2.2.2 一元二次不等式的求解（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

该高中数学课件系统梳理了一元二次不等式的概念、解法及应用，通过定义解析、判别式与解集对应表格、二次函数-方程-不等式关系表，构建“概念-解法-应用”的知识网络，明确知识点内在逻辑。 其亮点在于以实际案例（刹车距离问题）导入，培养数学眼光，通过“基础解法-含参数问题-应用”题型分层，如含参数不等式解法步骤总结、课堂练习第7题分类讨论a的取值，提升数学思维与表达能力。分层练习和错题诊断设计，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习参考。

第2章 等式与不等式 沪教版（2020）必修第一册 2.2.2一元二次不等式的求解 学习任务 1 2 理解一元二次不等式的概念，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系. 掌握一元二次不等式的解法，并理解一元二次 不等式的应用. 3 通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法. 1 新课导入 在交通事故中，交通管理部门往往通过测量肇事汽车的刹车距离，来推断该车辆实施刹车前的行驶速度，并作为断定司机在肇事前是否有超速违章行为的重要参考依据. 假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于20米，试推断该汽车在刹车前的车速是否超过该水泥道路上机动车的限速规定30千米/时.在一般情况下，我们可以采用如下数学模型来描述该种型号的汽车在常规水泥路面上的刹车距离d(米)与刹车前的车速v(千米/时)之间的关系①: d=0.2085v+0.0064v². 因此，我们需要通过求解不等式0.2085v+0.0064v²>20,来判断v是否大于30. 这就是一个一元二次不等式的求解问题. 2 知识梳理 一元二次不等式 设a、b、c为实数，且a≠0，形如ax2＋bx＋c>0（<0，≥0或≤0的不等式，统称为一元二次不等式 一元二次不等式的解法（a＞0） 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象       一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _______________ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __________ ∅ ___ {x|x<x1，或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ 3 题型总结 题型一 一元二次不等式的解法 例1(1)(2－x)(x＋3)<0； 解　原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}. 题型一 一元二次不等式的解法 例1(2)－2x2＋x－6<0； 解　原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0， 所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示). 观察图象可得，原不等式的解集为R. 题型一 一元二次不等式的解法 例1(3) 解　原不等式组等价于 其解集为3<x<6. 得原不等式的解集为(3,6). 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 例2(1)解关于x的不等式:x2-(3a+1)x+2a(a+1)<0(a∈R). 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 例2(2)　解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R). 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 例2(3)解关于x的不等式:x2-2ax+2≤0. 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 方法总结 解含参数的一元二次不等式的步骤 提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算. 题型三 三个“二次”的应用 例3（1）若不等式x2+bx+c<0的解集为{x|-2<x<3},则b-2c的值为(　　) (A)11 (B)13 (C)-11 (D)-13 题型三 三个“二次”的应用 例3 （2） 题型四 恒成立问题 例4 （-3，5） 4 课堂练习 1.下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 √ √ 3.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B等于 A.{1,2,3} B.{1,2} C.{4,5} D.{1,2,3,4,5} B 4.如果关于x的不等式x2<ax＋b的解集是{x|1<x<3}，那么ba等于 A.－81 B.81 C.－64 D.64 B 5.不等式x2－3x－10<0的解集是____________. {x|－2<x<5} 6.若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________. {m|m≥9或m≤1} 解析　由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解， ∴Δ＝(m－3)2－4m≥0， 即m2－10m＋9≥0， ∴(m－9)(m－1)≥0， ∴m≥9或m≤1. 7.解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R). 解　原不等式可化为(x－2a)(x＋a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a. ①当a>0时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； ②当a＝0时，原不等式化为x2<0，解集为∅； ③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}. 综上，当a>0时，不等式的解集为{x|－a<x<2a}； 当a＝0时，不等式的解集为∅； 当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<－a}. 8.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是 A.{x|x<－n或x>m} B.{x|－n<x<m} C.{x|x<－m或x>n} D.{x|－m<x<n} 解析　方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n， 因为m＋n>0，所以m>－n， 得不等式的解集是{x|－n<x<m}. 9.设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取 值范围为__________. 解　设y＝x2－2ax＋a＋2， 因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A， 且A⊆{x|1≤x≤3}， 所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0. 若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0， 即a2－a－2<0， 解得－1<a<2. 9.设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取 值范围为__________. 5 课堂小结 1.知识清单： (1)一元二次不等式的概念及解法. (2)含参的一元二次不等式的解法. 2.方法归纳：数形结合，分类讨论. 3.题型归纳：一般的一元二次不等式、含参数的一元二次不等式、恒成立问题、 一元二次不等式组、应用 4.常见误区：（1）当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的. （2）解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准. Thank you for your attention 回家作业：完成2.2.1~2.2.2一元一次一元二次不等式分层练习 解:关于x的不等式x2-(3a+1)x+2a(a+1)<0, 即(x-2a)(x-a-1)<0,对应方程两根为2a,a+1,以下分类讨论: ①当2a=a+1⇔a=1时,原不等式即为(x-2)2<0,解集为; ②当2a>a+1⇔a>1时,原不等式解集为{x|a+1<x<2a}; ③当2a<a+1⇔a<1时,原不等式解集为{x|2a<x<a+1}. 综上所述,当a=1时,原不等式解集为; 当a>1时,原不等式解集为{x|a+1<x<2a}; 当a<1时,原不等式解集为{x|2a<x<a+1}. 解:原不等式移项,得ax2+(a-2)x-2≥0,即(x+1)(ax-2)≥0. 当a=0时,x≤-1;当a>0时,x≥或x≤-1; 当-2<a<0时,≤x≤-1; 当a=-2时,x=-1;当a<-2时,-1≤x≤. 综上所述,当a>0时,原不等式的解集为{x|x≥或x≤-1}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1}; 当-2<a<0时,原不等式的解集为{x|≤x≤-1}; 当a=-2时,原不等式的解集为{x|x=-1}; 当a<-2时,原不等式的解集为{x|-1≤x≤}. 解:因为Δ=4a2-8,所以当Δ<0,即-<a<时,原不等式对应的方程无实根. 所以原不等式的解集为. 当Δ=0,即a=±时,原不等式对应的方程有两个相等实根. 当a=时,原不等式的解集为{x|x=}; 当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-}. 当Δ>0,即a>或a<-时,原不等式对应的方程有两个不等实根,分别为x1=a-, x2=a+,且x1<x2,所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}. 综上所述, 当-<a<时,原不等式的解集为; 当a=时,原不等式的解集为{x|x=}; 当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-}; 当a>或a<-时,原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}. 解:不等式x2+bx+c<0的解集为{x|-2<x<3}, 则-2和3是对应方程x2+bx+c=0的实数根, 由根与系数的关系知,解得b=-1,c=-6. 所以b-2c=-1-2×(-6)=11.故选A. 已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|- <x<}, 求2x2+bx+a<0的解集. 解:因为ax2+bx+2>0的解集为{x|-<x<}, 所以- ,是方程ax2+bx+2=0的两实根. 由根与系数的关系得 解得 所以2x2+bx+a<0可化为2x2-2x-12<0, 即x2-x-6<0,所以(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3. 所以2x2+bx+a<0的解集为{x|-2<x<3}. 若关于x的不等式的解集是R， 则实数k的取值范围是 ． 【解】关于x的不等式的解集是R， 则方程的判别式 , 解得， 即实数k的取值范围是， 故答案为： 2.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是 A. B. C.∅ D. 解析　不等式x2<ax＋b可化为x2－ax－b<0， 其解集是{x|1<x<3}， 那么，由根与系数的关系得 解得a＝4，b＝－3；所以ba＝(－3)4＝81.故选B. －1<a≤ 若A≠∅，则 综上，a的取值范围为－1<a≤. 即 所以2≤a≤. $