甘肃省武威市2024-2025学年九年级下学期第三次测评数学试卷

2024-2025学年甘肃省武威市九年级（下）第三次测评数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的相反数为（　　） A. 5 B. - C. D. -5 2.下列说法正确的是（　　） A. -9的平方根是-3 B. 9的平方根是3 C. 9的算术平方根是3 D. 9的算术平方根是±3 3.据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来.用科学记数法表示35000000是（　　） A. 3.5×106 B. 3.5×107 C. 35×106 D. 35×107 4.如图，在大圆柱体中挖去一个小圆柱体，那么这个几何体的主视图为（　　） A. B. C. D. 5.如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PE∥OA交OB于点E，PF⊥OA于点F，若PE=5，则PF的长为（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 6.如图，△ABC∽△DEF，且∠A=83°，则∠D的度数是（　　） A. 37° B. 83° C. 120° D. 60° 7.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有​​​​​​​辆车，则可列方程（　　） A. ​​​​​​​ B. ​​​​​​​ C. ​​​​​​​ D. ​​​​​​​ 8.如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin∠ACB的值为（　　） A. B. C. D. 9.“双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少.如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业（作业相同）所花费时间的折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 甲完成家庭作业所花费时间最长为2.5小时 B. 乙完成家庭作业所花费时间最长为2小时 C. 这一周乙完成家庭作业的平均效率比甲高 D. 同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多了1小时 10.如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变AC的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）.在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随AC的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（　　） A. 42 B. 46 C. 48 D. 50 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.把多项式4m2-n2因式分解的结果是______. 12.已知关于x的方程.x2-（2m-1）x+m2=0的两个实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）=8，则m的值为______. 13.将抛物线y=2x2-4x-1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式写成y=a（x-h）2+k的形式为______. 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△DEC，连接AD，则∠ADE的度数为______. 15.如图，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数y=（k≠0，x＜0）的图象上，点B在x轴上.若菱形ABCO的面积是6，则k的值为______. 16.如图，AB是⊙O的直径，与弦CD交于点E，∠CAB=30°，AC=AE、CD=2，则图中阴影部分的面积为______. 三、解答题：本题共11小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题4分) 计算：. 18.(本小题4分) 解不等式组，并在数轴上把解集表示出来. 19.(本小题4分) 先化简，再求值：，其中a=3. 20.(本小题6分) 如图，当∠ACB=90°时，求作直线l上一点P，使∠APB=45°.小高的做法为： ①作出△ABC的外接圆，圆心为M； ②作出线段AB的垂直平分线l1，l1与的交点为O； ③以O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与直线l交点就是使∠APB=45°的点P. 老师说小高的做法是正确的. 根据小高设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接OA，OB， ∵⊙M是△ABC的外接圆，又在⊙M中，， ∴∠ACB=∠ ______=90°， ∵是AB的垂直平分线， ∴OA=OB（______），（填写推理的依据） ∴点B也在以O为圆心，以OA为半径的圆上， ∴对于⊙O，AB=AB， ∴（______）.（填写推理依据） 21.(本小题6分) 随着中考的临近，为了给即将参加中考的学生加油鼓励，九年级（1）班的班长制作了一个如图所示质地均匀的转盘（转盘被平均分成四等份），再将“中考加油”四个字分别写在每个扇形上，让班上的每个同学自由转动两次转盘，转盘停止后，指针所指扇形区域内的字即为转出的字（若指针指向分割线，则不计次数，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）. （1）该班的小敏同学转动一次转盘，转出的字为“考”属于______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”）（2）该班的小凡同学转动转盘两次，利用列表或画树状图的方法求小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的概率. 22.(本小题8分) 甘肃黄河楼，耸立在黄河之滨，见证了母亲河的壮丽与传奇，是弘扬黄河文化的标志性建筑.如图，小军想利用无人机测量黄河楼的高度BC，无人机在点A处测得黄河楼顶部点B的俯角∠DAB为45°，黄河楼底端点C的俯角∠DAC为71.5°，此时无人机与黄河楼的水平距离AD为47m,点D、B、C在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求黄河楼的高度BC.（参考数据：sin71.5°≈0.95，cos71.5°≈0.32，tan71.5°≈3.00） 23.(本小题7分) 为落实“双减”政策.优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组.“t≤45”，B组.“45＜t≤60”，C组.“60＜t≤75”，D组.“75＜t≤90”，E组“t＞90”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图. 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的总人数是______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是______度； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数. 24.(本小题7分) 甘加草原拥有壮丽的高原风光，蓝天白云下，广阔的草原上牛羊成群，风景如画.夏季是游览甘加草原的最佳季节，此时草原上野花烂漫，景色宜人.暑假期间，王超一家自驾前往该景区游玩，经过服务区时，休息一段时间后继续驶往目的地，如图表示王超离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： （1）王超一家到达服务区之前车速为______千米/小时，在服务区休息时长为______小时； （2）求图中BC段y与x之间的函数关系式； （3）王超离开家多久，离家的距离恰好为160千米？ 25.(本小题8分) 如图，BE是⊙O的直径，点A，点D在⊙O上，且位于BE的两侧，点C在BE的延长线上，∠EAC=∠ADE. （1）求证：CA是⊙O的切线； （2）若AC=8，CE=4，求⊙O的半径. 26.(本小题8分) （1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，以CE为边作正方形CEFD，点F在AC边上，连接BF，点P为线段BF的中点，连接AP，EP.以点P为对称中心，画出△PEF关于点P对称的图形，并直接写出AP与PE的位置及大小关系______； （2）【类比探究】在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC边上一点，且CD=CE，以CE、CD为邻边作菱形CEFD，再将菱形CEFD绕C点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形CE'F'D如图2，连接BF'，点P为线段BF′的中点，连接AP、PE'，判断AP与PE′的位置及大小关系，并证明你的结论； （3）【迁移运用】在（2）的条件下，若AC=4，CE=1，菱形CEFD在旋转过程中，当AP最小时，直接写出S△ABP的值______. 27.(本小题10分) 如图，抛物线y=-x2-2x+3 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求A，B，C三点的坐标． （2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积． （3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标． 1.【答案】  【解析】解：的相反数为-． 故选：B． 依据相反数的定义求解即可． 本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：（A）负数没有平方根，故A错误； （B）9的平方根是±3，故B错误； （D）9的算术平方根是3，故D错误； 故选：C． 根据平方根与立方根的定义即可求出答案． 本题考查立方根与平方根，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，本题属于基础题型． 3.【答案】  【解析】解：将35000000用科学记数法表示为：3.5×107． 故选：B． 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】  【解析】解：几何体的主视图是． 故选：B． 根据从正面看几何体，所看到的视图是主视图进行解答． 本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的确定方法是关键． 5.【答案】  【解析】解：过P作PH⊥OB于H， OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PE∥OA交OB于点E，PF⊥OA于点F， ∴PH=PF，， ∵PE∥OA， ∴∠EPO=∠FOP=15°， ∴∠PEH=∠EOP+∠EPO=30°，又∠PHE=90°， ∴， ∴PF=PH=2.5， 故选：C． 过P作PH⊥OB于H，根据角平分线的性质得到PH=PF，，根据平行线的性质和三角形的外角性质求得∠PEH=30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 本题考查角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质是解答的关键． 6.【答案】  【解析】解：因为△ABC∽△DEF， 所以∠A=∠D， 因为∠A=83°， 所以∠D=83°． 故选：B． 因为△ABC∽△DEF，所以相似三角形的对应角相等，据此解答． 本题考查了三角形内角和定理，解决本题的关键是相似三角形的对应角相等． 7.【答案】  【解析】解：设有辆车，则可列方程： . 故选：A. 根据每三人乘一车，最终剩余辆车，每人共乘一车，最终剩余​​​​​​​个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可. 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键. 8.【答案】  【解析】解：设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F， ∵S△ABC=2×7-=5 由勾股定理可知：AC==5， ∵AC•BD=5， ∴BD=， 由勾股定理可知：BC==， ∴sin∠ACB=== 故选：A． 由勾股定理可求AC，BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin∠ACB的值． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用面积法求BD的长是本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：由统计图可知，甲完成家庭作业所花费时间最长为2小时， 乙完成家庭作业所花费时间最长为2.5小时，故选项A，B中的说法错误，不合题意． 这一周甲每天完成家庭作业平均花费的时间为1+1.5+1.5）=1.5（小时）， 乙每天完成家庭作业平均花费的时间为1.786（小时）， ∵1.5＜1.786， ∴甲平均每天完成家庭作业花费的时间比乙短，乙完成家庭作业的平均效率比甲低， 故C错误，不符合题意； 根据折线图可知，同一天中，甲、乙两人完成家庭作业花费的时间最长相差1h,故选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 根据折线统计图可得，甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间，再计算平均数，即可判断A、B；计算同一天中，甲、乙两人完成家庭作业花费的时间差，即可判断D，根据方差的意义可判断C． 本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．从折线图中获取有用信息是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=OC，DO=OB， 由图2可知，当AC=30cm时，BD=40cm, ∴AO=15cm,DO=20cm, ∴AD===25（cm）， ∴当AC=14cm时，AO=7cm, ∴OD===24（cm）， ∴BD=2DO=48cm, ∴a=48． 故选：C． 连接BD交AC于点O，由图象可知，当AC=30cm时，BD=40cm,利用菱形的性质计算出菱形的边长，再计算出当AC=14cm时BD的长，即可得出a的值． 本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质、函数的图象、勾股定理，从函数的图象获取信息是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：原式=（2m）2-n2=（2m+n）（2m-n）， 故答案为：（2m+n）（2m-n）． 直接利用平方差公式因式分解即可． 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：∵x1，x2是方程x2-（2m-1）x+m2=0的两实数根， ∴Δ=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m2=1-4m≥0， ∴m≤， ∴x1+x2=2m-1，x1x2=m2， ∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=8， ∴m2+2m-1+1=8， 解得：m=2（舍）或m=-4； 故答案为：-4． 由方程有两个实数根得Δ≥0，根据根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m2，然后代入（x1+1）（x2+1）=8计算即可． 本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3， ∴将抛物线y=2x2-4x-1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式为y=2（x-1+2）2-3+1=2（x+1）2-2，即y=2（x+1）2-2． 故答案为：y=2（x+1）2-2． 先将y=2x2-4x-1化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的三种形式，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△DEC， ∴∠CDE=∠BAC=30°，∠AC=CD，∠ACD=90°， ∴∠ADC=45°， ∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=15°． 故答案为：15°． 由旋转得∠CDE=∠BAC=30°，∠AC=CD，∠ACD=90°，可得∠ADC=45°，则可得∠ADE=∠ADC-∠CDE=15°． 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：连接AC交OB于点D， 由条件可知，， ∴， ∴|k|=3， 根据反比例函数图象在第二象限， ∴k=-3， 故答案为：-3． 根据反比例函数值几何意义解答结构． 本题考查了反比例函数值的几何意义，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：连接OC、OD． ∵AC=AE，∠CAB=30°， ∴∠ACE=∠AEC=（180°-∠CAB）÷2=75°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=30°， ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC=∠ACE-∠OCA=75°-30°=45°， ∴∠COD=180°-∠OCD-∠ODC=90°， ∴OD=CD•sin∠OCD=2×=， ∴SRt△COD=OC•OD=1， ∵S扇形COD=πOD2=， ∴S阴影=S扇形COD-SRt△COD=-1． 故答案为：-1． 连接OC、OD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得∠OCD=∠ODC=45°，从而求得∠COD=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式，根据“S阴影=S扇形COD-SRt△COD”求出阴影部分的面积公式即可． 本题考查扇形面积的计算，掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理、扇形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：原式==-1． 先计算零次幂、二次根式、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算加减． 本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，掌握实数的运算法则是关键． 18.【答案】  【解析】解：， 解不等式①得，x＜4， 解不等式②得，x≥5， 把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示： ， ∴不等式组无解． 先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 19.【答案】  【解析】解： =•（a+2）2 =•（a+2）2 =， 当a=3时，原式=． 先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20.【答案】  【解析】解：（1）图形如图所示： （2）连接OA，OB， ∵⊙M是△ABC的外接圆，又在⊙M中，， ∴∠ACB=∠AOB=90°， ∵是AB的垂直平分线， ∴OA=OB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）， ∴点B也在以O为圆心，以OA为半径的圆上， ∴对于⊙O，AB=AB， ∴（同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半）．（填写推理依据） 故答案为：∠AOB，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． （1）根据要求作出图形； （2）利用圆周角定理解决问题即可． 本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21.【答案】  【解析】（1）该事件属于随机事件， 故答案为：随机； （2）画树状图如下： 由树状图可知：P（小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”=． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）画树状图进行求概率即可． 本题主要考查了事件的分类，利用列表或画树状图求概率等知识点，解题的关键是熟练掌握事件的分类和求概率的方法． 22.【答案】  【解析】解：∵无人机在点A处测得黄河楼顶部点B的俯角∠DAB为45°，黄河楼底端点C的俯角∠DAC为71.5°， ∴∠BAD=45°，∠DAC=71.5°， 在Rt△ABD中，AD=47m, ∴BD=ADtan∠BAD=47•tan45°=47（m）， 在Rt△ACD中，∠DAC=71.5°， ， 解得CD=141， ∴BC=CD-BD=141-47=94（m）． ∴黄河楼的高度BC为94m. 在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别利用锐角三角函数求出BD，CD的长，即可得BC的长． 本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 23.【答案】  【解析】解：（1）25÷25%=100人， ∴D组的人数为：100-10-20-25-5=40， 补全的条形统计图如下图所示： （2）， 故答案为：72； （3） （人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． （1）根据C组人数及所占比例得出总人数，确定D组的人数即可补全统计图； （2）用360度乘以B组人数所占的比例即可； （3）总人数乘以不超过90分钟学生的比例即可得出结果． 题目主要考查扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体及求扇形的圆心角等，理解题意，根据扇形统计图与条形统计图获取相关信息是解题关键． 24.【答案】  【解析】（1）王超一家到达服务区之前车速为100÷1=100千米/小时， 在服务区休息时长为2-1=1小时； 故答案为：100；1； （2）设BC段y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）．由条件可得： ， 解得， ∴y=60x-20（2≤x≤4）． （3）∵100＜160＜220， ∴根据图象可知，对应x为2＜x＜4， ∴60x-20=160， 解得x=3． 答：王超离开家3小时后，离家的距离恰好为160千米． （1）根据图象获得信息求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据图象，先判断y=160对应的函数关系式，再将y=160代入对应的函数关系式并求出x的值即可． 本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式是解题的关键． 25.【答案】  【解析】（1）证明：连接OA，如图所示： ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE=90°，OA=OB， ∴∠B=∠OAB， 由圆周角定理得：∠B=∠D， ∴∠B=∠OAB， 又∵∠EAC=∠ADE， ∴∠EAC=∠B=∠OAB， ∵∠BAE=∠OAB+∠OAE=90°， ∴∠EAC+∠OAE=90°， 即∠OAC=90°， ∴OA⊥AC， 又∵OA是⊙O的半径， ∴CA是⊙O的切线； （2）解：由（1）可知：∠EAC=∠B， 又∵∠ACE=∠BCA， ∴△ACE∽△BCA， ∴=， ∵AC=8，CE=4， ∴BC===16， ∴BE=BC-CE=16-4=12， ∴OB=OE=BE=6， ∴⊙O的半径是6． （1）连接OA，根据BE是⊙O的直径得∠BAE=90°，OA=OB，则∠B=∠OAB，由圆周角定理得∠B=∠D=∠OAB=∠EAC，进而得∠EAC+∠OAE=90°，则OA⊥AC，然后根据切线的判定即可得出结论； （2）由（1）可知∠EAC=∠B，进而得△ACE和△BCA相似，利用相似三角形的性质可得出BC=16，由此即可得出⊙O的半径． 此题主要考查了圆周角定理，切线的判定，理解圆周角定理，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 26.【答案】  【解析】解：（1）如图1，延长EP至G，使PG=PE，连接BG， 则△PGB与△PEF关于点P对称，△PGB即为所求作的图形． ∵四边形CDFE是正方形， ∴∠CEF=90°， ∴∠BEF=180°-90°=90°， ∵点P为线段BF的中点， ∴PE=BP=PF， ∴∠PAB=∠PBA， ∴∠APF=∠PAB+∠PBA=2∠PBA， ∵∠BAC=90°，点P为线段BF的中点， ∴AP=BP=PF， ∴∠PEB=∠PBE，AP=PE， ∴∠EPF=∠PEB+∠PBE=2∠PBE， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， ∴∠APE=∠APF+∠EPF=2∠PBA+2∠PBE=2（∠PBA+∠PBE）=2∠ABC=90°， ∴AP⊥PE， 故答案为：AP⊥PE，AP=PE； （2）结论：AP⊥PE′，AP=PE′；证明如下： 如图2，作△PE′F′关于点P成中心对称的△PQB，连接AQ、AE， 则PQ=PE′，PB=PF′，∠BPQ=∠F′PE′， ∴△PBQ≌△PF′E′（SAS）， ∴BQ=F′E′，∠PBQ=∠PF′E′， ∴BQ∥E′F′， ∵四边形CE′F′D′是菱形，∠D′CE′=60°， ∴CD′∥E′F′，CD′=E′F′=CE′， ∴CD′∥BQ， ∴∠T=∠D′CE′=60°， ∴∠TBC+∠TCB=120，即∠ABQ+∠ABC+∠TCB=120°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∴∠ABC+∠TCB+∠ACE′=120°， ∴∠ABQ=∠ACE′， ∴△ABQ≌△ACE′（SAS）， ∴AQ=AE′，∠BAQ=∠CAE′， ∴∠QAE′=∠BAQ+∠BAE′=∠CAE′+∠BAE′=∠BAC=60°， ∴△AQE′是等边三角形， ∴AE′=QE′=2PE′， ∵PQ=PE′， ∴AP⊥PE′， 在Rt△APE′中，AP===PE′； （3）如图3，过点A作AH⊥BC于点H，连接PH、CF′，CF′交D′E′于点L， 由旋转得CD′=CD=1，CE′=CE=1， ∵四边形CD′F′E′是菱形，∠D′CE′=60°， ∴CF′=2CL=， ∵△ABC是等边三角形，AC=4，AH⊥BC， ∴H是BC的中点，AH=2， 又∵点P为线段BF′的中点， ∴PH是△BCF′的中位线， ∴PH=CF′=， ∵点H是定点， ∴点P在以H为圆心，PH为半径的圆上运动， 设AH交⊙H于点P′，当点P与点P′重合时，AP=AP′=AH-PH=2-=为最小值， 此时，S△ABP=AP′•BH=××2=， 故答案为：． （1）延长EP至G，使PG=PE，连接BG，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得PE=BP=PF，AP=BP=PF，得出AP=PE，再证得∠APE=90°，即可得出答案； （2）作△PE′F′关于点P成中心对称的△PQB，连接AQ、AE，则PQ=PE′，PB=PF′，∠BPQ=∠F′PE′，进而可得BQ∥E′F′，再结合等边三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质即可求得答案； （3）过点A作AH⊥BC于点H，连接PH、CF′，CF′交D′E′于点L，利用三角形中位线定理可得PH=CF′=，又点H是定点，得出点P在以H为圆心，PH为半径的圆上运动，可求得AP的最小值，再利用三角形面积公式即可求得答案． 本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，正方形和菱形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 27.【答案】  【解析】（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标． （2）设M点横坐标为m，则PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周长=-2m2-8m+2，将-2m2-8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积， （3）先确定出点D坐标，进而得出FG，再由FG=4建立方程求解即可． 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线顶点坐标公式，函数的极值，三角形的面积公式，解本题的关键是矩形PMNQ的周长=-2（m+2）2+10，是一道中等难度的中考常考题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$