3.1 字母表示数 学案 2025-2026学年苏科（2024）版数学七年级上册

该初中数学资料聚焦“字母表示数”核心内容，从字母表示数的意义切入，系统梳理代数式、整式、单项式、多项式等概念及书写规范，构建从具体到抽象的知识脉络，为后续代数学习奠定基础支架。 知识链路按“意义-概念-应用”逻辑呈现，要点表格明确重点难点，典型例题涵盖概念辨析、实际应用和规律探究。通过实际问题建模培养符号意识与抽象能力，结合中考真题强化模型意识，助力学生用数学语言表达现实世界。

第三章 代数式 3.1 字母表示数 一、教学目标 1. 理解用字母表示数的意义，掌握代数式、整式、单项式、多项式的概念 2. 能用字母表示运算律、计算公式及简单实际问题中的数量关系 3. 会判断代数式的类型，能区分单项式与多项式 4. 体会从具体到抽象的数学思想，发展符号意识 二、要点梳理 知识点 说明 重点/难点 代数式 用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子 重点：识别代数式与非代数式 整式 单项式和多项式统称为整式（分母不含字母） 难点：识别分式与整式 单项式 ① 由数与字母的积组成的代数式 ② 单独一个数或字母也是单项式 ③ 次数：所有字母指数的和 重点：系数与次数的确定 多项式 ① 几个单项式的和 ② 次数：最高次项的次数 ③ 项数：单项式的个数 难点：多项式的命名（几次几项式） 字母表示数的意义 ① 表示任意数 ② 表示特定公式 ③ 表示变化规律 重点：建立实际问题与代数表达的联系 书写规范 ① 数字在前字母在后（如3x） ② 除法写成分数形式 ③ 带单位时要加括号 难点：规范书写避免歧义 数学思想方法：从具体到抽象的转化思想，数学建模思想 注意事项： · ① π是常数不是字母，πr²是单项式 · ② 单项式系数包括前面的符号，如-3x²的系数是-3 · ③ 多项式次数只看最高次项，如x³+2x-1是三次多项式 · ④ 分母含字母的式子（如1/x）不是整式 · ⑤ 书写时数字在前字母在后（如2ab而不是a2b） · ⑥ 同一问题中不同量用不同字母表示 三、典型例题解析 类型1：概念辨析 例题1 (2023年南京玄武区期中) 下列说法错误的是（） A. 0是单项式 B. x/y是整式 C. -a²b的系数是-1 D. 2x²-3x+1是二次三项式 解析：概念辨析关键点： ① 单独数字是单项式（A正确） ② 分母含字母不是整式（B错误） ③ -a²b可看作-1·a²b（C正确） ④ 最高次项x²(2次)，共三项（D正确） 解题要点：整式要求分母不含字母 答案：B 例题2 (2025年南通预测题) 多项式3xmy²+(m-2)xy+1是三次三项式，则m=______ 解析：解题三步法： 1. 次数要求：最高项次数=3 → m+2=3 2. 项数要求：m-2≠0（保证xy项存在） 3. 解方程：m=1且1-2≠0成立 易错点：常数项不影响次数计算 答案：1 类型2：实际应用 例题1 (2023年常州中考改编) 某商品原价a元，先提价20%再打九折，现价表示为______ 解析：分步计算法： ① 提价20%：a×(1+0.2)=1.2a ② 再打九折：1.2a×0.9=1.08a 关键思路：理清运算顺序（先乘法后乘法） 避错技巧：分步列式验证 答案：1.08a 例2（2024年无锡梁溪区期末）某影院第一排有m个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第n排有______个座位。 答案：m+2(n-1) 解析：等差数列通项公式，首项m，公差2 例3（2023年常州中考）一本书定价x元，现打9折出售，利润率是10%，则进价是______元。 答案：9x/11 解析：售价0.9x=进价×(1+10%) → 进价=0.9x/1.1=9x/11 例4（2024年扬州邗江区模考）右图长方形中挖去一个半圆，阴影部分面积为______（用含a,b的代数式表示）。 答案：ab-πb²/8 解析：长方形面积ab减去半圆面积π(b/2)²÷2=ab-πb²/8 例5（2025年泰州预测题）圆柱底面半径r，高是底面直径的2/3，则体积V=______。 答案：4πr³/3 解析：高h=2/3×2r=4r/3，V=πr²h=πr²×4r/3=4πr³/3 类型3：规律探究 例题1 (2023年扬州邗江区二模) 观察：x, -3x², 5x³, -7x⁴,...第n个式子是______ 解析：四要素分析法： 1. 符号规律：(-1)n+1（奇数项正） 2. 系数规律：1,3,5,7 → 2n-1 3. 字母规律：xn 4. 验证n=1：(-1)2(2×1-1)x1=1x ✔ 综合表达式：(-1)n+1(2n-1)xn 答案：(-1)n+1(2n-1)xn 例题2 (2023年盐城亭湖区期末) 当k=____时，多项式x²-3kxy-3y²+xy-8不含xy项 解析：同类项处理步骤： 1. 合并xy项：(-3k+1)xy 2. 系数为零：-3k+1=0 3. 解得k=1/3 检验：代入后xy项系数确实为0 答案：1/3 类型4：字母表示运算律 例1（2023年南通中考改编）用字母表示乘法分配律：______。 答案：a(b+c)=ab+ac 解析：必须包含字母a,b,c和运算符号 例2（2025年徐州模拟预测）若a☆b表示2a-b²，则3☆(x+1)=______。 答案：5-x²-2x 解析：3☆(x+1)=2×3-(x+1)²=6-(x²+2x+1)=5-x²-2x 四、课后作业 1．已知多项式． (1)求多项式各项的系数和次数． (2)如果多项式是七次五项式，求m的值． 【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式 第一项的系数是-6，次数是3； 第二项的系数是-7，次数是3m+1； 第三项的系数是，次数是4； 第四项系数是-l，次数3； 第五项-5系数是-5，次数是0． (2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2． 【总结升华】对于单项式的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识． 2.多项式是关于的二次三项式，求a与b的差的相反数． 【答案与解析】 3．已知：x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5的值． 【思路点拨】先把10x﹣2x2+5变形为﹣2（x2﹣5x）+5，然后把x2﹣5x=6整体代入进行计算即可． 【答案与解析】 解：10x﹣2x2+5 =﹣2（x2﹣5x）+5， ∵x2﹣5x=6， ∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7． 【总结升华】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值． 4. (2024年南京鼓楼区月考) 下列书写最规范的是（ ） A. a÷b    B. 2×a    C. 1⅔x    D. (m+n)千米 解析：代数式书写规范要点： ① 除法写分数形式（A不规范） ② 数字与字母相乘省略乘号（B不规范） ③ 数字与字母结合要规范（C不规范） ④ 带单位要加括号（D正确） 答案：D 5. 下列说法正确的是（       ） A. 单项式的次数是1 B. 多项式的常数项是5 C. 单项式的系数是 D. 是三次三项式 解析：概念辨析： A． 单项式的次数是2，说法错误，不符合题意； B． 多项式的常数项是，说法错误，不符合题意； C． 单项式的系数是，说法错误，不符合题意； D． 是三次三项式，说法正确，符合题意． 故选：D． 6. (2025年南通预测题) "a的2倍与b的平方的差"表示为（） A. 2a-b²    B. (2a-b)²    C. 2(a-b²)    D. 2(a-b)2 解析：数量关系分析： ① "a的2倍" → 2a ② "b的平方" → b² ③ "的差" → 2a-b² 易错点：注意运算顺序 答案：A 7. (2025年无锡滨湖区月考) 代数式½x²y-xy+7是____次____项式 解析：多项式识别： ① 项数：3项（½x²y, -xy, +7） ② 次数：最高项½x²y是三次 答案：三，三 8. (2023年常州预测题) 当k=____时，x3k-1y²与-½xy2是同类项 解析：同类项条件： 1. 字母相同 2. 相同字母的指数相等： x指数：3k-1 = 1 k=2/3 y指数：2 = 2 答案：2/3 9. (2024年连云港赣榆区联考，6分) 某电影院第一排有a个座位，后面每排比前一排多2个座位 （1）用代数式表示第n排的座位数 （2）当a=20，n=15时，求座位数 解析：建模过程： （1）等差数列模型： 首项a，公差2 → 第n排座位数：a + (n-1)×2 （2）代入计算：a=20, n=15 → 20 + (15-1)×2 = 20 + 28 = 48 答案：（1）a+2(n-1) （2）48个 10. (2023年江苏中考模拟，6分) 观察下列单项式：-x, 3x², -5x³, 7x⁴,... （1）写出第n个单项式 （2）写出第10个单项式 解析：规律发现： （1）分解要素： 符号：(-1)ⁿ 系数：1,3,5,7... → 2n-1 指数：xⁿ 综合：(-1)ⁿ(2n-1)xⁿ （2）代入n=10：(-1)10(2×10-1)x10 = 1×19x10 = 19x10 答案：（1）(-1)ⁿ(2n-1)xⁿ （2）19x10 学科网（北京）股份有限公司 $$