第一讲 探索勾股定理（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第一讲 探索勾股定理 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2． 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. 知识点02：验证勾股定理 验证方法一：赵爽弦图 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c2. 又因为大正方形的面积＝ 4×ab＋(b－a)2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝c2 验证方法二：毕达哥拉斯证法 由图①得大正方形的面积＝c2＋4×ab，由图②得大正方形的面积＝ a2＋b2＋4×ab，比较两式易得a2＋b2＝c2 验证方法三：伽菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则 S＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋b2＋ab. 又因为S＝ab＋ab＋c2＝c2＋ab，所以a2＋b2＝c2 考点1：用勾股定理理解三角形 【典型例题】 在中，，，，则的长为（   ） A．7 B．5 C．25 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理.在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，已知斜边，直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度.掌握勾股定理是本题的解题关键. 【详解】解：在中，， ∴ ． 故选：B. 【变式训练1】 已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形;已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边的平方为：； （2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边的平方为：． ∴第三边长的平方是25或7， 故选：B． 【变式训练2】 下列说法正确的是（    ） A．若，，是的三边，则 B．若，，是的三边，则 C．若，，是的三边，，则 D．若，，是的三边，，则 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理依次进行判断即可． 【详解】解：A、当是直角三角形且时，，故此选项不符合题意； B、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意； C、若，，是的三边，，则，故此选项符合题意； D、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意． 故选：C． 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典型例题】 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 【变式训练1】 如图，在中，，分别以、为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求解即可． 【详解】解：正方形的面积为：，正方形的面积为：； 在中，， 又 ∵， ∴， 故选：D． 【变式训练2】 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：∵一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形， ∴“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； 故选：B． 考点3：勾股定理的证明方法 【典型例题】 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 【变式训练1】 如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 【变式训练2】 在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 考点4：求大树折断前的高度 【典型例题】 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设竹子折断处离地面的高度尺．根据图形并结合勾股定理即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺． 由题意可得：， 故选：C． 【变式训练1】 如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为， 由勾股定理，得：， 木杆折断之前的高度为：． 故选：C． 【变式训练2】 《九章算术》中有一道“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？其意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是（    ） A．3.6尺 B．3.2尺 C．3尺 D．2.4尺 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 解得：， 折断处离地面的高度为3.2尺， 故选：B． 一、单选题 1．直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理，直角三角形的斜边长为两条直角边平方和的平方根求出即可． 【详解】解：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4， 根据勾股定理，斜边长为， 因此，斜边长为5． 故选：B． 2．在中，，，高，则的面积为（　　） A．66 B．126 C．55或44 D．126或66 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的面积公式等知识点，把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况是解题的关键． 分高在三角形内部和外部的两种情况，分别利用勾股定理求出的长，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知，分两种情况求解： ①如图1，在内部时 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得； ∴， ∴． ②如图2，在外部时， 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得； ∴， ∴． 综上所述，的面积为66或126． 故选D． 3．图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（   ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．对于以直角三角形三边为边长的正方形，两个较小正方形的面积之和等于较大正方形的面积．我们可以通过正方形面积求出边长的平方，再根据勾股定理来判断每个选项中字母所代表正方形的边长是否为即可． 【详解】解：A、由图可知两个正方形面积分别为和，根据正方形面积等于边长的平方，设字母 所代表正方形的面积为．由勾股定理可得．那么所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； B、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母所代表正方形的面积为．根据勾股定理，所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； C、由图可知两个正方形面积分别为和设字母所代表正方形的面积为．由勾股定理可得．因为，所以所代表正方形的边长为．故本选项符合题意； D、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母所代表正方形的面积为．根据勾股定理，所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； 故选：C． 4．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形面积公式，三角形面积公式以及梯形面积公式，由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴原选项不能证明勾股定理，符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：． 6．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 7．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 8．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 9．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 10．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据，且结合勾股定理列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 则 ∴ ∴这棵树在折断前的高度是， 故选：C 二、填空题 11．如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 12．在中，，于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，利用三角形的面积为定值求出的长是解题的关键． 先根据勾股定理计算出的大小，再根据面积公式计算出的长即可． 【详解】如图，在中，，， ，， 由勾股定理可得，， ， ． 故答案为：． 13．一个直角三角形的两边长为6和8，则这个三角形的最长边是 ． 【答案】或 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①6是直角边，8是斜边，最长边为斜边8；②6、8均为直角边，可根据勾股定理求出斜边的长，斜边即为最长边． 本题考查了勾股定理的应用，解题关键是分类讨论以及明确直角三角形中斜边最长，且斜边的平方等于两个直角边的平方和． 【详解】解：①长为6的边是直角边，长为8的边是斜边时，最长边即为斜边8； ②长为6、8的边都是直角边时： 第三边的长为：， 此时，三角形的最长边为， 综上，三角形的最长边为8或． 故答案为：或． 14．如图，中，，平分，交于点D，、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质以及三角形面积等知识，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，然后由面积法求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作于点M， ∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，能够将勾股定理与几何之间的面积关系相结合是解决本题的关键．根据勾股定理可知，以直角三角形斜边为边的正方形面积等于以直角三角形两直角边为边的正方形面积之和，依照此可求出正方形C的面积． 【详解】解：设中间正方形为E， 由勾股定理可知：，， ∴， 正方形、、的面积依次为、、， ∴， 故答案为：5． 16．如图，在四边形草坪中，．若，，，则这块草坪的面积为 ． 【答案】234 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形面积的计算．熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据四边形面积的构成，将其分割为两个直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积，再将二者相加得到四边形的面积．由于，所以可连接，把四边形分成和，先通过勾股定理求出的长度，最后分别计算两个三角形面积并求和． 【详解】解：连接． 在中，，，． ∴． ∵在中，，， ． ∴． ． ∴． 故答案为：． 17．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算．本题根据面积关系列式得到：，，然后得到，然后由，代入数据即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m、n， ∴大正方形的边长为， ∵大正方形的面积为34， ∴， ∵小正方形的面积为4， ∴小正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 18．如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴的负半轴上，连接，．若，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题关键． 设，则，根据勾股定理构建方程，解方程，即可求解． 【详解】解：，， ，， 设，则， ， ， ， 在中，， ，解得：， 点在轴的负半轴上， ． 故答案为：． 19．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 【答案】52 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出，再根据正方形的面积公式得出答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得， 所以正方形的面积. 故答案为：52． 20．如图，在中，， ， ，则点C 到斜边的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等面积法求三角形的高，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到斜边的距离为， 故答案为：． 三、解答题 21．如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得．求两点间的距离（结果取整数）． 【答案】57 m 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是正确的从实际问题中发现直角三角形并对应好直角边和斜边． 在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可． 【详解】， 在 中， （m） 答：两点间距离约为 57 m ． 22．如图，数学活动课上，老师带领全班学生测量旗杆高度，已知旗杆顶端垂下了一根绳子，绳子的末端点距离地面的高度为米，老师让小明拿起绳子末端向前走了米至点处，此时绳子末端距离地面的高度为米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设绳子长为米，过点作于点，根据题意可得米，米，米，米，由勾股定理得，求解出后，即可求旗杆的高度． 【详解】解：设绳子长为米，如图，过点作于点， 根据题意得米，米，米，米， 在中，由勾股定理得， 解得：， ∴旗杆的高度为米． 答：旗杆的高度为米． 23．周末，小明和小亮去公园放风筝，如图，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了测量，得到如下数据： ①牵线放风筝的小明的身高为m；②风筝与小明的水平距离的长为m；③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为m． (1)求风筝的垂直高度； (2)要使风筝沿方向下降m，则小明应该往回收风筝线多少m？ 【答案】(1)m (2)m 【分析】（）在直角三角形中，已知斜边，根据勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，可算出另一直角边，由图可知米(人的高度)，根据风筝垂直高度，即可解答． （）根据题意风筝下降米后，得米．在新直角三角形中，用勾股定理算出此时风筝线米，即可解答 回收线长度为原线长与现线长的差． 【详解】（1）解：由题意可知m，m，，m． 在中，由勾股定理， 得， m（负值已舍去）， m． 答：风筝的垂直高度为m． （2）如答图，风筝沿方向下降m至处，保持不变，连结，此时m． 在中，m， m， 小明应该往回收风筝线m． 【点睛】本题主要考查勾股定理的概念，关键是观察图形找到数量关系．通过已知直角三角形的两边，利用勾股定理求出第三边，即可解答． 24．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第一讲 探索勾股定理 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2． 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. 知识点02：验证勾股定理 验证方法一：赵爽弦图 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c2. 又因为大正方形的面积＝ 4×ab＋(b－a)2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝c2 验证方法二：毕达哥拉斯证法 由图①得大正方形的面积＝c2＋4×ab，由图②得大正方形的面积＝ a2＋b2＋4×ab，比较两式易得a2＋b2＝c2 验证方法三：伽菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则 S＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋b2＋ab. 又因为S＝ab＋ab＋c2＝c2＋ab，所以a2＋b2＝c2 考点1：用勾股定理理解三角形 【典型例题】 在中，，，，则的长为（   ） A．7 B．5 C．25 D．6 【变式训练1】 已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是（    ） A． B．或 C． D． 【变式训练2】 下列说法正确的是（    ） A．若，，是的三边，则 B．若，，是的三边，则 C．若，，是的三边，，则 D．若，，是的三边，，则 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典型例题】 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A．B． C． D． 【变式训练1】 如图，在中，，分别以、为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．16 B．24 C．32 D．64 【变式训练2】 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 考点3：勾股定理的证明方法 【典型例题】 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C．D． 【变式训练1】 如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【变式训练2】 在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 考点4：求大树折断前的高度 【典型例题】 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 《九章算术》中有一道“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？其意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是（    ） A．3.6尺 B．3.2尺 C．3尺 D．2.4尺 一、单选题 1．直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．7 2．在中，，，高，则的面积为（　　） A．66 B．126 C．55或44 D．126或66 3．图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（   ） A．    B．    C．    D． 4．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 7．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 8．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 9．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 10．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为 ． 12．在中，，于点．若，，则 ． 13．一个直角三角形的两边长为6和8，则这个三角形的最长边是 ． 14．如图，中，，平分，交于点D，、，则 ． 15．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为 ． 16．如图，在四边形草坪中，．若，，，则这块草坪的面积为 ． 17．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴的负半轴上，连接，．若，则点的坐标是 ． 19．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 20．如图，在中，， ， ，则点C 到斜边的距离为 ． 三、解答题 21．如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得．求两点间的距离（结果取整数）． 22．如图，数学活动课上，老师带领全班学生测量旗杆高度，已知旗杆顶端垂下了一根绳子，绳子的末端点距离地面的高度为米，老师让小明拿起绳子末端向前走了米至点处，此时绳子末端距离地面的高度为米，求旗杆的高度． 23．周末，小明和小亮去公园放风筝，如图，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了测量，得到如下数据： ①牵线放风筝的小明的身高为m；②风筝与小明的水平距离的长为m；③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为m． (1)求风筝的垂直高度； (2)要使风筝沿方向下降m，则小明应该往回收风筝线多少m？ 24．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$