专题 13.4 三角形（ 全章知识梳理 +题型精析 + 同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 13.4 三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）三角形有关线段及分类 1 【题型1】三角形的概念 2 知识点（二）三角形的分类 2 【题型2】三角形的分类——按边分 2 【题型3】三角形的分类——按角分 3 知识点（三）三角形三边关系 3 【题型4】构成三角形三边关系 4 【题型5】确定三角形第三边取值范围 4 知识点（四）三角形中线、角平分线、高 4 【题型6】三角形中线 5 【题型7】三角形角平分线 5 【题型8】三角形的高 6 知识点（五）三角形的内角 7 【题型9】利用三角形内角和求值 7 【题型10】利用三角形内角和求值证明 8 知识点（六）三角形的外角 9 【题型11】利用三角形外角性质求值 9 【题型12】利用三角形内角和与外角性质综合求值证明 10 二．同步练习 11 【基础巩固（24题）】 11 【能力提升（24题）】 16 【中考真题10题】 21 一．知识梳理与题型分类精析 【全章知识结构图】 知识点（一）三角形有关线段及分类 定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 【题型1】三角形的概念 【例题1】（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． （1）图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． （2）图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 知识点（二）三角形的分类 【题型2】三角形的分类——按边分 【例题2】（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·山东威海·期中）设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为 ． 【题型3】三角形的分类——按角分 【例题3】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： （1）图中有几个直角三角形？ （2）和是什么关系？为什么？ （3）若，那么和各是多少度？ 【变式1】（2024七年级下·上海·专题练习）已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么按角分类应是 三角形． 【变式2】（23-24七年级下·上海静安·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 知识点（三）三角形三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第在边 ；； 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 ；； 【题型4】构成三角形三边关系 【例题4】（23-24七年级上·浙江金华·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12cm和9cm两部分，求等腰三角形的底边长． 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【变式2】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【题型5】确定三角形第三边取值范围 【例题5】（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）已知一个三角形的三边长分别为，化简：． 【变式1】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 知识点（四）三角形中线、角平分线、高 1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高. 2.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线； 3.三角形的角平分线：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 【题型6】三角形中线 【例题6】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 【变式1】（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（    ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，中，点D是的中点，，且的面积为8．则阴影部分的面积是 ． 【题型7】三角形角平分线 【例题7】（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，已知直线、相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）过点作，为上异于点的一点．连接．则线段与的大小关系为：_____（填如图“”、“”、“”），理由为：_____． 【变式1】（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图， 直线与相交于点O， 射线在内部， 且于点O．若平分， 则的度数为 【题型8】三角形的高 【例题8】（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，是中线，是高，且，，． （1）_____； （2）求和的周长差． 【变式1】（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 知识点（五）三角形的内角 三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°. 【题型9】利用三角形内角和求值 【例题9】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． （1）请说明：； （2）若，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在三角形中，点在上，连接，平分交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 【题型10】利用三角形内角和求值证明 【例题10】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． （1）求证：； （2）求证：． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，平分． （1）求证：； （2）若平分，与互补，，求． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、． （1），，求的度数； （2）求证：． 知识点（六）三角形的外角 1.三角角外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角； 2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 【题型11】利用三角形外角性质求值 【例题11】（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，的平分线和外角的平分线交于点，请将下面对求解“与关系”的过程补充完整． 解：∵分别平分、， （________________________） 为的外角， _______（________________________） （等量代换） _________（等式的基本性质）① 又为的外角， （三角形外角的性质）② 由①②可知：_______． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，，则不可能是的度数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为 ． 【题型12】利用三角形内角和与外角性质综合求值证明 【例题12】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小． （2）若的面积为30，，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，点D、E分别在边、上，、相交于点F，，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知中，，是边上一点（不与点，点重合）． （1）如图1，若是的高，是的角平分线．求证，； （2）如图2，若，，与的平分线相交于点． ①依题意补全图形； ②试用等式表示与之间的数量关系，并证明． 二．同步练习 【基础巩固（24题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”下面图形可以说明亮亮的说法是错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）下列长度的各种线段，可以组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．1，5，6 C．3，3，6 D．1，5，5 3．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，是高，是的中点，的面积与的面积相等，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图摆放一副三角尺，，点E在上，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，是上一点．连接．则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，，， ，三角形按角分是 三角形，按边分是 三角形． 10．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米，如果需要想象的话，可以将之视为200层的高楼．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 11．（24-25七年级下·北京·期末）已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为（是整数），则最大为 ． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 13．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一块面积为的三角形纸板，其中点分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ． 14．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，则 °. 15．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点D在上，且，则的度数为 ． 16．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是由两个直角三角板摆放得到的图形，图中的度数为 ． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交、、的延长线于点、、，若，则 18．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，D是内一点，连接、、，P是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点Q，若，，则的度数为 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知中，，，且为奇数． （1）求的周长． （2）判断的形状，并说明理由． 20．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 21．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）如图，在三角形中，点是的中点． （1）作于点、于点（作出图形，不写作法）； （2）和有怎样的位置和数量关系？为什么？ 22．（24-25七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 23．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、． （1）若，，则________． （2）猜想与的关系，并说明理由． （3）在线段上取一点，使得，连接，判断与的位置关系，并说明理由． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，点A，B分别在射线，上移动（不与点O重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点C． （1）如图①，若，试猜想的度数，并直接写出结果； （2）如图②，若，问：当点A，B在射线，上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 【能力提升（24题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 4．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知中，，平分，，为上一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知的三边长分别为，，，化简 ． 11．（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）中国古代会把直角三角形的两条直角边叫做“勾、股”，把斜边叫做“弦”，已知有一个周长为的直角三角形，它的勾：股：弦，那么它的股是 cm，弦上的高是 cm． 12．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）在中，，高、所在的直线相交于点，则 ． 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，E是线段上一点，连接，的平分线与的平分线交于点F．已知，则的度数为 ． 14．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使 ，则应 （填“调大”或“调小”） 度． 15．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    16．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ． 17．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 18．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 三、解答题 19．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线交于点O，分别平分和，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的三边长是． （1）若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； （2）化简． 21．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，平分，P为线段上的一个动点，交直线于E，其夹角记为． （1）如图，，求的度数； （2）探究与的数量关系． 22．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，点在的延长线上，． （1）求证：； （2）平分，点在线段上，若，，求的度数． 23．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，，点E在上，平分，连接．已知． （1）求的度数． （2）的角平分线分别与的延长线，相交于点F，G，H．求的值． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． （1）已知，． ① ； ②若，则 ； （2）如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（　　）    A． B． C． D． 3．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 9．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 10．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 13.4 三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）三角形有关线段及分类 2 【题型1】三角形的概念 2 知识点（二）三角形的分类 3 【题型2】三角形的分类——按边分 3 【题型3】三角形的分类——按角分 4 知识点（三）三角形三边关系 6 【题型4】构成三角形三边关系 7 【题型5】确定三角形第三边取值范围 8 知识点（四）三角形中线、角平分线、高 10 【题型6】三角形中线 10 【题型7】三角形角平分线 12 【题型8】三角形的高 14 知识点（五）三角形的内角 17 【题型9】利用三角形内角和求值 17 【题型10】利用三角形内角和求值证明 19 知识点（六）三角形的外角 22 【题型11】利用三角形外角性质求值 22 【题型12】利用三角形内角和与外角性质综合求值证明 25 二．同步练习 28 【基础巩固（16题）】 28 【能力提升（24题）】 43 【中考真题10题】 63 一．知识梳理与题型分类精析 【全章知识结构图】 知识点（一）三角形有关线段及分类 定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 【题型1】三角形的概念 【例题1】（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． （1）图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． （2）图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】（1）2个；；（2）2个；， 【分析】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可； （2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即可 解：（1）解：以线段为边的三角形有2个，分别为，． （2）解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为，． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 解：以为边的三角形有，共3个， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 解：在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 知识点（二）三角形的分类 【题型2】三角形的分类——按边分 【例题2】（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【答案】为等腰三角形 【分析】本题考查非负性和三角形的分类，根据非负性求出的值，进而判断出的形状即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 【变式2】（22-23八年级上·山东威海·期中）设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为 ． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查了完全公式公式、平方差公式的应用，等式的性质，先整理，得出，结合、、是三角形的三边长，得出，即可作答． 解：∵ ∴ ∴ 则 ∵、、是三角形的三边长， ∴ ∴ ∴此三角形的形状为等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 【题型3】三角形的分类——按角分 【例题3】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： （1）图中有几个直角三角形？ （2）和是什么关系？为什么？ （3）若，那么和各是多少度？ 【答案】（1）4个；（2），见分析；（3）， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 解：（1）解：，， ， 是直角三角形， 图中有4个直角三角形,； （2）解：由（1） 知是直角三角形， ， ； （3）解：，， ， ， ． 【变式1】（2024七年级下·上海·专题练习）已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么按角分类应是 三角形． 【答案】锐角三角形 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，注意结合方程思想解题，难度适中．设一个角为，则两外两个角为，，，根据三角形的内角和定理可列出方程，从而可得出各角的度数，继而可得出答案． 解：设一个的度数为，则两外两个角为，， 则：， 解得：，即可得三角分别为，，， 故答案为：锐角三角形． 【变式2】（23-24七年级下·上海静安·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案． 解：A、当，，时，满足，但不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； B、，，，，则为直角三角形，故原说法错误，不符合题意； C、若，则为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意； D、若，，满足且，则，故不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 知识点（三）三角形三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第在边 ；； 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 ；； 【题型4】构成三角形三边关系 【例题4】（23-24七年级上·浙江金华·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12cm和9cm两部分，求等腰三角形的底边长． 【答案】底边长或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线以及三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形中线的定义以及三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．本题画出图形，分两种情况进行讨论求出底边长度，再根据三角形三边之间的关系去验证能否构成三角形即可． 解：如图：为等腰三角形，，为边上的中线， 设， ∵，为边上的中线， ∴，， ①当，时， ，解得：， ∴，解得：， 此时，． ∵， ∴能构成三角形．此时底边为， ②当，时， ，解得：， ∴，解得：， 此时，． ∵， ∴能构成三角形． 综上：等腰三角形的底边长或． 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断． 解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 解：以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 【题型5】确定三角形第三边取值范围 【例题5】（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）已知一个三角形的三边长分别为，化简：． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系判断a的取值范围，再化简求值． 解：由题意得：， 解得：， ∴ 【点拨】本题考查了算术平方根的非负性质、化简绝对值及三角形三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 解：， ，， ，， 又∵c为最长边 ， 故选：C． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 解：由三角形三边关系定理得， 解得． ∴． 故答案为：8 知识点（四）三角形中线、角平分线、高 1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高. 2.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线； 3.三角形的角平分线：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 【题型6】三角形中线 【例题6】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了三角形的中线三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，以及构造二元一次方程组解决问题． 根据中线的定义得到，再根据周长之差化简可得，结合已知计算即可，然后根据的周长为，且，得到，再构造二元一次方程组求解即可． 解：是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵的周长为，且， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为． 【变式1】（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（    ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 【答案】A 【分析】连接，根据等边三角形的性质得到是的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可． 解：连接，    是等边三角形，是的中点， 是的垂直平分线， ， 的周长， 当、、在同一直线上时， 的周长最小， 为中线， 点为的重心， 故选：A． 【点拨】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，中，点D是的中点，，且的面积为8．则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 根据题意可知：是阴影部分的面积的3倍，的面积是的面积的2倍，依此可求解． 解：点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，， 故答案为： 【题型7】三角形角平分线 【例题7】（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，已知直线、相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）过点作，为上异于点的一点．连接．则线段与的大小关系为：_____（填如图“”、“”、“”），理由为：_____． 【答案】（1）；（2）；垂线段最短 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角的性质以及垂线段的性质．解题的关键是熟练运用角平分线分得两个角相等、对顶角相等的性质求解角度，利用垂线段最短的性质判断线段的大小关系． （1）根据“角平分线定义”与“对顶角相等”即可求解； （2）根据“垂线段最短”即可判定 解：（1）因为平分，且，根据角平分线的定义，可知 ． 又因为直线 和相交于点O，与是对顶角，根据对顶角相等， 可得． （2）因为，所以是点N到直线的垂线段．而M是上异于点O的一点，是点N到直线上点 M（异于点O） 的斜线长．根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可知 故答案为：；垂线段最短． 【变式1】（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图， 直线与相交于点O， 射线在内部， 且于点O．若平分， 则的度数为 【答案】/135度 【分析】本题考查了垂直的性质、角平分线的定义以及对顶角的性质，解题的关键是利用这些性质逐步推导出各个角的度数，进而求出的度数． 解：∵， ∴， 由于 平分 ， 所以， ∴， ∵且 ∴． 【题型8】三角形的高 【例题8】（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，是中线，是高，且，，． （1）_____； （2）求和的周长差． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，所以可直接得出的值． （2）的周长为，的周长为，因为，所以周长差为，再根据三角形面积公式求出的长度，进而求出周长差． 本题主要考查了三角形中线和高的性质，熟练掌握中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 解：（1）解： ∵BE是中线 ∴ ∵ ∴ 故答案为： （2）解：∵BE是中线 ∴ ∵， ∴ ∵AD是高，， ∴ 即 解得 ∵ ∴ 【变式1】（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质（中点分三角形为面积相等的两部分）、点到直线的最短距离（垂线段）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度． 由D是中点，得利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值． 解：的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）． ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半． 已知，则． 又∵，（h为点D到的距离）， 即，解得：， ∴的最小值为． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 解：在中，于点，，如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 知识点（五）三角形的内角 三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°. 【题型9】利用三角形内角和求值 【例题9】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． （1）请说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是通过角的等量关系推导线线平行，并利用垂直关系和角度和差计算角度． （1）利用角平分线得角相等，结合已知角相等推出内错角相等，证明平行． （2）由垂直得直角，结合已知角度求，再用三角形内角和求． 解：（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在三角形中，点在上，连接，平分交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题意易证，推出，由得到，求出，结合，利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，由即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理，得，根据对顶角相等，高线的定义，得，继而得到，得到，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，高线的意义，角的平分线的定义，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键． 解：由，， 根据三角形内角和定理，得， 根据对顶角相等，高线的定义，得， 继而得到， 故， 故． 故答案为：． 【题型10】利用三角形内角和求值证明 【例题10】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． （1）求证：；（2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线定义得，进而即可得证； （2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵分别平分和 ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，平分． （1）求证：； （2）若平分，与互补，，求． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，补角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关系． （1）由角平分线的定义和已知条件可证明，则可证明； （2）由角平分线的定义得到，设，则，可得，进而得到，再由补角的定义得到，解方程即可得到答案． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 设，则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、． （1），，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是． （1）由三角形内角和定理求出，得到； （2）由三角形内角和定理得到，，即可证明． 解：（1）解：， ， ； （2）证明：， ， ， ． 知识点（六）三角形的外角 1.三角角外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角； 2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 【题型11】利用三角形外角性质求值 【例题11】（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，的平分线和外角的平分线交于点，请将下面对求解“与关系”的过程补充完整． 解：∵分别平分、， （________________________） 为的外角， _______（________________________） （等量代换） _________（等式的基本性质）① 又为的外角， （三角形外角的性质）② 由①②可知：_______． 【答案】角平分线的定义，，三角形外角的性质，， 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角性质，由角平分线的定义得，由三角形外角的性质得，进而等量代换可得，又由即可求解，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 解：∵分别平分、， （角平分线的定义）， 为的外角， （三角形外角的性质） （等量代换） （等式的基本性质）① 又为的外角， （三角形外角的性质）② 由①②可知：， 故答案为：角平分线的定义，，三角形外角的性质，，． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，，则不可能是的度数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考试三角形的内角和，三角形外角的性质，掌握三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角是解题的关键．设，则，根据即可列出不等式，求出的取值范围，即可解答． 解：设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的度数不可能是． 故选：A 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，根据角平分线的定义和外角的性质，得的度数，最后根据三角形的外角性质可得的度数． 解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型12】利用三角形内角和与外角性质综合求值证明 【例题12】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小． （2）若的面积为30，，求的长． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形的中线，角平分线和高，关键由三角形的外角性质得到． （1）由三角形的外角性质得到，由角平分线定义得到； （2）由三角形的中线等于得到，由三角形的面积公式得到的面积，求出． 