精品解析：江苏省盐城中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024－2025学年江苏省盐城中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 2. 下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D. 圆台的轴截面不可能为直角梯形 3. 已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，其中，则＝（ ） A. B. C. D. 7. 是斜边上一点，若，则的值（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，在平行四边形中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为3π B. 的增区间是 C. 是奇函数 D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象 11. 已知三个内角的对边分别是，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若是边上的一点，且，则的面积的最大值为 C. 若是锐角三角形，则的取值范围是 D. 若是的外心，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设z为复数，若=1，则的最大值为__________. 13. 化简_______________. 14. 已知函数和函数．若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数以及模. 16. 已知向量，其中O为坐标原点． （1）若A,B,C三点共线，求实数m的值； （2）当四边形ABCD为矩形时，设点M为线段CD的中点，问在线段AD上是否存在点N使得，若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标，若不存在，说明理由． 17. 已知函数． （1）求函数的值域； （2）若，求的值． 18. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，． （1）若，求； （2）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； （3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． 19. 已知是直线外一点，点、在直线上（点、与点、任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记．记的内角、、的对边分别为、、．已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到． （1）若，求的值； （2）射线上的点满足． ①求； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年江苏省盐城中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法运算以及复数的概念求解. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为4， 故选:C. 2. 下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D. 圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】D 【解析】 【分析】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定义，即可判断D． 【详解】 图1 图2 对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 故选：D． 3. 已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知分别转化为同向共线及共线，再结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】向量为非零向量，则“”成立即得向量同向共线； “存在非零实数m，n，使得”成立即得向量共线； 向量同向共线可以得出共线，但是共线不一定是同向共线， 则“”是“存在非零实数m，n，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两向量平行的坐标关系求出的值，再将所求式子转化为关于的表达式，最后代入的值进行计算. 【详解】已知，，且. 可得：，即..  ，将其变形为. 分子分母同时除以（因为，若，则，此时，，两向量不平行）， 得到.  将代入可得：  ，则. 故选：D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数平移变换可求得，利用代入检验的方式得到整体的范围，根据正弦函数单调区间可构造不等式求得结果. 【详解】向右平移个单位得：， 当时，， 在上单调递增，，解得：， 的最大值为. 故选：D 6. 若，其中，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将和平方后相加，结合的值，建立方程求解. 【详解】∵，则令①， ∵②， 由①2＋②2得， 又，∴． ∴． 故选：A. 7. 是斜边上一点，若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合几何图形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解. 【详解】在中，令，由，则， ，， 在中，，由正弦定理，， 即，整理得， 即，因，则有，即的值是. 故选：D 8. 如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正八边形的边长为4，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果 【详解】正八边形中，， 所以，， 连接，过点作，交、于点、，交于点， 设， 中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最小值为， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，在平行四边形中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图形利用向量的线性运算一一判断即可. 【详解】对A，由题意得，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确. 故选：BCD. 10. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为3π B. 的增区间是 C. 是奇函数 D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】由函数最值求解A，由周期求ω，结合特殊点的函数值求，即得函数解析式，结合正弦函数的性质检验各选项即可． 【详解】对于A，由图，，函数的最小正周期满足，则，故A正确； 对于B，由A可得，则，又因图象过点，则， 即，因，所以则得 令，解得，故B正确； 对于C，，因函数的定义域为，其图象显然不经过点，故不是奇函数，即C错误； 对于D，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）可得，故D错误． 故选：AB． 11. 已知三个内角的对边分别是，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若是边上的一点，且，则的面积的最大值为 C. 若是锐角三角形，则的取值范围是 D. 若是的外心，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】用正弦定理及余弦定理求出角B判断A；利用向量线性运算及数量积的运算律解得，使用基本不等式即可求出面积最大值判断B；利用正弦定理及三角恒等变换得，求出函数值域即可判断C，根据模长关系可得，再结合基本不等式运算求解D即可. 【详解】对于A，因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得，即， 且，所以，故A错误， 对于B，因为， 则， 可得， 即，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的面积的最大值为，故B正确； 对于C，因为， 又因为，解得， 可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 可知点在优弧上（端点除外）， 由题意得，则， 又因为， 且，所以可得， 即，又因为，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以可得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设z为复数，若=1，则的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设，由模长公式得到.然后由模长公式得到的代数式，由函数的单调性可知，当取最大值时取得最大，由求出的最大值，从而得出结果. 【详解】设，则，即， ，∴， ∵在上单调递增， ∵，， ∴当时，取最大值3. 故答案为：3. 13. 化简_______________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用三角恒等变换，先化切为弦，把转化为，利用差角公式化简可得答案. 【详解】 . 故答案为: . 14. 已知函数和函数．若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和与差的三角函数公式，化简得，其中，，结合题意推导，由此算出，根据三角函数的诱导公式求出的值． 【详解】由题意得， 结合，可得， 其中锐角θ满足，. 因为关于的方程在内有两个不同的解、， 所以方程，即在内有两个不同的解、. 根据，， 满足， 可得， 结合正弦函数的性质，可知，， 所以，即， 可得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数以及模. 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）由复数的乘法法则化简后，根据复数的分类求解； （2）由复数除法法则计算出，再由复数模的定义计算． 【小问1详解】 由题意，它为纯虚数， 则，∴， ∴； 【小问2详解】 ， ． 16. 已知向量，其中O为坐标原点． （1）若A,B,C三点共线，求实数m的值； （2）当四边形ABCD为矩形时，设点M为线段CD的中点，问在线段AD上是否存在点N使得，若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）由向量坐标求得三点坐标，利用直线斜率相等计算即得实数m的值； （2）通过矩形性质确定各点坐标，设参数表示N，结合向量模长公式列方程，求出满足条件的N． 【小问1详解】 由， 得． 则， 因A,B,C三点共线，则，即，解得． 【小问2详解】 如图，四边形ABCD为矩形，则， 因，则 由，解得，即， 因的中点即的中点， 故，解得，即. 因M为CD中点，故，假设在线段AD上存在点N满足条件， 则，则可得 则，．故． 由，可得． 展开并化简：，解得或． 故或． 17. 已知函数． （1）求函数的值域； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用切化弦与二倍角公式，以及辅助角公式，化为正弦型函数，根据x的取值范围求的范围即得； （2）根据三角恒等变换和二倍角公式，利用同角的三角函数关系，求解即可． 【小问1详解】 ＝ ＝＝＝， 因为，所以，所以， 即函数的值域为. 【小问2详解】 由，， 得， 所以 ＝. 18. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，． （1）若，求； （2）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； （3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2）验证见解析，1 （3）14 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求得,结合，得是等边三角形，即可求出； （2）在与中，分别用余弦定理表示，即可证明； （3）分别表示出，则，由（2）知：，代入消去角，利用三角函数求最值即可． 【小问1详解】 由，．， 在中，由余弦定理得, 所以. 又，所以是等边三角形， 所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得， ∴ 所以为定值； 【小问3详解】 ， 则， 由（2）知：，∴ 代入上式得：， 配方得：， ∵ 又, 所以当时，取到最大值14． 19. 已知是直线外一点，点、在直线上（点、与点、任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记．记的内角、、的对边分别为、、．已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到． （1）若，求的值； （2）射线上的点满足． ①求； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据所给定义及条件得为的角平分线，在中，由余弦定理求出，再利用平面向量数量积的运算性质化简可得结果； （2）①根据所给定义及条件计算，结合（1）问的得，然后化简求值即可； ②由及面积公式得，再由基本不等式计算即可． 【小问1详解】 因为，所以点在线段上，如图①所示， 又，所以由， 得， 因为，且，， 所以（舍）或， 所以为的角平分线， 又，所以， 在中，， 由余弦定理得 ，故， 因为，则， 即，故. 【小问2详解】 记，①因为， 所以点在线段的延长线上，如图②所示， 即， 因为，所以， 化简得，即， 可得，即， 因为，所以； ②因为，则， 即，所以 ＝， 当且仅当|时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $