专题 14.6 全等三角形（全章知识梳理 +题型精析 + 同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 14.6 全等三角形 目录导航 一.知识梳理 1 知识点（一）你能举一些实际生活中全等形的例子吗? 2 【题型1】全等图形的认识 2 知识点（二）全等三角形有什么性质? 3 【题型2】利用全等三角形的性质求值证明 3 知识点（三）从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时,哪些是能够判定的?两个直角三角形全等的条件是什么? 3 【题型3】全等三角形的判定——“边角边”求值证明 4 【题型4】全等三角形的判定——“角边角”求值证明 4 【题型5】利用全等三角形的判定——“角角边”求值证明 5 【题型6】利用全等三角形的判定——“边边边”求值证明 6 【题型7】利用全等三角形的判定——“斜边、直角边”求值证明 7 知识点（五）你对角的平分线有了哪些新的认识? 8 【题型8】利用角平分线的性质定理求值证明 8 【题型9】利用角平分线的判定求值证明 9 知识点（六）通过本章学习，你三角形全等几何模型有哪些了解？ 10 【题型10】一线三直（等）角模型 10 【题型11】截长补短与倍长中线模型 10 【题型12】手拉手与半角模型 11 二．同步练习​ 13 【基础巩固（24题）】 13 【能力提升（24题）】 19 【中考真题11题】 26 一.知识梳理 三角形全等知识结构图： 全等形全等三角形 带着问题，复习全章的内容 知识点（一）你能举一些实际生活中全等形的例子吗? 解答：生活中的全等图形是经常出现的，如图的A4纸，同一型的轮胎，百事可乐饮料罐等等。 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 特别注意：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 【题型1】全等图形的认识 【例题 1】（23-24八年级上·全国·课后作业）先观察猜想结论，再动手验证． （1）如图．圆和圆哪个大？ （2）如图，两条线是否为直线？ 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 知识点（二）全等三角形有什么性质? 全等三角形性质：全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等。 【题型2】利用全等三角形的性质求值证明 【例题2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． （1）判断直线与是否垂直？请说明理由； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，中，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 知识点（三）从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时,哪些是能够判定的?两个直角三角形全等的条件是什么? 全等三角形的判定1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 【题型3】全等三角形的判定——“边角边”求值证明 【例题3】（24-25八年级上·重庆秀山·阶段练习）已知中，，，中，，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 【变式1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，已知，且，，，则的度数为 ． 全等三角形的判定2：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 【题型4】全等三角形的判定——“角边角”求值证明 【例题4】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上的一点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于点，且． （1）求证：． （2）点C为上一点，连接，若，，，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，平分，，交于点E，连接，若的面积为5，则的面积为（   ） A．15 B．14 C．12 D．10 【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ． 全等三角形的判定3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）. 【题型5】利用全等三角形的判定——“角角边”求值证明 【例题5】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 全等三角形的判定4：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 【题型6】利用全等三角形的判定——“边边边”求值证明 【例题6】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为 °． 全等三角形的判定5：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 【题型7】利用全等三角形的判定——“斜边、直角边”求值证明 【例题7】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，为的高，为上一点，交于点，且有． 求证：． 证明：． 在和中， ． ． 上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程． 【变式1】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中， 于点，，若，则 ． 知识点（五）你对角的平分线有了哪些新的认识? 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 【题型8】利用角平分线的性质定理求值证明 【例题8】（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，是的角平分线，是延长线上一点，交于，交于．求证：点到和的距离相等． 【变式1】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，，O为，的平分线的交点，于E，且，则与之间的距离等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【题型9】利用角平分线的判定求值证明 【例题9】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图1，在四边形中，已知，，连接． （1）求证：平分； （2）点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（       ）　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【变式2】（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）已知点是内一点，且点到三边、、的距离相等，连接、，若，则 ． 知识点（六）通过本章学习，你三角形全等几何模型有哪些了解？ 【题型10】一线三直（等）角模型 【例题10】（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． （1）如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； （2）如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； （3）点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【变式】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． （1）试说明：； （2）如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. （3）如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【题型11】截长补短与倍长中线模型 【例题11】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【题型12】手拉手与半角模型 【例题12】（24-25九年级下·全国·假期作业）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （2）【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·福建·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式2】（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 二．同步练习​ 【基础巩固（24题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江台州·二模）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直角边分别与边重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线，若，，则为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 6．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是（    　）    A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．35 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当平分时，点B到桌面的距离是，则点B到的距离是 ． 12．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是 ． 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，，．若，，，则 ． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，一个直角三角板的一条直角边经过的顶点，一把直尺经过三角板的直角顶点并且与这条直角边垂直，直尺与的两边分别交于、，当时，与的数量关系为： ． 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的平分线交于点，，，点为上一动点，则的最小值为 ． 16．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 ． 17．（24-25七年级下·江西鹰潭·期末）如图，，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为 ． 18．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 三、解答题 19．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，． （1）求证：： （2）若，求的度数． 20．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，C，E，F分别是直线上的三点，且，请提出对三条线段之间数量关系的合理猜想，并说明理由． 21．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 22．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． （1）求证：； （2）求证： 23．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：． 24．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【能力提升（24题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．9 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 5．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 8．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ） A．30 B．15 C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，已知点在上，点在上，，且，若，，则 ． 10．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点D是边的中点，，的平分线交于内一点P，连接．若，则 °． 12．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 13．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在和中，，，，下列结论：①；②；③；④.其中结论正确的是 .（填序号） 14．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 16．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的平分线，，垂足为点是的边上的中线，，的面积为6，则的面积为 ． 17．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；（3）作射线交直线于点；若，则 度． 18．（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 19．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图所示，已知于 D． （1）已知，求的长． （2）判断与的位置关系，并说明理由． 20．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． （1）求证：； （2）求证：． 21．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． （1）求的度数； （2）求证：． 22．（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 23．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）将和按如图①方式摆放，已知，，点在线段上，延长交线段于点． （1）线段与之间的数量关系是___________； （2）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其余条件不变，如图②，求证：； （3）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且的延长线交线段于点，其余条件不变，如图③，（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 24．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【中考真题11题】 一、单选题 1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 6．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．    三、解答题 7．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 8．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 9．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 10．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 11．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 14.6 全等三角形 目录 一.知识梳理 1 知识点（一）你能举一些实际生活中全等形的例子吗? 2 【题型1】全等图形的认识 2 知识点（二）全等三角形有什么性质? 4 【题型2】利用全等三角形的性质求值证明 4 知识点（三）从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时,哪些是能够判定的?两个直角三角形全等的条件是什么? 6 【题型3】全等三角形的判定——“边角边”求值证明 6 【题型4】全等三角形的判定——“角边角”求值证明 9 【题型5】利用全等三角形的判定——“角角边”求值证明 12 【题型6】利用全等三角形的判定——“边边边”求值证明 15 【题型7】利用全等三角形的判定——“斜边、直角边”求值证明 18 知识点（五）你对角的平分线有了哪些新的认识? 20 【题型8】利用角平分线的性质定理求值证明 20 【题型9】利用角平分线的判定求值证明 23 知识点（六）通过本章学习，你三角形全等几何模型有哪些了解？ 26 【题型10】一线三直（等）角模型 26 【题型11】截长补短与倍长中线模型 31 【题型12】手拉手与半角模型 36 二．同步练习​ 41 【基础巩固（24题）】 41 【能力提升（24题）】 60 【中考真题11题】 89 一.知识梳理 三角形全等知识结构图： 全等形全等三角形 带着问题，复习全章的内容 知识点（一）你能举一些实际生活中全等形的例子吗? 解答：生活中的全等图形是经常出现的，如图的A4纸，同一型的轮胎，百事可乐饮料罐等等。 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 特别注意：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 【题型1】全等图形的认识 【例题 1】（23-24八年级上·全国·课后作业）先观察猜想结论，再动手验证． （1）如图．圆和圆哪个大？ （2）如图，两条线是否为直线？ 【答案】（1）一样大；（2）是直线； 【分析】先观察猜想得出结论，然后动手验证即可． 解：（1）观察猜想得出的结论：圆比圆大， 验证：用重叠法比较，圆和圆一样大； （2）观察猜想得出的结论：不是两条直线， 验证：用支持比较，是两条直线； 【点拨】此题目主要考查了同学们能观察图形的形状和大小，培养识图能力． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等图形的概念，解题的关键是掌握形状和大小都相同的两个图形是全等图形．根据全等图形的定义，逐项判断即可求解． 解：A．不是全等图形，故本选项不符合题意； B．不是全等图形，故本选项不符合题意； C．是全等图形，故本选项符合题意； D．不是全等图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 知识点（二）全等三角形有什么性质? 全等三角形性质：全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等。 【题型2】利用全等三角形的性质求值证明 【例题2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． （1）判断直线与是否垂直？请说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理应用，平行线的性质，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据，得出，证明，求出，即可得出结论； （2）根据，得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 解：（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，中，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 先由全等三角形的性质得到，进而由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和即可得解． 解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．根据全等三角形的对应角相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 解：∵， ∴，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 知识点（三）从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时,哪些是能够判定的?两个直角三角形全等的条件是什么? 全等三角形的判定1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 【题型3】全等三角形的判定——“边角边”求值证明 【例题3】（24-25八年级上·重庆秀山·阶段练习）已知中，，，中，，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键． （1）由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，由三角形外角的性质得出，即可得出结论． 解：（1）证明：，， ， 在和中，，，， ∴， ； （2）证明：在和中，，，， ∴， ， 为、的外角， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至，使得，即得，可证，得到，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，延长至，使得， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴长度可以是， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，已知，且，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，先证明，得到，角的和差关系求出，8字型图，得到，平角的定义，求出的度数即可． 解：在和中， ， ． ，， ， ． ， ， ． 故答案为：． 全等三角形的判定2：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 【题型4】全等三角形的判定——“角边角”求值证明 【例题4】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上的一点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于点，且． （1）求证：． （2）点C为上一点，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定证明，再运用全等三角形的性质即可证得结论； （2）由证得，根据全等三角形的判定证明，则有、即，最后根据线段的和差即可解答． 解：（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，平分，，交于点E，连接，若的面积为5，则的面积为（   ） A．15 B．14 C．12 D．10 【答案】D 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线，证明，得出点D是中点，即可得，再根据求解即可． 解：∵平分，， ∴， 又， ∴， ∴，即点D是中点， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．延长交于点，根据题意，证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 解：如图所示，延长，交于点， ， ， ∵是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∵和同底等高， ， ， ， 故答案为： ． 全等三角形的判定3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）. 【题型5】利用全等三角形的判定——“角角边”求值证明 【例题5】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质． 先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 解：， ， ． 在和中， ， ，． ， ． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积及全等三角形的判定与性质，能根据全等三角形的判定与性质得出的长是解题的关键． 过点E作的垂线，垂足为M，根据全等三角形的判定与性质得出的长即可解决问题． 解：过点E作的垂线，垂足为M， ∵，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 过点作于点，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 解：过点作于点，如图所示： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 全等三角形的判定4：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 【题型6】利用全等三角形的判定——“边边边”求值证明 【例题6】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接、、，证明得到，再证明得到，据此可证明． 解：证明：如图所示，连接、、， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 解： 即 在和中， 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案． 解：连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 全等三角形的判定5：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 【题型7】利用全等三角形的判定——“斜边、直角边”求值证明 【例题7】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，为的高，为上一点，交于点，且有． 求证：． 证明：． 在和中， ． ． 上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程． 【答案】不正确．三角形全等的判定方法中没有“”．正确的证明过程见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明即可解答． 解：不正确．三角形全等的判定方法中没有“”．正确的证明过程： ， ． 在和中， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据题意得到，进行判定即可． 解：，， ， ， 在和中， ， ，故选项D正确； ， ，故选项A正确； ， ，故选项B正确； ，故选项C错误； 故选C． 【变式2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中， 于点，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等． 由题意证得即可求解． 解：，, ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 知识点（五）你对角的平分线有了哪些新的认识? 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 【题型8】利用角平分线的性质定理求值证明 【例题8】（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，是的角平分线，是延长线上一点，交于，交于．求证：点到和的距离相等． 【答案】见详解 【分析】本题考查角平分线性质，平行的性质，掌握相关知识是解题关键．因为是的角平分线，且，可得，即平分，由角平分线性质即可证明题目． 解：证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴点到和的距离相等． 【变式1】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，，O为，的平分线的交点，于E，且，则与之间的距离等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 过O作于N，交于M，得到，由角平分线的性质推出，，因此，即可得到答案． 解：过O作于N，交于M，如下图， ∵， ∴， ∵O为，的平分线的交点，于E， ∴， ∴． ∴与之间的距离等于4． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质． 解：延长，过点作于点，作于点，作于点， 的外角的平分线与内角平分线交于点， ，， ， 是的平分线， ∵， ∴， ∴， 平分，平分， ，， ，， ， ； 故答案为：． 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【题型9】利用角平分线的判定求值证明 【例题9】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图1，在四边形中，已知，，连接． （1）求证：平分； （2）点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 【答案】（1）见详解；（2）①②，理由见详解 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质等；掌握角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． （1）由角平分线的判定定理，即可得证； （2）①由直角三角形的特征得，，由角的和差得，即可求解； ②延长到E，使，连接，由判定，（），结合全等三角形的性质，即可求解． 解：（1）证明：， ， 是的平分线， 平分； （2）解：①，， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②， 理由如下： 延长到，使，连接， ， ，， （）， ，， ，， ， ， 即， ， （）， ， ， ． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（       ）　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义及判定、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立． 解：如图所示，连接， ， 是的平分线， ， ，①正确； ， ， 是的平分线， ， ， ，②正确； 只是过点，并没有固定，③无法确定； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）已知点是内一点，且点到三边、、的距离相等，连接、，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的性质，以及三角形的内角和定理．如图，由点O到三边、、的距离相等，可知，是三角形三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，利用三角形的内角和定理进行计算即可． 解：如图： ∵， ∴， ∵点O到三边、、的距离相等， ∴是三角形三条角平分线的交点， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 知识点（六）通过本章学习，你三角形全等几何模型有哪些了解？ 【题型10】一线三直（等）角模型 【例题10】（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． （1）如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； （2）如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； （3）点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】（1）点到直线的距离为1；（2）证明见分析；（3）或6． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 解：（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 【变式】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． （1）试说明：； （2）如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. （3）如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】（1）见分析；（2）成立，见分析；（3）8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 【题型11】截长补短与倍长中线模型 【例题11】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 解：（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 解：证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 解：（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 【题型12】手拉手与半角模型 【例题12】（24-25九年级下·全国·假期作业）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （2）【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；理由见分析；（2）；理由见分析；（3）；理由见分析 【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证，，三线共线，再证，进而证明，推出，可得； （2）在上取，连接，依次证明，，可得； （3）将绕点逆时针旋转得，先证，，三点共线，由（1）同理可得，进而可得． 解：（1）解：，理由如下： 由旋转的性质，可知，，，， 又正方形中，， ， ，，三线共线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图，在上取，连接， 在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3）解：,理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得， ，，， ， ， ，，三点共线， 由（1）同理可得， ． 【点拨】本题考查的知识点是旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线． 【变式1】（23-24八年级上·福建·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点拨】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【变式2】（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）60度；（3），见分析 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可． 解：（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 二．同步练习​ 【基础巩固（24题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形的对应角相等并结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 解：∵图中的两个三角形全等， ∴， 故选：D． 2．（2025·浙江台州·二模）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据，可以知道，再用邻补角定义求解即可． 解：如图 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∵， 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质与判定，证明是解题的关键．利用全等三角形的判定证出，得到，，可判断①；利用平行线的判定得到，可判断②；利用平行线的性质可判断③，即可得出结论． 解：在和中， ， ， ，故①正确；， ，故②正确；， ，故③正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③，共3个． 故选：D． 4．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，得到，即可求出的长． 解：， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直角边分别与边重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线，若，，则为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定．由垂线的定义可得和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据 “”可判定，进而得到，由即可得出答案． 解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是（    　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 7．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 8．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．35 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可． 解：如图所示，过点D作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接 与的角平分线交于点D， ， ∴ ∴， ， ∴， ∴点D到的距离为1， 故选：A． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 解：在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：C． 10．（24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 解：作于Z，于Y，于W，如图所示：    ∵平分，，， ∴， 同理， ∴，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，的平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当平分时，点B到桌面的距离是，则点B到的距离是 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质直接求出结论即可． 解：已知平分，点到的距离为， 根据角平分线的性质，点到的距离等于点到的距离， 所以点到的距离是． 故答案为：12． 12．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 解：∵在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，，．若，，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据全等三角形的性质，推出，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 解：， ， ，即， ． ， ． ， ， ． 故答案为40． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，一个直角三角板的一条直角边经过的顶点，一把直尺经过三角板的直角顶点并且与这条直角边垂直，直尺与的两边分别交于、，当时，与的数量关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定．根据可以证明，从而得结论． 解：由题意得， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的平分线交于点，，，点为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，构造辅助线是解题的关键．过点作于点．此时是点到直线的垂线段，根据“垂线段最短”， 的最小值等于的长度． 解：过点作于点．如图， ， 的平分线交于点，， ， 点为上一动点， 的最小值为的长，即的最小值是2， 故答案为：2． 16．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线定义理解，证明是解题的关键．证明，得出，即可得出答案． 解：∵，， ∴， ∵在中，是中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 17．（24-25七年级下·江西鹰潭·期末）如图，，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理， 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 18．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 【答案】66 【分析】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案． 解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 三、解答题 19．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，． （1）求证：： （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据题意推出，，即可求证； （2）根据题意推出结合，得；根据，即可求解； 解：（1）证明：∵， ∴，即； ∵． ∴， ∵A ∴； （2）解：∵， ∴； ∵ ∴ ∵， ∴； ∴， ∴ 20．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，C，E，F分别是直线上的三点，且，请提出对三条线段之间数量关系的合理猜想，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题考查平角，三角形的内角和，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由题意推出，再证，继而得答案． 解：．理由： ，， ，， ． 在和中， ． ，． ． 21．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长交于F，可证明，得到，；再证明，得到，则． 解：如图所示，延长交于F， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 22．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． （1）求证：； （2）求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 解：（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键． 23．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题主要考查了平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质． （1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明； （2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明． 解：（1）证明：在等腰直角三角形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：连接． 由平移的性质得． ∴， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1：①见分析 ；②；任务2：①90； ②． 【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 解：任务一： ①如图1中，即为所求； ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ②， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 【能力提升（24题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．9 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握，利用全等三角形的性质“全等三角形对应边相等”即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到，又，，因此，得到，即可得出结论． 解：证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，进而可知，即可得到的度数． 解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．过A作，交的延长线于E，证明，则，得到的面积的面积，则到四边形的面积的面积，即可求出答案． 解：过A作，交的延长线于E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在与中， ∴， ∴，的面积的面积， ∴四边形的面积的面积， 故选A． 5．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．利用全等三角形的判定推出，得到，，进而得到，得到，再利用即可求解． 解：，， ， 是的平分线， ， ，， ， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 6．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ） A．30 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．作于点，根据三角形的角平分线的性质定理求得，利用三角形的面积公式得到，再根据三角形的中线性质即可求解． 解：作于点， ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上中线， ∴， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，已知点在上，点在上，，且，若，，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据三角形的外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质计算即可． 解：∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点D是边的中点，，的平分线交于内一点P，连接．若，则 °． 【答案】/32度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，可利用证明得到，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得，据此计算求解即可． 解：∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于内一点P， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 13．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在和中，，，，下列结论：①；②；③；④.其中结论正确的是 .（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；证明，即可判断①②③，证明可得，即可判断④，即可求解． 解：∵在和中，，，， ∴ ∴，，故①正确 ∴，即故②③正确 ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴，而 ∴，故④不正确， 故答案为：①②③． 14．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 延长交于N，延长交于M，可证，有；同理可证明，有，再证明，则有；由即可求解． 解：如图，延长交于N，延长交于M， ∵， ∴； ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 同理可证明，有； 在与中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴ ． 故答案为：6． 16．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的平分线，，垂足为点是的边上的中线，，的面积为6，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，关键是由角平分线的性质推出，判定， 推出． 由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到的面积，求出，判定，推出，求出，得到，即可求出的面积． 解：∵， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴的面积的面积的面积， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 17．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；（3）作射线交直线于点；若，则 度． 【答案】58 【分析】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质.由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案． 解：由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题 19．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图所示，已知于 D． （1）已知，求的长． （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）3；（2）；理由见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，进而得到，即可得证． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 20．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）由可得，再根据全等三角形的判定定理得证； （2）由（1）可知，结合已知条件得到，利用三角形全等的性质即可得证． 解：（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 21．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据平角定义求得，再根据角平分线的定义推导，进而根据三角形的内角和定理求解即可； （2）在上截取，连接，先证明得到，，再证明，，进而证明得到，然后由可得结论． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【答案】（1），理由见分析；（2）；（3）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 解：（1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 23．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）将和按如图①方式摆放，已知，，点在线段上，延长交线段于点． （1）线段与之间的数量关系是___________； （2）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其余条件不变，如图②，求证：； （3）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且的延长线交线段于点，其余条件不变，如图③，（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）（2）中的结论不成立，，理由见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）连接，根据全等三角形的性质可得，可证明，即可解答； （2）连接，根据全等三角形的性质可得， ，可证明，可得，即可求证； （3）连接，根据全等三角形的性质可得， ，可证明，可得，即可解答． 解：（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：（2）中的结论不成立，，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见分析；（2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 解：（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 【中考真题11题】 一、单选题 1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 解：在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 解：∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 二、填空题 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 6．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．    【答案】/ 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可． 解：∵是的角平分线，，分别是和的高，， ∴， 又， ∴， 设点E到直线的距离为x， ∵， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 三、解答题 7．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 解：证明；在和中， ， ∴． 8．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 解：证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，进而根据即可证明． 解：证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴ 11．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见分析 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$