解：（1）∵，，， ∴， ∵平分， ∴； （2）∵为中线，， ∴， ∵， ∴的面积， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，点D、E分别在边、上，、相交于点F，，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，准确识别图形是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得出，从而求出的度数； （2）根据三角形内角和定理即可求出的度数． 解：（1）解：； （2）解：∵， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知中，，是边上一点（不与点，点重合）． （1）如图1，若是的高，是的角平分线．求证，； （2）如图2，若，，与的平分线相交于点． ①依题意补全图形； ②试用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）详见分析；（2）①图见分析；②，证明见分析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）先根据同角的余角相等证得，再根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出，根据角的和差关系得出，问题即可得解；   （2）①根据题意画出图形即可；   ②设，，分别求出、、的度数，然后根据三角形内角和定理分别求出、的度数，问题即可得解． 解：（1）证明：是的高， ． ． ， ． ． 是的角平分线， ． 是的外角， ． ， （2）解：①补图如图示 ②答：． 证明：设，． 平分， ． ， ． ． ． 平分， ． 在中， ． 在中， ． ． ． 即． 二．同步练习 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”下面图形可以说明亮亮的说法是错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三个内角，亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”要想说明亮亮的说法错误，需要用锐角三角形说明． 解：A选项：直角三角形有一个直角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故A选项不符合题意； B选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故B选项不符合题意； C选项：锐角三角形的三个角都是锐角，能说明亮亮的说法错误，故C选项符合题意； D选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）下列长度的各种线段，可以组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．1，5，6 C．3，3，6 D．1，5，5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键． 解：A、，不可以组成一个三角形三边，不符合题意； B、，不可以组成一个三角形三边，不符合题意； C、，不可以组成一个三角形三边，不符合题意； D、，可以组成一个三角形三边，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，是高，是的中点，的面积与的面积相等，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查三角形中线的性质，根据三角形中线性质得到的面积与的面积相等，由此推出的面积的面积，得到，即可求出的长． 解：∵D是的中点， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积与的面积相等， ∴的面积的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可. 解：∵ 为直角三角形，直角边，， ∴ ∵设点 到的距离为， ∴ ∴，解得： 故选：C. 5．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图摆放一副三角尺，，点E在上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质．根据三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，问题随之得解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 6．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 8．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，是上一点．连接．则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查三角形的外角问题，关键是根据三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角解答．根据三角形的外角性质进行解答即可． 解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 故选：D． 二、填空题 9．（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，，， ，三角形按角分是 三角形，按边分是 三角形． 【答案】 锐角 等边 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的分类，根据等边三角形的定义和三角形的分类解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：①∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ②三角形按角分是锐角三角形， ③按边分是等边三角形， 故答案为：，锐角，等边． 10．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米，如果需要想象的话，可以将之视为200层的高楼．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性作答即可． 解：由题意知，蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 11．（24-25七年级下·北京·期末）已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为（是整数），则最大为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据题意得出的范围，进而根据是整数，求得最大整数解，即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 解：∵三角形的两边长分别是和，若第三边的长为， ∴， ∴， ∵是整数， ∴最大为， 故答案为：． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形的高的特征．分两种情况讨论求解即可：①当D在线段上时，②当D在线段的延长线上时． 解：①当D在线段上时，如图1，； ②当D在线段的延长线上时，如图2，． 故答案为：或． 13．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一块面积为的三角形纸板，其中点分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案． 解：连接， ∵点D、E、F分别是线段的中点 ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，则 °. 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，理解三角形内角和定理、三角形高和角平分线的定义，准确推理计算是解题的关键． 根据三角形高和角平分线的定义、三角形内角和定理，先求出、的度数，再计算即可． 解：∵， ∴ 在中，是高，是角平分线， ∴，， ∴． 故答案为： 15．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点D在上，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据三角形的内角和定理，求出，再根据是的角平分线，得，最后根据平行线的性质即可求解． 解：在中，，， ， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是由两个直角三角板摆放得到的图形，图中的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查三角板中的角度计算，三角形外角的性质，如图可得，然后将角的度数代入计算即可．解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 解：∵如图是由两个直角三角板摆放得到的图形， ∴， ∴， 即图中的度数为． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交、、的延长线于点、、，若，则 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质． 由是的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和为，即可求出的度数． 解：是的外角， ． 在中，， ． 故答案为：． 18．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，D是内一点，连接、、，P是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点Q，若，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设，表示出，于是，由可推出，根据求得的值，进一步得出结果． 解：如图所示： 设的延长线交于，，则， ， ， 平分， ， ， 在中，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知中，，，且为奇数． （1）求的周长． （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）16；（2）等腰三角形，理由见分析 【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和． （1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据ACAC为奇数，确定的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形． 解：（1）解：在中，根据三角形三边关系得： 即． 是奇数 ． 的周长为16． （2）解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， 为等腰三角形． 20．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 解：证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 21．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）如图，在三角形中，点是的中点． （1）作于点、于点（作出图形，不写作法）； （2）和有怎样的位置和数量关系？为什么？ 【答案】（1）见分析；（2），，见分析 【分析】本题考查了作垂线，平行线的判定，三角形中线等分面积等知识点，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据作垂线的方法即可作图； （2）根据同位角相等，两直线平行即可得到，再由中线等分面积得到，再由三角形面积公式即可求解． 解：（1）解：如图，垂线即为所求： （2）解：，，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 解：（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 23．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、． （1）若，，则________． （2）猜想与的关系，并说明理由． （3）在线段上取一点，使得，连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定， 对于（1），根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出答案； 对于（2），根据三角形内角和定理可得答案； 对于（3），根据三角形内角和定理可得，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案． 解：（1）解：在中，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：； （2）解：． 理由如下： ∵，， ∴， 即； （3）解：． 理由如下： ∵， ∴， ∴． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，点A，B分别在射线，上移动（不与点O重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点C． （1）如图①，若，试猜想的度数，并直接写出结果； （2）如图②，若，问：当点A，B在射线，上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不变， 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．通过知识的综合运用，帮助探究出点A、B运动过程中的度数变化规律． （1）根据题意，研究当时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是利用角平分线性质转化角的关系，结合三角形内角和定理推导． （2）本题需探究当且平分时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是通过角平分线性质和邻补角关系，建立与的直接联系． 解：（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴． 【能力提升（24题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据在中，，可求出各角的度数，进而得出结论． 解：∵在中，，， ∴， 解得， ∴， ∴是锐角三角形． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．同时注意三角形的三边关系． 解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形． 故选：C． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 解：的周长为45， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 4．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质（中点分三角形为面积相等的两部分）、点到直线的最短距离（垂线段）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度． 由D是中点，得利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值． 解：的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）． ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半． 已知，则． 又∵，（h为点D到的距离）， 即，解得：， ∴的最小值为． 故选：A． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知中，，平分，，为上一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角平分线的性质求出和的度数，再利用直角三角形的性质求出的度数，接着根据平行线的性质求出的度数，最后求出的度数．本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 解：平分， 故选：． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得，在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线定义得，，进而可求得．本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键． 解：∵中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， 在中，， ∵，的平分线交于点， ∴平分， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 7．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，由平分，平分，则，，通过三角形内角和定理可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是关键． 过点F作，由得，，即可解答． 解：过点F作，如图 ∴， ∵，的平分线与的平分线交于点E ∴，，， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选B． 二、填空题 9．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 【答案】 2/两 或 【分析】此题考查了点到直线的距离、三角形的定义等知识．根据垂线段最短进行解答即可． 解：①∵点A到射线的距离是2，设的长为d． ∴当时，， ∴能作出2个； 故答案为：2 ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是或， 故答案为：或 10．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知的三边长分别为，，，化简 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，整式的加减，正确得出的取值范围是解题关键．利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 解：因为的三边长分别为，，， 所以． 解得． ∴，， ∴． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）中国古代会把直角三角形的两条直角边叫做“勾、股”，把斜边叫做“弦”，已知有一个周长为的直角三角形，它的勾：股：弦，那么它的股是 cm，弦上的高是 cm． 【答案】 【分析】本题考查知识迁移，三角形的周长与面积，一元一次方程，理解题意是解题的关键． 设它的股是，则它的勾为，弦为，根据三角形的周长为，列出方程，求出x的值，再根据三角形的面积公式，即可解答． 解：设它的股是，则它的勾为，弦为，依题意，得 ， 解得， ∴ 设弦上的高是，根据三角形的面积公式，得 ， 解得． 故答案为：，． 12．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）在中，，高、所在的直线相交于点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理以及对顶角相等，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 本题中因为“高、所在的直线相交于点O，且点E、F不与点B、C重合”排除了三角形是直角三角形的可能，所以要分两种情况讨论，当交点在三角形内部时，当交点在三角形外部时，求证即可． 解：本题要分两种情况讨论如图： ①当交点在三角形内部时（如图1）， 在四边形中，， 根据四边形内角和等于得，． 故． ②当交点在三角形外部时（如图2）， 在中，， 故， ∵， 在中，， ∴，即． 故答案为：或． 13．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，E是线段上一点，连接，的平分线与的平分线交于点F．已知，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键． 过点F作，根据平行线的性质可得，可得，由角平分线的定义结合得，，再根据平行线的性质得，最后利用三角形的内角和定理即可求解． 解：过点F作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点F．， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使 ，则应 （填“调大”或“调小”） 度． 【答案】 调小 10 【分析】本题考查了三角形内角和的度数以及对顶角相等，灵活运用所学知识是解题关键． 连接，在中，求出，然后在中，求出，即可求解． 解：连接，如图所示，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴应调小； 故答案为：调小，10． 15．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】或 【分析】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，    ∵， ∴； ②当时，如图2，    ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 16．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设的交点为M，延长交于点N，根据，得，代入解答即可． 解：设的交点为M，延长交于点N， ∵，的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 由由折叠的性质和平行线的性质即可解答题目． 解：，， ，， 由折叠可得，， ， 故答案为：60． 18．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识． 根据三角形外角的性质及角平分线的性质逐步计算，即可解答． 解：在中，，有 ∵外角和的角平分线交与点， ∴， ∴． ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 同理可得 ， ∴． 故答案为：，． 三、解答题 19．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线交于点O，分别平分和，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了角平分线的定义、垂直的判定、平行线的判定与性质以及角度的计算．解题的关键是熟练运用相关几何性质，通过角之间的关系建立等式求解． （1）根据角平分线性质表示出相关角，再利用平角为推导出为，从而判定． （2）由等角对等边判定结合平行线性质和角平分线定义得到角之间的倍数关系，再根据已知角度关系列方程求出，最后结合 的度数求出． 解：（1）证明：∵分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的三边长是． （1）若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； （2）化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 解：（1）解：的三边长是，， ，， ， 的周长是小于的偶数， ，即， ； （2）解：的三边三边长是a，b，c， ， 原式 ． 21．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，平分，P为线段上的一个动点，交直线于E，其夹角记为． （1）如图，，求的度数； （2）探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的内角和求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）设，，根据三角形的内角和定理，三角形的外角和角平分线的定义，推出即可． 解：（1）解：在中，， ∵平分， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，点在的延长线上，． （1）求证：； （2）平分，点在线段上，若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟记平行线的判定与性质． （1）根据平行线的判定与性质即可证出； （2）利用“两直线平行，内错角相等”，可得出，结合角平分线定义、三角形内角和定理求出，，再根据角的和差及三角形外角性质求解即可． 解：（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 23．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，，点E在上，平分，连接．已知． （1）求的度数． （2）的角平分线分别与的延长线，相交于点F，G，H．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． （1）设，根据角平分线的定义得，根据平行线的性质和三角形的内角和定理推导出，进而利用角的和差求解即可； （2）设，利用角平分线的定义可得，利用三角形的内角和定理推导出，，进而可得结论． 解：（1）解：设， 平分， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； （2）解：设， 平分， ∴， 在中，， 由可知：， ， ， 在中，， ． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． （1）已知，． ① ； ②若，则 ； （2）如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】（1）①；②；（2），理由见分析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 解：（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见分析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 解：A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可求，再由，即可求解． 解：， ， ， ， ． 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 3．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 5．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 解：如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 6．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 7．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 二、填空题 8．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 9．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． 10．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 【答案】43 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$