．西安市地铁2号线北起草滩站，南至常宁宫站，如图是2号线的部分站点图，某天，李刚从小寨站出发，负责2号线上这10站路段志愿者服务活动，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，若规定向北为正，向南为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为，求这次李刚志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程． 【答案】(1)A是钟楼站 (2)这次李刚志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程为 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出算式计算． （1）将题中记录数据相加，即可解答； （2）将所记录数据的绝对值相加，得到乘坐的站数，再乘以两站之间的平均距离即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 站距离小寨4个站， 答：A是钟楼站； （2）由题意得： ， 答：这次李刚志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程为． 48．2024年9月8日至11日，第二十四届中国国际投资贸易洽谈会在厦门举行，本次主题为“投资链接世界”，共吸引了120个国家和地区、18个国际组织、1000多个境内外政府机构及工商企业团组、近8万名客商参展参会．通过展览展示、会议论坛、项目对接和信息发布等多种形式，助力投资合作精准匹配，让国际资本进入中国、中国企业走向国际．为了确保本次洽谈会的顺利进行，厦门国际会议展览中心沿线加强警力巡逻，某巡警早上从会展路路口出发，骑摩托车在东西走向的会展路上巡逻，晚上停留在会展路A处，规定向东为正，向西为负，当天行驶记录如下（单位：千米）： (1)通过计算说明A处在会展路路口的什么方向？距离会展路路口有多远？ (2)若巡警所骑摩托车行驶1千米耗油0.05升，则这一天摩托车共耗油多少升？ 【答案】(1)A处在会展路路口的东方向，距离会展路路口有5千米 (2)这一天摩托车共耗油4.05升 【分析】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）计算这几个数的和，根据和的符号、绝对值判断A处在会展路路口的方向和距离， （2）计算行驶的总路程，即各个数的绝对值的和，再求出用油量． 【详解】（1）解： （千米）， 答：A处在会展路的东方向，距离会展路有5千米． （2）解： 答：这一天摩托车共耗油4.05升． 题型13 有理数的简便运算与规律计算 49．计算下面各题，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)9 (2)6 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据减法的性质把原式化为进行简算； （2）根据乘法分配律：，把化为，再根据加法结合律化为进行简算； （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； （4）根据分数的拆分把原式化为，通过消项简算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 50．简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可． （2）利用分配律，计算即可． 本题考查了有理数的混合运算，分配律的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 51．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 52．一串分数，，，，，，，，，，…，问： (1)是这串分数的第________个，第50个分数是________． (2)计算________，________． (3)利用得到的规律求的和． 【答案】(1)26； (2)；2 (3)885 【分析】本题考查的是数字的规律探究，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． （1）分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个……，分母是n的分数有个，据此解答即可； （2）根据同分母分数运算法则进行计算即可； （3）根据解析（2）中的计算结果得出，然后求出的结果即可． 【详解】（1）解：根据题目中给出的这串分数可知：分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个……，分母是n的分数有个， ， ∴是这串分数的第26个； ∵， ， ∴分母是：； 分子是：； ∴这列数中第50个数是． （2）解：，； （3）解：∵， ， ， ， …… ， ∴ ． 题型14 科学记数法 53．2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，飞船的飞行速度约为460800米/分，请将数据“460800”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的形式为，其中，为整数，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 根据科学记数法的定义进行变形即可． 【详解】解：将460800的小数点向左移动5位，得到（满足），移动的位数对应，因此表示为， 故选：C． 54．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据384000用科学记数法表示为． 故选：C． 55．今年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为38.4万千米，数据38.4万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数， 将数化为384000，再写成的形式，其中，n为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 56．减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 题型15 程序流程图 57．如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则输出的值为 ． 【答案】34 【分析】本题考查有理数的混合运算，输入，根据题意列式计算，直至结果不小于16即可． 【详解】解：若输入，则，返回继续运算； ，输出结果； 故答案为：34． 58．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算，直至结果大于8即可． 【详解】解∶开始输入的数为0， 解：返回继续运算； 输出结果； 故答案为∶ 59．请你在2，，4，，6中任选四个数，利用有理数的混合运算，使得这四个数的运算结果为24，请列出2种表达式 【答案】， 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握“二十四点”游戏规则是解本题的关键．任选四个数，用加减乘除乘方任意运算连在一起，结果为24即可． 【详解】解：， ； 故答案为：，． 60．游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 题型16 拓展训练之数轴综合 61．如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，根据移动的方向、速度和规律进行计算找出运动的规律即可求解，找到动点的运动规律是解题的关键． 【详解】解：第个秒，即第一次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， ， ∵，而， 即第次秒后先向左移动秒，再向右移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时所对应的数为， 故答案为：． 62．在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】4或5或6 【分析】由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵线段长为8，这三条线段的长度之比为， ， ∴这三条线段的长度分别为2，2，4， 若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度也为2， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度为4， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为4，第2条线段长度为2， 则折痕表示的数为：； ∴折痕表示的数为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题考查数轴与线段综合，列出三条线段所有可能的顺序是解题的关键． 63．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 【答案】或30 【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣15＝0， ∴b＝9，c＝15， ∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒， 故答案为：或30． 【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 64．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．    (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合． ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合． ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①，② (2)①；②；5 (3)； 【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程， （1）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可得； （2）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可求得两点表示的数； （3）利用表示出对折点，再根据点和点之间的距离为10，利用数轴的定义即可表示出，利用方程思想，熟练掌握数轴上两个的点的中点为两点表示的数相加除以2是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示5的点重合的点表示的数为； ②对折后与表示的点重合的点表示的数位， 故答案为：①，②； （2）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示7的点重合的点表示的数为； ②点与点之间的距离为8， 点与点到对折点的距离为， 点在点的左侧， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：①；②；5； （3）解：使表示的点与表示的点重合， 对折点为， 数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10， 点与点到对折点的距离为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；． 题型17 拓展训练之绝对值综合 65．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义． 根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； 根据绝对值的定义可得，解方程即可得到的值； 根据绝对值表示的意义分当、、时三段分别求解； 根据绝对值表示的意义可知数式表示到和的距离之和，所以可知当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间且和的距离是，可得，根据绝对值的意义解方程求出． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 66．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 67．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，如图，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为（M在的左侧），则M、N两点表示的数分别是：______，______． (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值=_______． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是____． ③当______时，取最小值． (3)①数轴上点表示的数分别为，动点P从B出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与A的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从A出发，沿着数轴反方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 【答案】(1)， (2)①3；②4；③3 (3)①4或6秒；②或6 【分析】（1）将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，则中点表示的数为，根据M点表示的数为，N点表示的数为，计算求解即可； （2）①由绝对值的几何意义求解作答即可；②由题意知，，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和的点之间的距离为7，由，可知满足条件的所有整数为，然后求和计算即可；③由题意知，表示数轴上表示与2两点之间的距离；表示数轴上表示与3两点之间的距离；表示数轴上表示与4两点之间的距离；当时，取最小值，当且时，，此时，取最小值； （3）①设经过秒P与A的距离是2个单位长度，则点表示的数为，依题意得，，则，计算求解即可；②设经过秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍，则点表示的数为，点表示的数为，则，，依题意得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合， ∴中点表示的数为， ∴M点表示的数为，N点表示的数为， 故答案为：，； （2）①解：由题意知，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和6的点之间的距离， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的最小值为3； 故答案为：3； ②解：由题意知，，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和的点之间的距离为7， ∵， ∴满足条件的所有整数为， ∴满足条件的所有整数的和是， 故答案为：4； ③解：由题意知，表示数轴上表示与2两点之间的距离；表示数轴上表示与3两点之间的距离；表示数轴上表示与4两点之间的距离； 同理（2）①，当时，取最小值， 当且时，， ∴当时，取最小值； （3）①解：设经过秒P与A的距离是2个单位长度，则点表示的数为， 依题意得，， ∴， 解得，或， ∴经过4或6秒P与A的距离是2个单位长度； ②解：设经过秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍，则点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍， ∴， ∴， 解得，或， ∴经过或6秒时，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍， 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，绝对值方程等知识，熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，绝对值方程是解题的关键． 68．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 题型18 拓展训练之新定义问题 69．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 70．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．    利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________； (2)在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？ ②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数． 【答案】(1)2；6 (2)①14；②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，跳跃次数为38次、174次、410次 【分析】（1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）①根据跳跃规律，找出蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁跳跃的次数即可； ②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得出，分两种情况：当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为；当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为，然后求出跳跃次数即可． 【详解】（1）解：在双轴系中与的距离为：； 与的距离为：． 故答案为：2；6． （2）解：①蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、、、、、、、、…， ∴蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁甲共跳跃了14次； ②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得： ， ∴， 当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为， 则蚂蚁甲跳跃的次数为： （次）， 即此时蚂蚁甲跳跃的次数为偶数，不符合题意； 当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为， 蚂蚁甲第1次跳到时，跳跃次数为： （次）， 38是偶数，符合题意； 蚂蚁甲第2次跳到时，跳跃次数为： （次）， 174是偶数，符合题意； 蚂蚁甲第3次跳到时，跳跃次数为： （次）， 410是偶数，符合题意； 综上分析可知，当甲乙两只蚂蚁的距离为时，跳跃次数为38次、174次、410次． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，有理数混合运算的应用，用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离． 71．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)【初步应用】 当取最小值时，可以取的整数有几个_________； (2)当的值最小时，最小值为__________； (3)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 【答案】(1)5 (2)7 (3)实验室建在点和点（包括B、C）之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元 【分析】（1）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （2），表示的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，根据题意即可得其值； （3）根据题意列出式子，求其最小值，即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离之和， 当时， 即当可以取整数，，，0，1，共5个； 故答案为：5； （2）根据题意可得，表示数轴上x与，和1的距离之和， 则当时，的值最小，最小值为； 故答案为：7； （3）设城区O为原点，建立数轴，实验室所对应的数为， 根据题意可得，芯片的运输成本为：， 表示x到的距离与x到3的距离之和，与x到1的距离与x到3的距离之和的2倍的总和， 则当时，取得最小值， 此时， 实验室建在点和点（包括B、C）之间，才能使总运输成本最低，最低成本是12元． 【点睛】本题考查绝对值，数轴上两点之间的距离，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 72．数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列7个数：（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，根据无限不循环小数的定义进行判断． 【详解】解：-8：整数，属于有理数． （即）：可化为分数，属于有理数． 中π是无限不循环小数，除以2后仍为无限不循环小数，属于无理数． 0.66666…：无限循环小数（对应分数），属于有理数． 0：整数，属于有理数． 9.8181181118…（每两个8之间1的个数逐渐增加1）：小数部分有规律但不循环，属于无限不循环小数，是无理数． 0.112134：有限小数，属于有理数． 综上，无理数有和，共2个． 故选：C． 2．（2025·江苏南京·二模）下列计算结果比小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减乘除，有理数的大小比较，有理数的加减乘除，有理数的大小比较法则即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 3．（2025·江苏连云港·一模）电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注．截止年月日，电影的全球票房已突破亿，将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：亿， 故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 【答案】C 【分析】本题考查倒数，相反数，绝对值，根据倒数，相反数，绝对值的定义逐项判断即可,熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，则A不符合题意； 当时，没有倒数，则B不符合题意； 一个数的绝对值一定大于或等于这个数，则C符合题意； 的相反数是2，而，则D不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）现定义两种运算“”，“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查新定义运算，有理数的混合运算，正确理解有理数混合运算法则是解题关键． 直接根据新定义的运算法则进行运算即可． 【详解】解： 故选：C 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知有一种密码，将英文26个小写字母依次对应26，25，24，…，1这26个整数（见表格），当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文对应密文．按上述规定，将明文“”译成密文后是（    ） 字母 序号 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 字母 序号 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数数混合运算，正确理解密文转换规则是解题关键．结合密文转换规则，分别计算明文“”各字母转换后对应的密文字母，即可获得答案． 【详解】解：对应的数是8，，则对应密文为， 对应的数是19，，则对应密文为， 对应的数是6，，则对应密文为， 对应的数是3，，则对应密文为， 对应的数是6，，则对应密文为， 对应的数是22，，则对应密文为， 所以，将明文“”译成密文后是“”． 故选：A． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的加法，根据倒数的定义，先从最小的正整数倒数开始，利用有理数的加法，一次求出正整数的个数即可，熟记倒数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，数轴上点A，B表示的数分别是，10，C是线段上的一个动点，以C为圆心，为半径画弧交数轴于点D．若，则点C表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴表示有理数，根据题意得到，以及，再结合分两种情况①当点D在点B左侧时，②当点D在点B右侧时，讨论求解，即可解题． 【详解】解：数轴上点A，B表示的数分别是，10， ， 由题可知， ， ①当点D在点B左侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， ②当点D在点B右侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， 综上所述，点C表示的数是或； 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知，互为倒数，，互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握“互为倒数的两数的积是”、“互为相反数的两数的和为”是解决本题的关键． 先利用倒数、相反数的定义求出、、的值，再代入代数式计算． 【详解】解：由题意可知：，， ， 原式， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若，则输出的结果是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则，根据数值转换机列出对应算式． 把3代入数值转换机中计算即可求出所求． 【详解】， ． 故答案为：11． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知“”是一种运算符号，并且，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘除运算，根据题意列出算式，然后通过法则即可求解，解题的关键是明确题意，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】由题意可得，， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出的值，再根据乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的含义．分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故答案为：或． 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，在数轴上任意画出一条长为5个单位长度的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 【答案】5个或6个 【分析】本题考查了数轴的特点，解题的关键在于利用分类的思想解决问题，根据题意分两种情况①当，点在整点时，②当，点不在整点时，讨论求解，即可解题． 【详解】解：当，点在整点时，线段盖住的整点的个数是个； 当，点不在整点时，线段盖住的整点的个数是个； 故答案为：个或个． 15．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先利用分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）先将减法转化为加法，再按照加法法则进行计算． （2）按照从左到右的顺序依次进行计算，同时注意符号的确定． （3）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减． （4）运用乘法分配律进行简便计算，将括号内的每一项分别与相乘，再将所得的积相加． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，包括加减、乘除、乘方以及绝对值的运算，同时涉及乘法分配律的应用．熟练掌握有理数混合运算的运算顺序、运算法则以及乘法分配律是解题的关键． 17．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地位于A地的正东方向，距离A地21千米 (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处为26千米 (3)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充6.5升油 【分析】（1）把题目中所给的数值相加，若结果为正数则地在A地的东方，若结果为负数，则地在A地的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需的油量，减去油箱容量即可求出途中还需要补充的油量． 本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，解题的关键是熟知正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值和． 【详解】（1）解： 答：B地位于A地的正东方向，距离A地21千米； （2）解：第1次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第2次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第3次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第4次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第5次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第6次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第7次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第8次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 千米， 由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处为26千米； （3）解：冲锋舟当天航行的总路程为： （升）， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充6.5升油． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，〇表示载有乘客，且乘客都不相同）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × 〇 〇 × 〇 〇 〇 〇 (1)刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有7升油，若少于2升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油． (3)已知载客时2千米以内收费10元，超过2千米后每千米收费1.5元，问刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为多少元？ 【答案】(1)在西方处 (2)可以不加油，理由见解析 (3)141元 【分析】本题考查正负数的意义，有理数运算的实际应用． （1）求出8次里程的和，根据和的符号判断方向，由和的绝对值判断距离； （2）求出8次行驶距离之和，再根据耗油量和油箱内油量情况进行判断； （3）求出每次载客的收费情况，再求和即可． 【详解】（1）解：因为， 所以在西方处； （2）解：， ， 因为， 所以可以不加油； （3）解：第2次载客收费：（元）， 第3次载客收费：（元）， 第5次载客收费：（元）， 第6次载客收费：（元）， 第7次载客收费：（元）， 第8次载客收费：（元）， 所以总营业额为：（元）， 答：刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为141元． 19．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知四个有理数a、b、c、d在数轴上对应的点分别为A、B、C、D，a，b互为倒数，c，d互为相反数． (1)根据已知条件回答：若，则 ；若，则 ； (2)把下列各数在数轴上表示：，2，，0，． (3)将（2）中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了有理数大小比较，相反数，绝对值，倒数以及数轴． （1）分别根据倒数和相反数的定义解答即可； （2）根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数； （3）根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可． 【详解】（1）解：a，b互为倒数，若，则， c，d互为相反数，若，则， 故答案为：，； （2）解：，， 如图所示： （3）解：由（2）得，． 20．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）某工厂规定每个工人每周要生产某种零件350个，平均每天生产50个；但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是工人小王的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 0 (1)最多的一天比最少的一天多生产了______个零件； (2)根据记录的数据计算小王本周实际生产零件的总数量； (3)该厂实行“每日计件工资制”．每生产一个零件可得工资4元，若超额完成任务，则超过部分每个再加奖3元：少生产一个则倒扣2元，那么小王这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数减法的实际应用等知识点，理解题意，正确列式计算是解题的关键． （1）利用有理数的减法列式计算即可得解； （2）计算出每天记录的数据之和，再加上即可得解； （3）根据题意列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：（个）， 故最多的一天比最少的一天多生产了个零件， 故答案为：； （2）解：（个）， 故小王本周实际生产零件的总数量为个； （3）解：（元）， 答：小王这一周的工资总额是元． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，点A、B在数轴上对应的数为a、b，其满足，点O表示原点，M、N分别从O、B出发沿数轴同时向负方向匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度． (1)直接写出线段___________，___________； (2)设运动时间为t秒，当t为何值时，恰好有； (3)设点P为线段的中点，点Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，说明理由并求出的值；若变化，当t为何值时，有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)8，12 (2)t为4或7.2 (3)当秒时，最小值为10 【分析】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握非负数性质，数轴上动点对应的数，数轴上两点间的距离，是解答本题的关键． （1）用非负性可求a，b的值； （2）由线段关系列出方程，可求解； （3）分别求出点P和点Q表示的数，则，所以随着t的变化而变化，利用绝对值的性质化简，可求解． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8，12． （2）解：∵， ∴． 即． ∴． 当时，； 当时，． 答：当t为4秒或7.2秒时，恰好有． （3）解：的长度发生变化，理由如下： ∵点P为线段的中点，点Q为线段的中点， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为． ∴． 则随着t的变化而变化． ∴当时． 当时，， ∴． 当时，． 故当秒时，有最小值，最小值为10． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $