精品解析：四川省自贡市田家炳中学2024-2025学年八年级上学期12月检测数学试题

自贡市田家炳中学八年级上学期月考 数学试题 一．选择题（每小题3分，共24分）． 1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图：在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 9 D. 10 7. 若是完全平方式，则k的值等于（ ） A. 4 B. C. 9 D. 8. 如图，在等腰中，，是的高，，，、分别是、上一动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. 9 D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：ax2-9a=____________________． 10. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是_____． 11. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 12. 若，则______． 13. 如图，中，．在上截取，作的平分线与相交于点P，连接．若的面积为，则的面积为_________． 14. 如图，是的平分线，动点M，N分别在射线上，连接交于点P，若的长度为的长度为当与的面积比为2∶1时，则的值是_____． 三．解答题：（共18分） 15. 计算： （1） （2） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 已知：如图，点在一条直线上，，且，．求证：． 18. 已知，求代数式的值． 三．解答题： 19. 数学课上，李老师布置如下任务： 如图，已知，点D是边上的一个定点，在边上确定一点E，使． 下面是小莉设计的尺规作图过程． 作法： ①以点D为圆心，长为半径作弧交边于点F，连接． ②作的角平分线，交边于点E； 则点E即为所求． 根据小莉设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明，并在括号内填写推理的依据． 证明：∵， ∴＝ ．（ ） ∵是的角平分线， ∴． ∵，（ ） 即， ∴． ∴． 20. 我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于x的代数式，并解决问题． （1）若计算的结果为，则_________； （2）若多项式分解因式的结果为，则_________，b=_________； （3）若计算的结果为，求m的值． 21. 如图，在中，AD平分，于点E．求证：． 22. 如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 四．解答题：（共15分） 23. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 再如“”分法： 利用上述方法解决下列问题： （1）分解因式：． （2）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 24. 在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F． （1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______． （2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：． （3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市田家炳中学八年级上学期月考 数学试题 一．选择题（每小题3分，共24分）． 1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除法则是解题的关键． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义即可求出答案，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、右边不是整式的积的形式，是分式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意； D、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解的定义，解题的关键正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型． 4. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的定义解答即可． 【详解】解： 、 的分母中含字母，是分式， 、 、的分母中不含字母，不是分式， 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 5. 如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，设，则，结合得到，根据三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线性质，等腰三角形性质是解题的关键． 6. 如图：在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得出是的平分线，，结合已知求出，根据是的角平分线，，求出，从而求出． 【详解】解：在中，，， ， 是的中线， 是的平分线，， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 7. 若是完全平方式，则k的值等于（ ） A. 4 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：∵是完全平方式 ∴ ∴． 故选：D． 8. 如图，在等腰中，，是的高，，，、分别是、上一动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，等腰三角形的性质，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用等面积法求线段长度是解题的关键． 利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接，，当时，线段的和最小，再运用等面积法求的长度即可． 【详解】解：∵在等腰中，，是的高， ∴点B关于的对称点是点C，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即的长度 ∵ ∵，，， ∴， 解得：． 故选：D． 二．填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：ax2-9a=____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：ax2-9a=a(-9)=a(x+3)(x-3). 故答案为： 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键． 10. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是_____． 【答案】19 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 设这个多边形的边数为n，再根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意可得：， 解得：． 所以这个多边形的边数是19． 故答案为19． 11. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，首先分情况讨论腰长和底边长，依据三角形三边的关系验证能否构成三角形，再求三角形的周长． 【详解】解：当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 不能构成三角形； 当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 能构成三角形， 三角形的周长为． 故答案为：． 12. 若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，利用平方差公式得到，根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：6． 13. 如图，中，．在上截取，作的平分线与相交于点P，连接．若的面积为，则的面积为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形， ∴． ∵， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键． 14. 如图，是的平分线，动点M，N分别在射线上，连接交于点P，若的长度为的长度为当与的面积比为2∶1时，则的值是_____． 【答案】9 【解析】 【分析】过P点作，.根据角平分线的性质可得，，由与的面积比为2∶1，列比例式求解即可. 【详解】 过P点作， ∵点P在的平分线上， ∴， ∶=2∶1， 2∶1 ∴ ∶=2∶1， ∶ =2∶1， ， 故答案为：9 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.掌握以上知识是解题的关键. 三．解答题：（共18分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法、除法计算，最后合并同类项即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式计算，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． （1）先提取m，然后再运用平方差公式因式分解即可； （2）先提取y，然后再运用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 已知：如图，点在一条直线上，，且，．求证：． 【答案】 证明： 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，主要掌握全等三角形判定条件 “”，注意利用得到． 【详解】略 18. 已知，求代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查代数式求值、完全平方公式、多项式除以单项式等知识点，得出并对代数式进行化简是解题的关键． 首先求出，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 三．解答题： 19. 数学课上，李老师布置如下任务： 如图，已知，点D是边上的一个定点，在边上确定一点E，使． 下面是小莉设计的尺规作图过程． 作法： ①以点D为圆心，长为半径作弧交边于点F，连接． ②作的角平分线，交边于点E； 则点E即为所求． 根据小莉设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明，并在括号内填写推理的依据． 证明：∵， ∴＝ ．（ ） ∵是的角平分线， ∴． ∵，（ ） 即， ∴． ∴． 【答案】（1） 如图所示， （2） 证明：∵， ∴．（等边对等角） ∵是的角平分线， ∴． ∵，（三角形外角性质） 即， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据所给作法即可得； （2）根据等边对等角得，根据是的角平分线得，根据三角形外角性质得，即，可得，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，等边对等角，三角形的外角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 20. 我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于x的代数式，并解决问题． （1）若计算的结果为，则_________； （2）若多项式分解因式的结果为，则_________，b=_________； （3）若计算的结果为，求m的值． 【答案】（1） （2）1，2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等式的性质即可求解； （2）把展开，根据与相等列出二元一次方程组求解即可； （3）将展开，根据与相等列出二元一次方程组求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：， 故答案为：1，2； 【小问3详解】 解：， ， ， 解得：； ． 【点睛】本题考查了等式的性质，代数式，解题的关键是根据等式列出二元一次方程求解． 21. 如图，在中，AD平分，于点E．求证：． 【答案】 证明：延长CE交AB于F， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝∠AEF， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAE＝∠CAE， 在△FAE和△CAE中， ∵ ， ∴△FAE≌△CAE（ASA）， ∴∠ACE＝∠AFC， ∵∠AFC＝∠B＋∠ECD， ∴∠ACE＝∠B＋∠ECD． 【解析】 【分析】延长CE交AB于F，求出∠AEC＝∠AEF，∠FAE＝∠CAE，根据ASA证△FAE≌△CAE，推出∠ACE＝∠AFC，根据三角形外角性质得出∠AFC＝∠B＋∠ECD，代入即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，关键是作辅助线后求出∠AFC＝∠ACE． 22. 如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：在中，，， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论； （2）延长至，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 证明：延长至，使，连接， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 四．解答题：（共15分） 23. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 再如“”分法： 利用上述方法解决下列问题： （1）分解因式：． （2）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 是等腰三角形，理由：， ， ， ， ， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据“”分法即可得出答案； （2）根据“”分法分解因式，得出或，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． 24. 在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F． （1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______． （2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：． （3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______． 【答案】（1） （2）解：当点D在线段AC的延长线上时，如下图所示： ，， ， 在和中， ， ，， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用边相等和角相等，直接证明，即可得到结论． （2）利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立． （3）要证明，先利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立． 【详解】（1）解： ，， ， 在和中， ， ． （2） 略 （3）解：，如下图所示： ，， ， 在和中， ， ，， ． 【点睛】本题主要是考查了三角形全等的判定和性质，熟练利用条件证明三角形全等，然后利用边相等以及边与边之间关系，即可证明结论成立，这是解决该题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $