2.2.5 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 课件2024-2025学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质，通过配方法或公式法转化顶点式，衔接前期简单二次函数知识，以学习支架形式构建从已知到未知的脉络，明确重点难点，助力学生系统掌握。 其亮点在于结合火箭高度等实例培养数学眼光，通过配方法训练运算能力与推理意识，用表格对比和例题变式强化模型意识。如例4联系实际问题，知识点二系数关系判断提升几何直观，帮助学生夯实基础，教师教学更高效。

2.2.5 二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质 情境引入 学习目标 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点） 知识点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质： 2. 如图，已知二次函数y＝－x2＋2x. (1)开口________； (2)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式为_______________； (3)对称轴是_________________； (4)顶点坐标是_____________； (5)当x＝______时，函数取得最______值，最大值为_____； (6)当x_____时，y随x的增大而减小； 当x________时，y随x的增大而增大． 向下 y＝－(x－1)2＋1 直线x＝1 (1，1) 1 大 1 >1 <1 知识点二：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系 3. (1)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小； (2)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置； (3)常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于点(0，c). 4. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)的图象如图所示，则下列判断正确的是( ) A.a>0，b<0，c<0 B．a>0，b>0，c<0 C．a>0，b>0，c>0 D．a<0，b>0，c<0 B 【典例导引】 5. 【例1】求函数y＝2x2－4x＋1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的最大值或最小值. 解：y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1， ∵a＝2＜0， ∴该函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)， ∴y有最小值，当x＝1时，y的最小值为－1 【变式训练】 6. 已知二次函数y＝3x2＋6x，写出此函数图象的开口方向及对称轴并判断点P(1，10)是否在此二次函数的图象上． 解：∵y＝3x2＋6x＝3(x＋1)2－3， ∴此函数图象的开口向上、对称轴是直线x＝－1， ∵当x＝1时，y＝3x2＋6x＝3×12＋6×1＝9≠10， ∴点P(1，10)不在此二次函数的图象上 7. 【例2】已知点(－1，y1)，(－4，y2)在二次函数y＝x2＋4x－m的图象上，则y1，y2的大小关系是：y1______y2. ＜ 8. 若点A(－1，y1)和点B(m，y2)在抛物线y＝x2＋4x＋1上，且y1＜y2，则m的取值范圈是_________________________． m＜－3或m＞－1 9. 【例3】抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列判断中不正确的是( ) A.a<0 B．b<0 C．c>0 D．a＋b＋c<0 D 10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，其对称轴为x＝－1，给出下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④a－b＋c＜0，其中正确的结论是__________(只填序号). ③④ 11. 【例4】当火箭被竖直向上发射后，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋160t＋10表示．经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？ 解：∵h＝－5t2＋160t＋10＝－5(t－16)2＋1 290， ∴当t＝16时，h的最大值是1 290， 即经过16 s，火箭达到最大高度，最大高度为1 290米 1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 要点归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 (1) x y O 如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大；当x= 时，函数达到最小值，最小值为 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 (2) x y O 如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小;当x= 时，函数达到最大值，最大值为 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 要点归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( ) D 当堂练习 19 2.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值： 直线x=3 直线x=8 直线x=1.25 直线x= 0.5 最小值-5 最大值1 最小值 最大值 20 O y x –1 –2 3 3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b同号； （2）当x= –1和x=3时，函数值相等； （3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 . 直线x=1 （2） 21 4.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则(　　) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 解析：y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝(x－ )2＋ .将y＝(x－ )2＋ 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y＝x2＋bx＋c.则y＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋ ，化简后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A. A 5.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ） A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x=-1 B 23 6.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜-1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 D 课堂小结 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) $$