精品解析：甘肃省临夏州2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试卷

临夏州2024—2025学年度春季学期期末质量监测 高二数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案. 【详解】， ，解得. 故选：B. 2. 已知空间向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的数量积性质即可解出的值. 【详解】由，有， 则， 即，解得. 故选：C. 3. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得计算求解即可. 【详解】由题可得. 故选：A 4. 已知10个成对数据的散点图如图所示，并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 相关系数变大 B. 变量与的线性相关程度变低 C. 相关系数变小 D. 变量与呈负相关 【答案】A 【解析】 【分析】根据数据的散点图，结合回归系数概念与含义，逐项判定，即可求解. 【详解】去掉点后，散点图中点的分布更接近一条直线，因此变量与的线性相关程度变强，故选项B错误； 由散点图，点的分布从左下角到右上角，故变量与呈正相关，故选项D错误； 因为变量与呈正相关，且相关性变强，所以相关系数变大，故A正确，C错误. 故选：A. 5. 某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 a 25 28 35 已知数据的样本中心点为，经过拟合，发现基本符合回归直线方程，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点即可依次求出、回归方程和估计值. 【详解】由题， 所以，所以回归直线方程， 所以当时，. 故ABD正确，C错误. 故选：C 6. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若，则 C. 若与相互独立，则 D 若，则与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由互斥事件、独立事件定义和性质以及互斥概率加法公式、独立概率乘法公式、条件概率公式即可逐一计算判断各选项. 【详解】对于A，若互斥，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，所以，故C错误； 对于D，若，则，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 7. 在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为45° B. C. 线段的长度为1 D. 直线与所成的角为60° 【答案】C 【解析】 【分析】为基底，结合向量夹角公式、模长公式和向量运算法则即可逐一计算求解判断各选项 【详解】由题可得，，， 对于A，由题， 所以，， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由题得 ，故B错误； 对于C，因为，， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 又， 所以，所以， 所以直线与所成的角为，故D错误. 故选：C 8. 若函数的定义域为D，且存在，使得，则称是的一个“阶值点”.若函数，，的“阶值点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“阶值点”定义依次求出各函数“阶值点”即可得解. 【详解】对于函数，有，令，所以； 对于函数，有，令即， 因为函数是单调递增函数，且， 所以方程的根即函数的“阶值点”满足； 对于函数，有，令即， 令函数，则， 所以函数在R上单调递增，又， 所以方程的根即函数的“阶值点”满足， 综上. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由正态分布定义和对称性质即可求解判断. 【详解】因为随机变量，， 所以，故A错误，BC正确； 因为，所以，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在点处的切线方程为 C. 函数在上的值域为 D. 若关于x的方程有3个不同的根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由导数工具求出函数的单调性和所需导数值即可逐项分析判断. 【详解】对于A，由题， 所以当时，当时， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，，所以函数在点处的切线方程为，即，故B正确； 对于C，由上可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以函数在上的值域为，故C正确； 对于D，因为函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以若关于x的方程有3个不同的根，则，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项. 【详解】对于A,,所以A正确. 对于B,连接，如图： 在正方体中，， 所以平面，又因为平面， 所以，所以B正确. 对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 即 所以点E到直线的距离， 所以C正确. 对于D,由上面空间直角坐标系可知，， 所以平面的法向量，设， 则，设直线与平面所成角为，则 ， 若直线与平面所成角为， 则， 又，所以方程无解，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个随机事件，若，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 13. 已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由在恒成立求解. 【详解】函数的定义域为，因为函数在定义域上是增函数， 所以在恒成立， 所以在恒成立，所以 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】若在是增函数，则恒成立；若在是减函数，则恒成立. 14. 对于两个空间向量与，我们定义为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，_______；若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出所需各向量坐标即可由相应距离定义计算求解. 【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则，设， 则， 所以，即， 所以； ， 令， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处有极值. （1）求a的值； （2）求在上的最值. 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为. 【解析】 分析】（1）由即可计算求解； （2）由函数单调性即可求解 【小问1详解】 因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以. 【小问2详解】 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 16. 某校食堂为了解学生对牛奶、豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了100名学生进行问卷调查，得到了如下的统计结果： 项目 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 40 a 女生 b 25 合计 100 已知从这100名学生的问卷中随机抽取1份，喜欢牛奶的概率为. （1）求a，b； （2）根据表中数据，能否认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关？ 附：， 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）； （2）该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关. 【解析】 【分析】（1）求出喜欢牛奶的人数即可依据喜欢牛奶的男生人数和喜欢豆浆的女生人数依次求出； （2）计算卡方值即可依据独立性检验思想得解. 【小问1详解】 由题可知喜欢牛奶的人数有人，所以， 所以喜欢豆浆的人数为，所以. 所以. 【小问2详解】 由（1）可得统计表格如下： 项目 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 零假设该校学生对牛奶、豆浆喜欢情况与性别无关， 由表格数据得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关. 17. 诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰.已知学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立. （ⅰ）求甲至多回答了4道题被淘汰的概率； （ⅱ）设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望. （2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出.已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为，求的最小值. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）X的分布列见解析，数学期望为； （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）明确甲至多回答了4道题的可能情况即可计算求解； （ⅱ）求出随机变量取值和各取值相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求数学期望值； （2）先求出第3道题答对的概率，接着求出答对2道题目胜出的概率，再利用导数工具即可求的最小值. 【小问1详解】 （ⅰ）甲至多回答了4道题被淘汰则有两种情况，一种是连续答错前3道题，另一种是甲在前三道题中答错两道，且答错第4道， 所以甲至多回答了4道题被淘汰的概率为； （ⅱ）由题可得， ，， 所以X的分布列为： X 3 4 5 P 所以X的数学期望为. 【小问2详解】 由题可得第3道题答对的概率为， 所以学生甲答对2道题目胜出的概率为， 所以， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为， ①求线段的长； ②求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先由题设依次求出、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）①取中点，连接、，求证平面得到为直线与平面所成角，接着由正弦函数定义求出即可求解； ②建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面法向量即可由空间角的向量法公式计算求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，所以，， 所以， 所以，则，即， 因为平面，平面， 所以，又，、平面， 所以平面； 【小问2详解】 ①取中点，连接、，则由（1）得，且， 因为平面，平面， 所以，又，、平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 所以， ②由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 显然是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）若函数有两个极值点，，且. （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意计算即可得解； （2）（ⅰ）将问题转化成函数与的图象在上有两个不同的交点，求出直线与曲线相切参数的值即可得解； （ⅱ）由、是的两根得，进而将问题转化成证，再利用导数工具研究函数单调性即可求证. 【小问1详解】 由题， 因为曲线在点处的切线垂直于直线， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 因为函数有两个极值点、，所以在上有两个不同的根， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 设直线与曲线相切于点，， 则切线斜率为，所以， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 则， 所以a的取值范围为； （ⅱ）证明：由题可得、是的两根，且. 所以， ， 令，则， 所以要证明即证，即证， 即证， 因为，所以， 所以函数即在上单调递减，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临夏州2024—2025学年度春季学期期末质量监测 高二数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知空间向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4. 已知10个成对数据的散点图如图所示，并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 相关系数变大 B. 变量与的线性相关程度变低 C. 相关系数变小 D. 变量与呈负相关 5. 某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 a 25 28 35 已知数据的样本中心点为，经过拟合，发现基本符合回归直线方程，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 时， 6. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若，则 C. 若与相互独立，则 D. 若，则与相互独立 7. 在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为45° B. C. 线段的长度为1 D. 直线与所成的角为60° 8. 若函数的定义域为D，且存在，使得，则称是的一个“阶值点”.若函数，，的“阶值点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在点处的切线方程为 C. 函数在上的值域为 D. 若关于x的方程有3个不同的根，则 11. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知两个随机事件，若，，则_______. 13. 已知函数在定义域上是增函数，则实数取值范围为_______. 14. 对于两个空间向量与，我们定义为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，_______；若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处有极值. （1）求a的值； （2）求在上的最值. 16. 某校食堂为了解学生对牛奶、豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了100名学生进行问卷调查，得到了如下的统计结果： 项目 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 40 a 女生 b 25 合计 100 已知从这100名学生的问卷中随机抽取1份，喜欢牛奶的概率为. （1）求a，b； （2）根据表中数据，能否认为该校学生对牛奶、豆浆的喜欢情况与性别有关？ 附：， 0.010 0.005 0.001 6635 7.879 10.828 17. 诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰.已知学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立. （ⅰ）求甲至多回答了4道题被淘汰的概率； （ⅱ）设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望. （2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出.已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为，求的最小值. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为， ①求线段的长； ②求平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处切线垂直于直线，求a的值； （2）若函数有两个极值点，，且. （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $