12.2 第5课时 一次函数的简单应用——分段函数-【木牍中考•名师教案】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

该教案聚焦一次函数的简单应用——分段函数，通过小明浇水离家距离的情境导入，从已学一次函数过渡，引导学生发现同一函数在不同区间表达式不同，搭建认知支架，理解分段函数的概念及必要性。 以水费计算、药物含药量等生活实例驱动教学，培养学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维分段建模推理，用数学语言写出函数式解决问题。典例设计层层递进，助力学生掌握建模方法提升应用意识，也为教师提供实用案例优化课堂效率。

第5课时　一次函数的简单应用——分段函数 ◇教学目标◇ 1.了解分段函数的概念和出现的意义. 2.能根据实际问题写出分段函数的表达式，并能解决相关问题. 3.经历对实际问题建立数学模型的过程，体会待定系数法的作用和一次函数模型的价值. 4.通过让学生经历用一次函数来解决实际问题的函数模型的过程，使学生感受到数学与生活的联系.让学生参与到教学活动中，提高学习及运用数学知识的积极性. ◇教学重难点◇ 教学重点 对分段函数的理解. 教学难点 建立实际问题的数学模型. ◇教学过程◇ 一、情境导入 小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离. 　　该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？ 二、合作探究 探究点　分段函数的应用 典例1　为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水不超过16 m3时，使用费为每立方米1.3元；超过16 m3时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处理费为每立方米1.2元.设一户每月用水x m3，应缴水费为y元. （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）画出上述函数的图象； （3）某两户某月用水量分别为10 m3和20 m3时，求这两户该月应缴的水费； （4）某一户某月缴水费59.2元，求该户这个月的用水量. ［解析］　（1）当0≤x≤16时，y＝（1.3＋1.2）x＝2.5x. 当x>16时，y＝（1.3＋1.2）×16＋（2.0＋1.2）·（x－16）＝3.2x－11.2. （2）如图，上述函数的图象是一条折线. （3）当x＝10时，y＝2.5×10＝25. 当x＝20时，y＝3.2×20－11.2＝52.8. 答：这两户该月应缴的水费分别为25元、52.8元. （4）因为59.2>2.5×16，所以该户这个月用水超过16 m3. 因此，3.2x－11.2＝59.2.解得x＝22. 答：该户这个月的用水量为22 m3. 　　自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 典例2　某医药研究所开发了一种新药.在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达到每毫升6微克（1微克＝10－3毫克），接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克.若当成人按规定剂量服药后，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示. （1）分别求出0≤x≤2和x>2时，y与x之间的函数表达式. （2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上说明药物对疾病的治疗是有效的，那么这个有效时间是多长？ ［解析］　（1）当0≤x≤2时，设函数的表达式为y＝k1x（k1≠0）.把（2，6）代入y＝k1x，得k1＝3，所以当0≤x≤2时，y＝3x. 当x>2时，设函数的表达式为y＝k2x＋b（k2≠0）.把（2，6），（10，3）代入y＝k2x＋b，得解得 所以当x>2时，y＝－x＋. （2）把y＝4代入y＝3x，得x＝；把y＝4代入y＝－x＋，得x＝. 因为＝6，所以这个有效时间是6小时. 三、板书设计 一次函数的简单应用——分段函数 1.分段函数. 2.分段函数的实际应用. ◇教学反思◇ 　　分段函数在实际生活中经常用到，因为一个函数不是在所有的自变量范围内可以通用，所以经常需要对自变量的范围进行分段讨论，分段函数的画法就是分别画出各个适用范围的一段，通过这节课的学习，让学生进一步理解自变量取值范围的意义. 1 立足安徽 精准备考 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$