精品解析：江西省赣州市信丰县第四中学2024-2025学年九年级上学期第二次学情调研数学试题

2024--2025学年第一学期九年级数学测试题 （本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间110分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据中心对称图形与轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 B. “信丰明天降雨的概率为0.6”，表示信丰明天一定降雨 C. 成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 D. 自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是概率意义的理解，必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的判断，掌握必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的定义是解此题的关键．根据必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的定义逐一分析即可． 【详解】解：A．若抽奖活动的中奖概率为，抽奖50次不一定中奖1次，故该选项不符合题意； B．“信丰明天降雨的概率为0.6”,表示该地明天降雨是随机事件，故该选项不符合题意； C．成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故该选项不符合题意； D．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故该选项符合题意； 故选D 3. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α， ∴﹣1+α＝﹣1， ∴α＝0， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型． 4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，把抛物线y=2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为(　　) A. y=2(x﹣1)2﹣2 B. y=2(x+1)2﹣2 C. y=﹣2(x﹣1)2﹣2 D. y=﹣2(x+1)2﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线y=2x2绕原点旋转180°，即抛物线上的点（x，y）变为（-x，-y），代入可得抛物线方程，然后根据左加右减的规律即可得出结论． 【详解】解：∵把抛物线y=2x2绕原点旋转180°， ∴新抛物线解析式为：y=﹣2x2， ∵再向右平移1个单位，向下平移2个单位， ∴平移后抛物线的解析式为y=﹣2(x﹣1)2﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的平移变换规律，旋转变换规律，掌握抛物线的平移和旋转变换规律是解题的关键． 6. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出； ②：结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断； ③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断； ④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点， ∴，， ∴，∴，故①正确； 从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确； ∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0， ∴，∴，故③正确； ∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为，将代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴当时，； ∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确； 综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 7. 在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数． 【详解】解：根据、两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 8. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 9. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据摸到红球的频率稳定于，可估计摸到红球的概率约为，再设袋中红球个数为，根据概率公式列出关于的方程，解之得出答案． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 ∴可估计摸到红球的概率约为 设袋中红球个数为， 依据概率公式得： 解得 所以可估计袋中约有3个红球 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 10. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】x＝1 【解析】 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的对称轴． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的对称轴是直线， 故答案是：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握将抛物线解析式化为顶点式． 11. 设，是方程的两个实数根，则的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， ∴． 故答案为：10． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据旋转可得： BM = B1M1 = B2M2 = 3，∠AOA1 =∠AOA2 = 90°，可得B1和B2的坐标，即是B'的坐标． 【详解】解：∵A(-1，2)， OC= 4， ∴ C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3， AB//x轴，BM= 3． 将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后， 由旋转得：OM=OM1=OM2=2， ∠AOA1=∠AOA2=90° BM=B1M1=B2M2=3， A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴， ∴B1和B2的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)， ∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是， B' (-2， 3)， (2，-3)， 故答案为： (-2，3)或 (2， -3)． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．求这口宛田的面积． 【答案】（1），；（2）平方步 【解析】 【分析】（1）利用配方法，即可求解； （2）利用扇形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1），， 配方，得， ∴， ∴，； （2）解：∵扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步， ∴这块田的面积（平方步）． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，求扇形的面积，熟练掌握一元二次方程的解法，扇形的面积等于 乘以弧长再乘以扇形的半径是解题的关键． 14. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ； （2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）略 （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 15. 某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候． （1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 ． （2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：王明被安排到A小区进行服务的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下：A，B，C，D表示四个小区， A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果， 所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 16. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作关于点对称的； （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】（1）如图1所示； （2）如图2所示． 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点，，，然后顺次连接即可得； （2）计算得出AB=，AC=5，再根据旋转作图即可． 【详解】（1）略 （2）根据勾股定理可计算出AB=，AC=5． 【点睛】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 17. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数）． （1）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？ （2）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）每件文具的售价定为32元时，月销售利润为2520元 （2）当售价定为36元或37元时，月销售利润最大，最大是2720元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出方程和函数关系式是解答的关键． （1）设每件文具的销售单价上涨了x元时，根据“月销售利润为2520元”列出方程求解即可； （2）设月销售利润为y元，根据题意列出y关于x的函数关系式，进而利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件文具的销售单价上涨了x元， 根据题意，得 解得，， 当时，每件文具售价为41元，与每件文具售价不能高于40元矛盾，故舍去； 当时，每件文具售价为32元，符合题意， 答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润为2520元； 【小问2详解】 解：月销售利润为y元， 根据题意，得当销售单价上涨了x元时，销量是件， ∵每件文具售价不能高于40元， ∴， 故， 整理得：， 即， ∵，是正整数， ∴取6或7， 当时，，当时，， 答：当售价定为36或37时，月销售利润最大，最大是2720元． 19. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 直线与相切，理由：如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）图中阴影部分的面积 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）中图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 20. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1） （2）2或6m 【解析】 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. （1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 【答案】 （1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； 如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； （2） 【解析】 【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论； （2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长． 【详解】解：（1）略 （2）如图4，连接OA，OB，OP， ∵∠C=60°， ∴∠AOB=2∠C=120°， ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°， ∵OA=2， ∴OP=2OA=4， ∴PA= 【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键． 22. 已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处，∠α绕着顶点O旋转，角的两边与正n边 形的两边分别交于点M、N，∠α与正n边形重叠部分面积为S． （1）当n=4，边长为2，∠α=90°时，如图（1），请直接写出S的值； （2）当n=5，∠α=72°时，如图（2），请问在旋转过程中，S是否发生变化？并说明理由； （3）当n=6，∠α=120°时，如图（3），请猜想S是原正六边形面积的几分之几（不必说明理由）．若∠α的平分线与BC边交于点P，判断四边形OMPN的形状，并说明理由． 【答案】（1）1；（2）不变；（3），四边形OMPN是菱形． 【解析】 【分析】（1）如图1，连接对角线OA、OB，证明△AOM≌△BON（ASA），则S△AOM=S△BON， 所以S=S△ABO= S正方形ABCD=×4=1； （2）如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变，连接OA、OB，同理证明△OAM≌△OBN，则S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB，故S的大小不变； （3）如图3，120°相当于两个中心角，可以理解为一个中心角连续旋转两次，由前两问的推理得，旋转一个中心角时重叠部分的面积是原来正n边形面积的，则S是原正六边形面积的；也可以类比（1）（2）证明△OAM≌△OBN，利用割补法求出结论； 四边形OMPN是菱形， 理由如下：如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P，作辅助线构建全等三角形，同理证明△OAM≌△OBP≌△OCN，得△OMP和△OPN都是等边三角形，则OM=PM=OP=ON=PN，根据四边相等的四边是菱形可得：四边形OMPN是菱形． 