精品解析：甘肃省临夏州2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷

临夏州高中2023-2024学年度第二学期期末质量监测试卷 高二数学 本试卷共4页．满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 在某次测量中，若随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间中，已知平面的一个法向量和平面上一点，平面上任意一点的坐标满足的关系式为．则该方程称为这个平面的方程，若两平面的方程分别为和，则这两平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件．若，，．则（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，是一种空心的正方体墙砖，把四块这样的墙砖拼成如图2的组合，其中点A，B，C分别为墙砖的顶点，若图2中每个正方体的棱长为1，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 离散型随机变量X的分布列如表所示，则（ ） X 0 1 2 4 P a A B. C. D. 10. 已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则函数的极大值点为（ ） A. B. C. 0 D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点Q为的中点，点P是棱上一动点（与C，不重合），过点P作，点E为垂足，再过点E作，点为垂足．则（ ） A. 平面 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在点P使得平面 D. 存在点P使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在区间的平均变化率为0，则d=________．（写出一个符合条件的值即可） 13. 某工厂有三个车间加工同一型号零件，1号车间加工的次品率为2%，2，3号车间加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．若1，2，3号车间加工的零件数分别占总数的45%，25%，30%．任取一个零件，它是次品的概率为________． 14. 函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂质量检验部门对甲、乙两条生产线的产品进行随机抽检，从甲、乙两条生产线分别抽检了100件产品，根据检验结果将其分为A，B，C，D四个等级，其中A，B，C等级是合格品，D等级是不合格品，统计结果如表（乙生产线的合格品有85件）： 等级 A B C D 频数 76 48 36 40 （1）根据所提供的数据，完成下面的2×2列联表： 产品 合格品 不合格品 合计 甲生产线 乙生产线 85 合计 （2）判断是否有95%的把握认为产品的合格率与生产线有关． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 005 0.010 2706 3.841 6.635 16. 科技创新赋能高质量发展，某公司研发新产品投入x（单位：百万）与该产品的收益y（单位：百万）的5组统计数据如表所示（其中m为后期整理数据时导致数据缺失），且由该5组数据用最小二乘法得到的回归直线方程为． x 5 6 8 9 12 y 16 20 25 28 m （1）求m的值． （2）若将表中的点去掉，样本相关系数r是否改变？说明你的理由． 参考公式：相关系数． 17. 如图1，在中，，，若沿中位线AD把折起，使，如图2，此时直线PB与CD所成角的大小为． （1）求BC的长； （2）求二面角的余弦值． 18. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． （1）若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； （2）若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 19. 某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. （1）若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望； （2）已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润（元/箱） 4000 2000 -1200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临夏州高中2023-2024学年度第二学期期末质量监测试卷 高二数学 本试卷共4页．满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数公式求导，再求值即可. 【详解】根据题意，，则， 所以. 故选：D 2. 如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】根据题意，. 故选：A 3. 在某次测量中，若随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求出指定区间的概率. 【详解】因为随机变量，则， 则. 故选：C. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程； 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 5. 甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析前4局甲的胜负情况，再根据二项分布计算即可. 【详解】若甲以3比1获胜，则甲、乙两人共比赛4局，其中前3局中甲胜2局，第4局甲必胜， 故所求概率为. 故选：. 6. 在空间中，已知平面的一个法向量和平面上一点，平面上任意一点的坐标满足的关系式为．则该方程称为这个平面的方程，若两平面的方程分别为和，则这两平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定两个平面的法向量，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为两个平面的方程为和， 由题意可得，两个平面的法向量分别为， 故两平面夹角的余弦值为. 故选：D. 7. 已知，为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件．若，，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出，再求出，最后由条件概率公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D 8. 如图1，是一种空心的正方体墙砖，把四块这样的墙砖拼成如图2的组合，其中点A，B，C分别为墙砖的顶点，若图2中每个正方体的棱长为1，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形勾股定理可以求出三条边的长，借助余弦定理，得余弦值，根据同角三角关系得正弦值，从而可求解. 【详解】 如图所示，连接， 在中作就是到直线的距离， 在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 在直角中，根据勾股定理得， 因此则， 因为，则， 所以 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 离散型随机变量X的分布列如表所示，则（ ） X 0 1 2 4 P a A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据概率和为1，可求a的值，判断A；由互斥事件的概率加法公式判断B；根据期望，方差的公式进行计算，判断C，D. 【详解】根据题意，，所以，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则函数的极大值点为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象求出导函数大于0和小于0的区间，从而确定极大值点. 【详解】由图可知，当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 所以的单调递增区间为,,，单调递减区间为,. 故的极大值点为和. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点Q为的中点，点P是棱上一动点（与C，不重合），过点P作，点E为垂足，再过点E作，点为垂足．则（ ） A. 平面 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在点P使得平面 D. 存在点P使得 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判定推理判断A；求出三棱锥体积最大值判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断CD. 【详解】对于A，由平面，平面，得，而， 平面，则平面，A正确； 对于B，令，则面积，为等腰直角三角形， 由，可得平面，又平面，因此， 三棱锥体积，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，建立空间直角坐标系，如图，则， ，由，解得， 即当时，，此时 而平面，平面， 因此平面，C正确； 对于D，，则，， 因此与不垂直，D错误. 故选：AC 【点睛】思路点睛：涉及几何体中的动点问题，可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，利用数的方式处理形的问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在区间的平均变化率为0，则d=________．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】π（答案不唯一，） 【解析】 【分析】利用平均变化率计算即可. 【详解】由平均变化率可知， 故，所以. 故答案为：π（答案不唯一，） 13. 某工厂有三个车间加工同一型号的零件，1号车间加工的次品率为2%，2，3号车间加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．若1，2，3号车间加工的零件数分别占总数的45%，25%，30%．任取一个零件，它是次品的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件及全概率公式即可求解. 【详解】设表示“任取一个零件，它是次品”，表示“零件为第个车间加工”，则 两两互斥，易知, , 由全概率公式可得 . 故答案为：. 14. 函数存在唯一极值点，则实数t的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意存在唯一的变号正实根，当符合题意，当时参变分离可得没有除之外的正实根，构造函数，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 依题意可得存在唯一的变号正实根， 即存在唯一的变号正实根， 当时，方程只有唯一变号正实根，符合题意， 当，方程，即没有除之外的正实根， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 则实数t的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂质量检验部门对甲、乙两条生产线的产品进行随机抽检，从甲、乙两条生产线分别抽检了100件产品，根据检验结果将其分为A，B，C，D四个等级，其中A，B，C等级是合格品，D等级是不合格品，统计结果如表（乙生产线的合格品有85件）： 等级 A B C D 频数 76 48 36 40 （1）根据所提供的数据，完成下面的2×2列联表： 产品 合格品 不合格品 合计 甲生产线 乙生产线 85 合计 （2）判断是否有95%的把握认为产品的合格率与生产线有关． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）答案见解析 （2）没有95%的把握认为产品的合格率与生产线有关 【解析】 【分析】（1）根据题意，先算出两条生产线抽检的合格品一共有160件，则可得甲生产线抽检的合格品有，从而可完成列联表； （2）根据卡方检验公式计算卡方值，结合对照表即可判断. 【小问1详解】 由已知两条生产线抽检的合格品有：（件）， 所以甲生产线抽检合格品有：（件）， 甲生产线抽检的不合格品有：（件）， 乙生产线抽检的不合格品有：（件）， 补充2×2列联表如表： 产品 合格品 不合格品 合计 甲生产线 75 25 100 乙生产线 85 15 100 合计 160 40 200 【小问2详解】 提出统计假设：产品的合格率与生产线无关． 所以没有95%的把握认为产品的合格率与生产线有关． 16. 科技创新赋能高质量发展，某公司研发新产品投入x（单位：百万）与该产品的收益y（单位：百万）的5组统计数据如表所示（其中m为后期整理数据时导致数据缺失），且由该5组数据用最小二乘法得到的回归直线方程为． x 5 6 8 9 12 y 16 20 25 28 m （1）求m的值． （2）若将表中的点去掉，样本相关系数r是否改变？说明你的理由． 参考公式：相关系数． 【答案】（1） （2）不变，理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算平均数得样本中心，即可代入求解， （2）根据相关系数的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，， 所以样本中心为，将点代入，可得，解得． 【小问2详解】 由（1）可得，样本中心为，所以，． 由相关系公式知，，将点去掉后，样本相关系数r不变 17. 如图1，在中，，，若沿中位线AD把折起，使，如图2，此时直线PB与CD所成角的大小为． （1）求BC的长； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，借助线线角的空间向量法求解； （2）利用空间向量法求二面角的余弦值． 【小问1详解】 由于，，，平面， 故平面， 又因为，所以两两垂直， 故分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，且A为PB的中点，所以， 设，则， 所以，，，，， 则，． 因为直线PB与CD所成角的大小为， 所以，即， 解得或（舍去）． 所以BC的长为2； 【小问2详解】 设平面PBD的法向量为， 因为，，， 所以，令，则，，， 设平面PBC的法向量为，所以， 令，则，，． 所以， 由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 18. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． （1）若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； （2）若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及导数法求函数的单调性即可求解； （2）根据（1）的结论及导数法其函数的极值，结合函数零点与最值的关系即可求解. 【小问1详解】 由题可知，， ， 因为是函数的“拐点”， 所以，解得． 所以， ． 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）可知，函数的拐点横坐标为，所以， 令，解得或； 令．解得． 所以单调递减区间为，单调递增区间为和， 所以的极小值为， 的极大值为． 当，即时，有三个零点; 当，即时，有两个零点; 当，即时，有一个零点. 19. 某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. （1）若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望； （2）已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润（元/箱） 4000 2000 -1200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由. 【答案】（1）分布列见解析， （2）需要增加产量，增加20箱最好. 【解析】 【分析】（1）写出随机变量的所有可能取值，利用古典概型的概率计算公式求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）先求出按原计划生产药材每箱平均利润，进而可得出增加件产品，利润增加量和成本的提高量，进而可得出净利润，再利用导数求出其最大值即可. 【小问1详解】 X的可能取值为0，1，2， ，，， X的分布列如表： X 0 1 2 P . 【小问2详解】 按原计划生产药材每箱平均利润为（元）， 则增加箱药材，利润增加为元，成本相应增加元， 所以增加净利润为. 设（或），则， 当时，， 当时，，且， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 所以需要增加产量，增加20箱最好. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$