大招专题4 二次函数图象中的交点问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦二次函数图象与交点问题，涵盖抛物线表达式求解、与直线交点个数判定、对称及平移后抛物线与直线交点分类等核心知识点。通过母题引入顶点式求表达式、判别式求交点等基础内容，以“确定图形找临界状态”“端点值代入法”为学习支架，衔接二次函数性质与方程思想，帮助学生逐步掌握综合应用。 其亮点在于“母题学大招-子题练变式”分层设计，结合几何直观（数学眼光）分析图形临界状态，通过推理能力（数学思维）推导交点条件，以规范解题步骤（数学语言）呈现模型。例如母题中对称抛物线与直线交点的三类情况分析，子题中平移抛物线与线段交点的分类讨论，助力学生发展抽象能力与创新意识，教师可利用同步分层练习提升教学效率。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二章 二次函数 大招专题4 二次函数图象中的交点问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招11 确定图形找临界状态 1.［较难］如图,已知抛物线的顶点为，与轴的交点为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 （1）请直接写出 的表达式； 【解】的表达式为 抛物线的顶点为， 设抛物线 的表达式为.把代入得 ， ， 抛物线的表达式为，即 . （2）若直线与有唯一的交点，求 的值； 【解】由得 . 直线与 有唯一的交点， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （3）若抛物线关于轴对称的抛物线记作，平行于轴的直线记作 .试结 合图形回答：当为何值时，与和 共有：①两个交点?②三个交点?③四个交点? 【解】 抛物线关于轴对称的抛物线记作， 抛物线的顶点坐标为 ， 与轴的交点为， 抛物线的表达式为 . ①当直线过抛物线的顶点和抛物线的顶点，即时，与 和 共有两个交点. ②当直线过，即时，与和 共有三个交点. ③当或时，与和 共有四个交点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 大招解读确定图形找临界状态 （1）根据已知条件画出确定的图形. （2）将直线在坐标系中上下平移，找到符合题意的临界位置. （3）联立直线和抛物线的表达式得一元二次方程,利用 求解. （4）临界位置之间的部分即为满足题意的部分. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 子题练变式 与平行于坐标轴的直线的交点问题 2.【2025山东临沂期中，中】如图，已知抛物线和线段 ，点 和点的坐标分别为，，将抛物线向上平移 个单位长度后与 线段仅有一个交点，则 的取值范围是__________________. 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 【解析】，将抛物线向上平移 个单位 长度后得到的抛物线的表达式为 .当抛物线顶点恰好平移到 线段上时，，解得.当平移后的抛物线经过点 时， ，解得，此时关于对称轴直线 对称的点的 坐标为，在线段上，不符合题意.当平移后的抛物线经过点 时， ，解得，此时关于对称轴直线 对称的点 的坐标为，不在线段 上，符合题意.结合图象可知，平移后的抛物线与 线段仅有一个交点时，或.故答案为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 刷有所得 此类型题采用数形结合思想，结合图形，找出临界位置可得答案. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 子题练变式 与一次函数图象的交点问题 3.［较难］在平面直角坐标系中，已知抛物线，将 向右平移4 个单位长度，得到抛物线，过点作轴的垂线，交于点，交 于点 ，为与 的纵坐标中的较小值（若二者相等，则任取其一），将所有这样的 点组成的图形记为图形.若直线与图形恰好有4个交点，则 的取 值范围是( ) A A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 【解析】 抛物线，将向右平移4个单位长度，得到抛物线， 抛物线的表达式为 . 联立得解得 两抛物线的交点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 由题意得图形 如图所示. 把代入，得，解得 .当直线 与只有一个交点时， ，即 有两个相等的实数根， ，解得. 直线 与图形恰好有4个交点， 结合图形可知， .故选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 思路分析 由已知求得平移后的抛物线的表达式，两表达式联立，求得交点坐标为 ，由 题意画出图形 ，再运用数形结合思想解题即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 母题学大招12 端点值代入法 4.【2025江苏泰州质检，中】二次函数的图象经过点 和 ，直线上有一点，将点向右平移4个单位长度，得到点 ，若 抛物线与线段只有一个公共点，求 的取值范围． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 【解】设直线的表达式为.把点和 代入得 解得 直线的表达式为.把代入，得 ， ，由平移得 二次函数的图象经过点 和,解得 .①当 时，若抛物线与线段 只有一个公共点，如图（1），则抛物线上的点 在点的下方，，解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 ②当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段 只有一个公共点， 如图（2）,,即，解得 （舍去）或 . 综上，的取值范围是或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 大招解读端点值代入法 （1）联立抛物线和线段所在直线的表达式得到一元二次方程； 图（1） （2）抛物线与线段仅有一个交点 时： 情况1：如图（1）,满足条件且 . 情况2：如图（2）,满足条件且时，；时， . 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 图（3） 情况3：如图（3）,满足条件且时，；时， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 子题练变式 5.【2025河北唐山期中，中】在平面直角坐标系中，已知二次函数 ，点，.若二次函数 的图 象与线段有两个不同的交点，则 的取值范围为_ __________________． 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【解析】①如图（1），当 时，抛物线对称轴为直线 ,时， ， 解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 ②如图（2），当时， 点， ，设直线 的表达式为，解得 直 线的表达式为.令 ，整理 得 二次函数 的图象与 线段有两个不同的交点，，且 时， ， . 综上,的取值范围为或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 $