第四讲 认识实数（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第四讲 认识实数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：无理数的概念 1. 无理数的概念  无限不循环小数称为无理数 . 2.无理数的常见形式 (1)圆周率π 及一些含π 的数，如π， ，π-3 等； (2)具有特定结构的数，如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1)； (3)无理数与有理数的和、差，结果都是无理数，如π+2； 知识点02：实数的相关概念和性质 1. 实数: 有理数和无理数统称为实数. 知识点03：实数与数轴的关系 1. 实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的. “一一对应”包含两层含义：(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；(2)数轴上的每一个点都表示一个实数 . 2.实数的大小比较 (1)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 (2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 考点1：无理数 【典型例题】 下列各数中，不是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列判断正确的是（　　） A．是分数，是有理数 B．是整数，是有理数 C．是无限小数，是无理数 D．3.1415926是小数，是无理数 【变式训练2】 在实数，0，，3.14中，无理数是（   ） A． B． C．0 D．3.14 考点2：无理数的大小估算 【典型例题】 化简的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列关于的说法错误的是（   ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的平方是 D．是无理数 考点3：实数与数轴 【典型例题】 如图，数轴上可表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式训练1】 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点4：实数的大小比较 【典型例题】 下列各数，比大的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 在实数，，，中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 在实数，，，四个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．估计的值在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 4．的绝对值是（   ） A． B． C． D．13 5．如图所示，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，数轴上各点表示的数中比小的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 7．已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 8．下列数中，比小的实数是（    ） A． B． C． D．0 9．若数轴上的四个点A，B，C，D分别表示实数，4，，那么点A，B，C，D自左到右的顺序是：（    ） A．DABC B．ADCB C．ACDB D．DACB 10．如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 12．若，且、是两个连续的整数，则的值为 ． 13．在实数，，﹣0.1，π中，无理数是 ． 14．实数的绝对值为 ． 15．如图，点A、B是数轴上的两点，，若点A表示的数是，则点B表示的数是 ． 16．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 17．如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为 ． 18．比较大小： ．（填“”“”或“”） 19．我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．小张同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如下图），以数字1所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点．则点表示的实数为 ． 20．若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示）了，则这个被覆盖的数是 ． 三、解答题 21．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 22．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与1． 23．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：－|a－b|＋|c－a|． 24．甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第四讲 认识实数 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：无理数的概念 1. 无理数的概念  无限不循环小数称为无理数 . 2.无理数的常见形式 (1)圆周率π 及一些含π 的数，如π， ，π-3 等； (2)具有特定结构的数，如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1)； (3)无理数与有理数的和、差，结果都是无理数，如π+2； 知识点02：实数的相关概念和性质 1. 实数: 有理数和无理数统称为实数. 知识点03：实数与数轴的关系 1. 实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的. “一一对应”包含两层含义：(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；(2)数轴上的每一个点都表示一个实数 . 2.实数的大小比较 (1)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 (2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 考点1：无理数 【典型例题】 下列各数中，不是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．据此即可求解． 【详解】解：由无理数的概念可知：均是无理数， 是分数，属于有理数， 故选：C 【变式训练1】 下列判断正确的是（　　） A．是分数，是有理数 B．是整数，是有理数 C．是无限小数，是无理数 D．3.1415926是小数，是无理数 【答案】B 【分析】本题考查有理数与无理数的定义．逐一分析各选项中的数是否属于所述类别，结合有理数与无理数的定义判断正误． 【详解】解：A．是无理数，其除以2仍为无理数，故不是有理数，判断错误． B．，是整数且属于有理数，判断正确． C．是分数，属于有理数，判断错误． D．3.1415926是有限小数，属于有理数，判断错误． 故选：B． 【变式训练2】 在实数，0，，3.14中，无理数是（   ） A． B． C．0 D．3.14 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别．根据无理数就是无限不循环小数，常见的无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数，如（两个相连2之间的1的个数逐次增加一个），进行判断即可． 【详解】解：在实数，0，，3.14中，是无理数的是：； 故选：B． 考点2：无理数的大小估算 【典型例题】 化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 【变式训练1】 的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的求解，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【变式训练2】 下列关于的说法错误的是（   ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的平方是 D．是无理数 【答案】C 【详解】本题考查实数的绝对值、相反数、平方及无理数的概念，需逐一分析各选项的正确性． 【分析】解：A．的绝对值是，正确，故此选项不符合题意； B．的相反数是，正确，故此选项不符合题意； C.的平方是5，原说法错误，故此选项符合题意； D．是无理数，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 考点3：实数与数轴 【典型例题】 如图，数轴上可表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴， 根据，进而得，再确定的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 所以数轴上可表示的点是B． 故选：B． 【变式训练1】 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，认真观察数轴进行推理是解题的关键． 根据数轴上实数的位置，分别计算出所在的区间，对比即可． 【详解】解：由数轴可知， 是正数，是负数，且． ， ，且， ， ，且． ∴， 故选：C． 【变式训练2】 如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出，然后得到点A表示的数． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， 则， 故点A表示的数为， 故选B． 考点4：实数的大小比较 【典型例题】 下列各数，比大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算和的大小，再比较即可求解，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴比大的是， 故选：． 【变式训练1】 在实数，，，中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的方法． 比较四个实数的大小，先区分正负，再比较负数的大小． 【详解】解：根据正数大于0,0大于负数，两负数比较，绝对值大的反而小得， ， 所以，最小的是， 故选：D． 【变式训练2】 在实数，，，四个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：B． 一、单选题 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，涉及无理数定义：无限不循环小数或不能表示为整数比的数，熟记无理数定义是解决问题的关键．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为整数比的数即可得到答案． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，不符合题意； B、是整数，属于有理数，不符合题意； C、因为不是完全平方数，其平方根无法表示为整数或分数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； D、是有限小数，属于有理数，不符合题意； 故选：C． 2．估计的值在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题主要考查的是无理数的估算，掌握有理数的意义是解题的关键．首先求出在和之间，从而得出的在华润之间，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与其相加等于零的数，判断即可． 【详解】解：实数的相反数是其符号取反后的结果，原数为，其相反数为， 选项中只有A项为，B项为原数本身，C、D项涉及倒数，与相反数无关， 故选：A． 4．的绝对值是（   ） A． B． C． D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， 即的绝对值是， 故选：B． 5．如图所示，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的认识与无理数的估算，正确分析数轴的单位长度以及点A的位置是解决本题的关键． 首先观察数轴可知数轴的单位长度为“1”，再根据点A的位置位于与之间的位置确定范围并比较无理数的大小即可． 【详解】解：观察数轴可知，数轴的单位长度为“1”， 且点A的位置位于与之间， 因为， 所以可得， 再由不等式的变号规则可知，， 所以数轴上点表示的数可能是． 故选：A ． 6．如图所示，数轴上各点表示的数中比小的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上找表示无理数的点的方法，无理数的估算．首先判断出的范围，然后根据数轴的特征，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴数轴上四点中，比小的点是点M． 故选：A． 7．已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 8．下列数中，比小的实数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数比较大小，比较各选项与的大小关系，再逐一判断各选项是否更小． 【详解】解： ∴比小的实数是 故选：A． 9．若数轴上的四个点A，B，C，D分别表示实数，4，，那么点A，B，C，D自左到右的顺序是：（    ） A．DABC B．ADCB C．ACDB D．DACB 【答案】B 【分析】本题考查无理数的比较大小，实数与数轴，先估算的大小，然后排列顺序解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即顺序为， 故选：B． 10．如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理、数轴．根据勾股定理求出，进而求出，根据数轴解答即可． 【详解】解：在中，， ， 由题意得， ， 点表示的数是， 点表示的数是， 故选：A． 二、填空题 11．在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 【答案】1 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在，，0.101001，，这几个数中，无理数只有，共1个； 故答案为：1． 12．若，且、是两个连续的整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握夹逼法估算无理数是解题关键．先估算无理数得，进而得到，，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ，即， ，且、是两个连续的整数， ，， ， 故答案为：． 13．在实数，，﹣0.1，π中，无理数是 ． 【答案】π 【分析】无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称． 【详解】解：=2，，﹣0.1是有理数，π是无理数， 故答案为：π． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 14．实数的绝对值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义即可得答案． 【详解】解：实数的绝对值为． 故答案为：． 15．如图，点A、B是数轴上的两点，，若点A表示的数是，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示实数，数轴上两点之间的距离．根据题意可知，再由数轴上点的表示实数，即可得到答案． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴， ∵， ∴， ∴点B表示的数为， 故答案为：． 16．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 17．如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．先根据题意确定，，再根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 根据勾股定理，得， 点在正半轴，且 点对应的实数为， 故答案为：． 18．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解决本题的关键． 根据题意得出，，然后比较大小即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 19．我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．小张同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如下图），以数字1所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点．则点表示的实数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 利用勾股定理求出对角线长，即可求出点A表示的实数． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴对角线长 ∴点A表示的实数为． 故答案为：． 20．若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示）了，则这个被覆盖的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴及无理数的估算，熟练掌握实数与数轴及无理数的估算是解题的关键；根据题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由， ， 则这个被覆盖的数是． 三、解答题 21．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在，之间； (2)在，之间； (3)在，之间； 【分析】本题考查的是无理数的估算； （1）由可得，即可得到答案； （2）由可得，即可得到答案； （3）由，可得，即可得到答案 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在，之间； （2）解：∵， ∴， ∴在，之间； （3）解：∵， ∴， 即， ∴在，之间 22．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与1． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法，是解题的关键： （1）估算法比较大小即可； （2）估算法比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，即：． 23．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：－|a－b|＋|c－a|． 【答案】 【分析】先判断，进而得到，，再化简即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可得 ， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的加减运算，实数与数轴，根据数轴及运算法则判断，是解本题的关键． 24．甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理． （1）利用勾股定理求出，由即可证明； （2）如图，在数轴上构造在中，，则，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点表示数． （2）解：如图，在中，， 则，即点F表示． 学科网（北京）股份有限公司 $$