【详解】（1）解：如图1，连接OA、OB， 当n=4时，四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，AO⊥BO， ∴∠AOB=90°， ∴∠AON+∠BON=90°， ∵∠MON=∠α=90°， ∴∠AON+∠AOM=90°， ∴∠BON=∠AOM， ∵O是正方形ABCD的中心， ∴∠OAM=∠ABO=45°， 在△AOM和△BON中， ∵ ， ∴△AOM≌△BON（ASA）， ∴S△AOM=S△BON， ∴S△AOM+S△AON=S△BON+S△AON， 即S四边形ANDM=S△ABO=S， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴S正方形ABCD=2×2=4， ∴S=S△ABO=S正方形ABCD=×4=1； （2）解：如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变， 理由如下：连接OA、OB， 则OA=OB=OC，∠AOB=∠MON=72°， ∴∠AOM=∠BON，且∠OAB=∠OBC=54°， ∴△OAM≌△OBN， ∴四边形OMBN的面积：S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB， 故S的大小不变； （3）解：猜想：S是原正六边形面积的，理由是： 如图3，连接OB、OD， 同理得△BOM≌△DON， ∴S=S△BOM+S四边形OBCN=S△DON+S四边形OBCN=S四边形OBCD= S六边形ABCDEF； 四边形OMPN是菱形， 理由如下： 如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P， 连接OA、OB、OC、OD、PM、PN， ∵OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MOP=∠PON=60°， ∴∠OAM=∠OBP=∠OCN=60°，∠AOM=∠BOP=∠CON， ∴△OAM≌△OBP≌△OCN， ∴OM=OP=ON， ∴△OMP和△OPN都是等边三角形， ∴OM=PM=OP=ON=PN， ∴四边形OMPN是菱形． 【点睛】本题考查了正n边形的性质、全等三角形的性质和判定、正n边形的中心角、中心等定义以及旋转等知识，明确正n边形的中心角=，熟练掌握全等三角形的性质和判定，难度适中，本题还运用了类比的思想解决数学问题． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知抛物线（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … m 0 n … （1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； （2）求抛物线的表达式及m，n的值； （3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ （4）设直线与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系 ． 【答案】（1）上，直线 （2），， （3） 作图如下，中点连接后的图象如图所示， 点的轨迹为抛物线 （4） 【解析】 【分析】（1）由表中数据分析即可得到开口方向及对称轴； （2）代入，解方程组，即可求得表达式；代入即可得到的值； （3）根据要求画出函数图象，设，得到，然后求出，即可得到点的轨迹所在曲线是抛物线； （4）根据题目要求，画出图象，设，，，的横坐标依次为，，，，表示出，然后分别联立直线和两条抛物线得到，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 由表可知：时，；时，，时， ∴抛物线开口方向向上； 由表可知：时，，时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：上，直线； 【小问2详解】 由表可知：代入点，，得 ，解得 ∴抛物线的表达式为：； 当时，； 当时，； 【小问3详解】 ∵设 ∵的中点为， ∴ ∴点P的横坐标，纵坐标 ∴ ∴将代入 ∴点的轨迹所在曲线是抛物线； 【小问4详解】 如图所示， 设，，，的横坐标依次为，，，， ∴， ∴ 联立直线和抛物线得， 整理得， ∴； 联立直线和抛物线得， 整理得， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的探究题，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的和性质，画二次函数图象，能根据表格求出抛物线的解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年第一学期九年级数学测试题 （本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间110分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 B. “信丰明天降雨的概率为0.6”，表示信丰明天一定降雨 C. 成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 D. 自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 3. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，把抛物线y=2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为(　　) A. y=2(x﹣1)2﹣2 B. y=2(x+1)2﹣2 C. y=﹣2(x﹣1)2﹣2 D. y=﹣2(x+1)2﹣2 6. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 7. 在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝_____． 8. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 9. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个． 10. 抛物线的对称轴是直线______． 11. 设，是方程的两个实数根，则的值是 _____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．求这口宛田的面积． 14. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 15. 某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候． （1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 ． （2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率． 16. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作关于点对称的； （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 17. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数）． （1）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？ （2）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 19. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 20. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. （1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 22. 已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处，∠α绕着顶点O旋转，角的两边与正n边 形的两边分别交于点M、N，∠α与正n边形重叠部分面积为S． （1）当n=4，边长为2，∠α=90°时，如图（1），请直接写出S的值； （2）当n=5，∠α=72°时，如图（2），请问在旋转过程中，S是否发生变化？并说明理由； （3）当n=6，∠α=120°时，如图（3），请猜想S是原正六边形面积的几分之几（不必说明理由）．若∠α的平分线与BC边交于点P，判断四边形OMPN的形状，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知抛物线（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … m 0 n … （1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； （2）求抛物线的表达式及m，n的值； （3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ （4）设直线与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $