精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县停洞中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

从江县停洞中学2024-2025学年度第一学期12月质量监测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 2. 函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. ﹣ ＝1 C. ×＝ D. 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，13 C. 7，14，15 D. 2，2，2 5. 若方程的两个解是，，则，的值为(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，以等边的边的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点和点在直线上，且，则a的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，把直线y=－2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(m，n)，且2m＋n=6，则直线AB的解析式是(　　) A. y=－2x－3 B. y=－2x－6 C. y=－2x＋3 D. y=－2x＋6 9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（   ） A. B. C. D. 10. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（ ） A. B. C. D. 11. 若一次函数与，满足，且已知没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）， 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 已知方程，改写成用含的式子表示的形式______． 14. 若一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为______________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是 ． 16. 已知与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C，D分别是，中点，点P为上动点，当周长最小时，点P的坐标为____________． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）的面积为 ． 20. 已知y＋3与x成正比例，且x＝2时，y＝7． （1）求y与x的函数关系式； （2）将所得函数图象平移，使它过点(0，3)，求平移后直线的解析式． 21. 如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3． （1）求∠C的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 22. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差 甲 a 7 7 1.2 乙 7 b 8 4.2 （1）写出表格中a，b的值： ， ； （2）如果乙再射击一次，命中7环，那么乙的射击成绩的方差会 ；（选填“变大”“变小”或“不变”） （3）若教练根据这10次的成绩选择甲参加比赛，教练的理由是什么？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点，且与x轴交于点D． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 24. 五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． （1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ （2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 25. 阅读理解： 如图1，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使的值最小 做法如下：作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点P就是所求的点． 实践运用： 如图2，在平面直角坐标系中，已知两点，． （1）按前述做法，在x轴上找一点C，使的值最小； （2）（1）中点C的坐标为　 　 拓展延伸：当x为何值时，的值最小？并求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县停洞中学2024-2025学年度第一学期12月质量监测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：，，3.14都是有理数，是无理数，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无限不循环小数是无理数． 2. 函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据k＞0确定一次函数经过第一、三象限，根据b＜0确定函数图象与y轴负半轴相交，即经过第四象限，从而判断得解． 【详解】解：一次函数y=x﹣2， ∵k=1＞0， ∴函数图象经过第一、三象限， ∵b=﹣2＜0， ∴函数图象与y轴负半轴相交，即经过第四象限， ∴函数图象不经过第二象限． 故选B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. ﹣ ＝1 C. ×＝ D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算方法判断选项的正确性． 【详解】解：A选项错误，不是同类二次根式不可以加减； B选项错误，不是同类二次根式不可以加减； C选项正确； D选项错误，． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算方法． 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，13 C. 7，14，15 D. 2，2，2 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、42+52=41≠62，不能构成直角三角形，故选项错误； B、52+122＝25+144=169=132，能构成直角三角形，故选项正确； C、72+142=49+196=245≠152，不能构成直角三角形，故选项错误； D、22+22=8≠22，不能构成直角三角形，故选项错误． 故选择：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键． 5. 若方程的两个解是，，则，的值为(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】把，代入方程得出方程组，再求出方程组的解即可． 【详解】解：把，代入方程得 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能根据二元一次方程的解得出关于、的方程组是解此题的关键． 6. 如图，以等边的边的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点C坐标，求出OC，由O为BC中点，求BC长，由等边三角形求出AC长，利用勾股定理求OA即可． 【详解】边的中点为坐标原点， ∵C（1,0）， ∴OC=1， ∴BC=2OC=2， ∵是等边三角形， ∴AC=BC=2， 在Rt△AOC中，由勾股定理OA=， ∵A点在y轴上， ∴A（0，）． 故选择：B． 【点睛】本题考查点的坐标问题，掌握点在轴上的特征，会利用坐标求线段，会利用中点求边长，进而会利用勾股定理求三角形的高解决问题． 7. 已知点和点在直线上，且，则a的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】函数解析式知，可得随x的增大而减小，求出a的取值范围即可求解． 【详解】由y=-x+b知， ∴y随x的增大而减小， ∵> ， ∴a>1 ∴a的值可能是2 故选：D 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 8. 如图，把直线y=－2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(m，n)，且2m＋n=6，则直线AB的解析式是(　　) A. y=－2x－3 B. y=－2x－6 C. y=－2x＋3 D. y=－2x＋6 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可设直线AB的解析式是，将点(m，n)，2m＋n＝6代入得，故选D 9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等；两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等， ； 两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两， ． 根据题意可列方程组． 故选：D． 10. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，依据题意， 求出与的函数关系式，再根据一次函数的图象特征即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， 解得， 即与的关系式为，是一次函数图象的一部分，且随的增大而减小，观察四个选项可知，只有选项符合， 故选：． 11. 若一次函数与，满足，且已知没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图象和性质，由没有意义可得，即可得直线与直线相交，再根据可知直线与轴的交点在直线与轴的交点上方，综合各选项即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵没有意义， ∴， ∴直线与直线相交， 又∵， ∴直线与轴的交点在直线与轴的交点上方， 综上各选项，只有选项符合题意， 故选：． 12. 已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）， 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE． ∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD=CE．本结论正确． ②∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE． ∵∠ABD+∠DBC=45°， ∴∠ACE+∠DBC=45°． ∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°． ∴BD⊥CE．本结论正确． ③∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°． ∴∠ABD+∠DBC=45°． ∵∠ABD=∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确． ④∵BD⊥CE， ∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2． ∵△ADE为等腰直角三角形， ∴DE=AD，即DE2=2AD2． ∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2． 而BD2≠2AB2，本结论错误． 综上所述，正确的个数为3个． 故选C． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 已知方程，改写成用含的式子表示的形式______． 【答案】 【解析】 【分析】将看做已知数求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出． 14. 若一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是 ． 【答案】6cm2 【解析】 【分析】先根据勾股定理得到AB=10cm，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm，则AC′=4cm，设DC=xcm，在Rt△ADC′中根据勾股定理列方程求得x的值，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm， ∴AB=10cm， ∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点， ∴△BCD≌△BC′D， ∴∠C=∠BC′D=90°，DC=DC′，BC=BC′=6cm， ∴AC′=AB-BC′=4cm， 设DC=xcm，则AD=（8-x）cm， 在Rt△ADC′中，AD2=AC′2+C′D2， 即（8-x）2=x2+42，解得x=3， ∵∠AC′D=90°， ∴△ADC′的面积═×AC′×C′D=×4×3=6（cm2）． 考点：折叠的性质，勾股定理 点评：折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分． 16. 已知与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C，D分别是，中点，点P为上动点，当周长最小时，点P的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、最短路线问题．作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，根据中点坐标公式求出、点的坐标，再求出直线的解析式，再求出与轴的交点坐标即可． 【详解】解：令，则；令，则； ∴，， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： ， ，即当三点共线时，的值最小， 长为定值， 当的值最小时，周长最小， ，，点，分别是，的中点， ，， ， 设直线为，把，， 代入得，解得， ， 令，， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，绝对值，二次根式的混合运算等知识．解题的关键在于正确的计算． （1）先计算立方根，算术平方根，然后进行加减运算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算，然后进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，包括加减消元法、代入消元法以及方程的化简技巧．解题的关键是根据方程组的特点选择合适的消元方法． （1）方程组为整数系数的二元一次方程，用加减消元法进行求解即可； （2）方程组含分式，先通过去分母化简为整式方程；再利用代入法进行求解即可． 【小问1详解】 ①得③， ②得④， ③④得：，解得． 将代入②：即，解得． 故方程组的解为： 【小问2详解】 整理①得③． 整理②得④． 将③代入④：，解得． 将代入③：． 故方程组的解为：． 19. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）的面积为 ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了作图一轴对称变换． （1）先利用关于x轴对称的点的坐标特征得到的位置，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 20. 已知y＋3与x成正比例，且x＝2时，y＝7． （1）求y与x的函数关系式； （2）将所得函数图象平移，使它过点(0，3)，求平移后直线的解析式． 【答案】（1）y=5x-3；（2）y=5x+3． 【解析】 【分析】（1）由y+3与x成正比例，设出关系式，把x与y的值代入k的值，即可确定出解析式； （2）利用平移规律设出平移后的解析式，把（0，3）代入即可求出解析式． 【详解】解：（1）设y+3=kx， 把x=2，y=7代入得：7+3=2k，即k=5， 则y与x函数关系式为y+3=5x，即y=5x-3； （2）设平移后的解析式为y=5x-3+m， 把x=0，y=3代入得：3=-3+m，即m=6， 则平移后直线解析式为y=5x+3． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 21. 如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3． （1）求∠C的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）135°；（2）10． 【解析】 【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC=4，，再由勾股定理逆定理证明，进而得出结论； （2）根据求解即可． 【详解】解：连接AC，如图， ∵∠D＝90°， ∴ ∵CD＝AD＝， ∴ ∵AB＝5．BC＝3 ∴ ∴ ∵CD＝AD ∴ ∴ （2） = = =6+4 =10 【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理是解本题的关键． 22. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差 甲 a 7 7 1.2 乙 7 b 8 4.2 （1）写出表格中a，b的值： ， ； （2）如果乙再射击一次，命中7环，那么乙的射击成绩的方差会 ；（选填“变大”“变小”或“不变”） （3）若教练根据这10次的成绩选择甲参加比赛，教练的理由是什么？ 【答案】（1）7，7.5 （2）变小 （3）因为他们的平均数相同，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛． 【解析】 【分析】本题考查了方差及平均数的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键， （1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可； （2）如果乙再射击一次，命中7环，那么乙的射击成绩的平均数不变，求得方差即可得出结论； （3）他们的平均数相同，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵乙射击的成绩从小到大重新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击成绩的中位数（环）， 【小问2详解】 如果乙再射击一次，命中7环，那么乙的射击成绩的平均数不变， 方差为： ； ∴乙的射击成绩的方差变小， 故答案为：变小； 【小问3详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点，且与x轴交于点D． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）75 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，用数形结合的思想解答． （1）先直线的解析式求出A点坐标，再根据点A与点C的坐标即可求得直线的解析式； （2）根据直线的解析式求得点B的坐标，根据直线的解析式求得点D的坐标，再根据点A的坐标即可求得的面积． 【小问1详解】 ∵直线与y轴交于点A， 当时，， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过，， ∴， 解得 ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 ∵直线与x轴交于点B， 当时，， ∴， ∵直线与x交于点D， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 24. 五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． （1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ （2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】（1）A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元． （2）采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台． 【解析】 【分析】（1）设A种品牌电风扇每台进价x元，B种品牌电风扇每台进价y元，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可． （2）设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，根据题意可列等式，由a和b都为整数即可求出a和b的值的几种可能，然后分别算出每一种情况的利润进行比较即可． 【小问1详解】 设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元； 【小问2详解】 设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台， 由题意得：， 其正整数解为： 或或 当时，利润（元）， 当时，利润（元）， 当时，利润（元）， ∵， ∴当时，利润最大， 答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键． 25. 阅读理解： 如图1，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使的值最小 做法如下：作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点P就是所求的点． 实践运用： 如图2，在平面直角坐标系中，已知两点，． （1）按前述做法，在x轴上找一点C，使的值最小； （2）（1）中点C的坐标为　 　 拓展延伸：当x为何值时，的值最小？并求出最小值． 【答案】 （1）如图，C点即为所求； （2）； 拓展：，最小值为13 【解析】 【分析】（1）过A作轴于，延长使，连接，交x轴于，从而可得答案； （2）先求解，设直线为，而利用待定系数法可得直线为，再求解直线与x轴的交点坐标； （3）如图，设，，，可得，如图，取，则，关于x轴对称，可得，此时最短，再仿照（2）的方法求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵，轴，， ∴， 设直线为，而． ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴； （3）如图，设，，， ∴，， ∴， 如图，取，则，关于x轴对称， ∴， ∴，此时最短， ∴最短距离为：； ∵，， 同理可得：直线为， 当时，则，则， ∴当时，最小值为13． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，坐标与图形，利用待定系数法求解一次函数的解析式，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $