暑期综合提升测试02【范围：第一章　勾股定理】-2025-2026学年八年级数学上册暑假提升试题（北师大版2024）

2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（北师大版2024） 第一章　勾股定理综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 2．（本题3分）如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（本题3分）如图，长为的橡皮筋放置在地面上，固定两端点和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 （ ） A． B． C． D． 5．（本题3分）在中，，，所对的边分别为a，b，c．若，则中的直角为（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（本题3分）如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 7．（本题3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 9．（本题3分）如图，有一根电线杆在离地面6米处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点8米远的地方，则断裂之前电线杆的长度为（    ）米 A．10 B．12 C．16 D．18 10．（本题3分）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，在中，，于点，，，则 ． 12．（本题3分）如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边 ． 13．（本题3分）如图，数轴上的点表示的数为，则 ． 14．（本题3分）如图①所示，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行了 ． 15．（本题3分）如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则 ． 16．（本题3分）如图，已知在中，，，点P在内，且，，，则 ． 17．（本题3分）如图，在四边形中，，，，，，则阴影部分面积为 ． 18．（本题3分）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）我市某中学有一块四边形的空地（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．求出空地的面积． 20．（本题6分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，如图，即，，．通过列方程的方法求水深BC． 21．（本题8分）如图，中，是上的一点，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求线段的长． 22．（本题8分）古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且，人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面的距离为（绳子一直是直的） (1)若，，求从定滑轮C到D点的绳长； (2)若的长为，比BC长，求桥面的宽 23．（本题8分）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 24．（本题8分）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 25．（本题10分）如图，在一条东西走向的公路一侧有两个新能源车的充电站A，B，点C处是一个小区，其中．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修一条公路，工作人员测得，，． (1)是不是从小区C到公路最近的路？请通过计算说明； (2)新修的公路比原来的公路短多少千米？ 26．（本题12分）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 第8页，共8页 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（北师大版2024） 第一章 勾股定理综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，故6，8，10是勾股数，符合题意， 故选：D． 2．（本题3分）如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理． 直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D 3．（本题3分）如图，长为的橡皮筋放置在地面上，固定两端点和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，理解被拉长部分并转化为几何线段计算是解题的关键．根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：中，，； 根据勾股定理，得：； ∴； ∴橡皮筋被拉长了. 故选：A． 4．（本题3分）如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求出的长，再根据正方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵为一条边向三角形外部作正方形， ∴该正方形的面积为， 故选：A． 5．（本题3分）在中，，，所对的边分别为a，b，c．若，则中的直角为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，且斜边所对的角为直角，题目中给出，结合边与角的对应关系即可判断直角位置，据此进行作答即可． 【详解】解：∵在中，，，所对的边分别为a，b，c．且， ∴中的直角为， 故选：C 6．（本题3分）如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，以及三角形面积公式得，再结合是边上的高，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴ 解得， 故选：B 7．（本题3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，，， ∴． 故选：C． 8．（本题3分）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据勾股定理并结合已知可得出，，根据完全平方公式变形可求出，，即可求解． 【详解】解：∵的周长等于14，正方形的边长是6， ∴，， ∴ ∴， 由题意知：， ∴， ∴正方形的面积为8， 故选：B． 9．（本题3分）如图，有一根电线杆在离地面6米处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点8米远的地方，则断裂之前电线杆的长度为（    ）米 A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：在中，米，米， ∴（米）， 故这根高压电线杆断裂前高度为：（米）． 故选：C． 10．（本题3分）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选C． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，在中，，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是利用三角形的面积列出方程求解． 利用勾股定理求出，再利用面积法得到，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为． 12．（本题3分）如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边 ． 【答案】48 【分析】利用等腰三角形“三线合一”（底边上的高也是底边的中线）将底边分成两段相等的线段，再通过勾股定理求出其中一段的长度，进而得到底边总长． 【详解】解：，是的高，且， ， 在中，， ， 故答案为：48 【点睛】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质和勾股定理，将等腰三角形的问题转化为直角三角形的计算是解题的关键． 13．（本题3分）如图，数轴上的点表示的数为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，数轴上的点；根据勾股定理得到，再结合数轴上的点的表示即可求出． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 14．（本题3分）如图①所示，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行了 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理解决实际问题，根据题意，画出示意图，如图②所示，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，其中，则．在中，由勾股定理，得．即可求得，从而得到答案，读懂题意，构造直角三角形，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示： 则， ， ， 在中，，由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了 故答案为：． 15．（本题3分）如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．设出正方形的边长，利用中点及线段比例关系表示出相关线段长度，再通过勾股定理分别求出三角形三边的平方，最后根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，从而得出角的度数． 【详解】解：设． E是的中点，， ，，． 在中，由勾股定理可得． 同理可得，， ， 为直角三角形，． 故答案为： 16．（本题3分）如图，已知在中，，，点P在内，且，，，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，把绕点C逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，，再求出即可得解． 【详解】解：如图，把绕点C逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，是等腰直角三角形，， ， ，， ， 是直角三角形，， ， ． 故答案为：． 17．（本题3分）如图，在四边形中，，，，，，则阴影部分面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：解：连接， ，，， ， ， ， ， 阴影部分面积． 故答案为：24． 18．（本题3分）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的证明，勾股定理的灵活运用，本题中证明三角形全等得到相邻两个正放的正方形面积和等于这两个正方形间斜放的面积是解题的关键．由正方形的性质证明，则可得，同理得，，由此即可求解． 【详解】解：如图，由题意知，； ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 同理得，， ∴； 故答案为：4． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）我市某中学有一块四边形的空地（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．求出空地的面积． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．直接利用勾股定理可求得，再用勾股定理的逆定理得出，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 20．（本题6分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，如图，即，，．通过列方程的方法求水深BC． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理建立等量关系是解题的关键．设，则，在中，由勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：设 ， 在中，由勾股定理得：， 即 解得，即， 答：水深为12． 21．（本题8分）如图，中，是上的一点，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）根据，，，可得，根据勾股定理的逆定理可进行判定是直角三角形，则； （2）在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下∶ 因为， 所以是直角三角形，且， 所以． （2）在中，， 所以． 22．（本题8分）古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且，人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面的距离为（绳子一直是直的） (1)若，，求从定滑轮C到D点的绳长； (2)若的长为，比BC长，求桥面的宽 【答案】(1)定滑轮C到D点拉着的绳长为； (2)桥面的宽长为 【分析】本题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理． （1）过点D作于F，在中，根据勾股定理即可求出； （2）先表示出的长，在中，根据勾股定理列出方程即可求桥面的宽 【详解】（1）过点D作于F， 由题意知：， ， ， 由题意可知：四边形是长方形， ， ， 在中， ， 定滑轮C到D点拉着的绳长为； （2）由（1）知， ， 比长， ， 在中， ， ， ， 桥面的宽长为 23．（本题8分）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 24．（本题8分）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，，进而证明，即可根据证明； （2）由中，，，则，，由全等三角形性质可得，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：在中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 25．（本题10分）如图，在一条东西走向的公路一侧有两个新能源车的充电站A，B，点C处是一个小区，其中．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修一条公路，工作人员测得，，． (1)是不是从小区C到公路最近的路？请通过计算说明； (2)新修的公路比原来的公路短多少千米？ 【答案】(1)是最近的路；说明见解析； (2)新路比原路少千米． 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是从小区C到公路最近的路； （2）解：设，则，， 在中，根据勾股定理有， ，即， 解得：， ∴， ∴， ∴新路比原路少千米． 26．（本题12分）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)结论：，理由见解析． 【分析】（1）利用平角定义解题即可； （2）根据角平分线定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，利用等角对等边得到，即可得证； （3）连接，则有，再利用勾股定理推理即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）证明：平分， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即点是的中点； （3）结论：，理由如下： 如图2，连接． ，点为的中点． 为的中垂线． ． 在中，． 由勾股定理得． ． 【点睛】本题考查了角的和差，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练运用以上性质推理是解题的关键． 第2页，共20页 第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$