精品解析： 湖北省荆州市松滋市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年湖北省荆州市松滋市八年级（下）期末数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，，5 C. 6，8，11 D. 5，12，13 3. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C D. 5. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，是一次函数图象上的两点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块水里 B. 当时，拉力与之间的函数表达式为 C. 当时，此时石块完全浸入水中 D. 当时，此时石块所受浮力不变 10. 已知如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接若，；小宇同学过中点作，交于，构造一条中位线，探究出以下一些结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 13. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是______． 14. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 15. 如图，在中，，，为的中点，为边上的一点，将沿翻折得到，与交于点，若的面积是的倍． （1） ______； （2）的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，求代数式值． 18. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，已知，，．求证：四边形是平行四边形． 19. 如图在平面直角坐标系中，点在直线：上，直线：经过点，且与轴交于点． （1）先求值，再求出直线的表达式； （2）直接写出时，的取值范围． 20. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 21. 如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）过点作，垂足为点，连接，若，，求的长． 22. 年月，某次大型羽毛球比赛在荆州圆满落幕，荆州作为“羽毛球之乡”已培养出谌龙、王祉怡等多位世界冠军，各中小学也在大力发展羽毛球运动，某体育用品商店抓住商机，计划购进，两种型号羽毛球拍共副进行销售，其中购进型号球拍不超过副，它们的进价和售价如表所示．已知购进副型球拍和副型球拍共需花费元，购进副型球拍和副型球拍共需花费元． 商品 进价 售价 型球拍元副 型球拍元副 （1）求，的值； （2）该商店根据以往的销售经验，决定购进型球拍数不少于型球拍数的一半．设购进型球拍副，售完这批体育用品共获利元． 求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？试求出最大利润． 23. 问题情境：如图，在平行四边形中，，垂足为，为的中点，连接，． （1）求证：；请阅读下文“思路领航”解决问题 思路领航： 思路：如图，从已知条件出发，考虑点垂足、中点特殊性，小智同学分别延长和相交于点，构造了三角形全等和直角三角形解决了问题； 思路：如图，小慧同学则过点作，交于点，交的延长线于点，构造直角三角形全等解决问题；请你任意选择一种思路证明；也可用其他方法解决 拓展探究：小聪同学突发奇想，将平行四边形沿为中点所在的直线折叠，如图，点的对应点为，连接，并延长交于点； （2）求证：为直角三角形； （3）猜想并证明与的数量关系，并加以证明． 24. 如图，已知直线：与轴，轴分别交于，两点，过点的直线与轴负半轴交于点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）如图，若将沿线段方向平移得到点的对应点为点，点的对应点为点，连接，过点的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； （3）如图，若直线：与轴正半轴交于点，与直线交于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省荆州市松滋市八年级（下）期末数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、是最简二次根式，正确； B、=2，不是最简二次根式，不正确； C、=2，不是最简二次根式，不正确； D、=3不是最简二次根式，不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式满足的条件为：被开方数中不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，，5 C. 6，8，11 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A.，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B. ，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C. ，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D. ，可以构成直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 下列四个图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义的知识，对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点；本题根据函数的定义，逐项判断，进行作答即可求解； 【详解】解：选项A、B、C中的图象，对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，都不符合题意； 选项D中的图象，对于的任何值，有一个或两个的值与之相对应，不是的函数，符合题意； 故选：D. 5. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可． 【详解】解：∵， ∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵， ∴选择甲参赛； 故选：A． 7. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为． 故选：B ． 8. 已知点，是一次函数图象上的两点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，即可得出和的大小关系． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又点，是一次函数图象上的两点，， ． 故选：C． 9. 在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块在水里 B. 当时，拉力与之间的函数表达式为 C. 当时，此时石块完全浸入水中 D. 当时，此时石块所受浮力不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、一次函数的应用等知识点，采用数形结合的思想解决函数图象问题是解决本题的关键． 结合所给函数图象以及一次函数的相关知识逐个选项分析判断即可解答． 【详解】解：从图象看，石块在下降时拉力不发生变化，对应的拉力为， 当时，此时石块还在水面上方，故A选项错误，不符合题意； 当时，设函数解析式为， ， 解得：， 拉力与之间的函数表达式为，故B选项错误，不符合题意； 从图象看：当时，石块所受的拉力为，拉力开始不变，此时石块完全浸入水中，故C选项错误，不符合题意； 当时，石块所受的拉力不变， 石块的重力为，， 石块所受浮力不变，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 10. 已知如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接若，；小宇同学过中点作，交于，构造一条中位线，探究出以下一些结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．过点作交于点，由，，则，证明和全等得，则，证明是的中位线得，，进而得，由勾股定理得，进行逐一判断即可解决问题． 【详解】解：过点作交于点，如图所示：   ， ，， 四边形是正方形， ，， 和均为直角三角形，， 在和中， ， ，故正确； ，， ， ， 是等腰直角三角形，故正确； ，， ， 点为的中点，， ， 是的中位线， ∴， ，，故正确，错误； ， ， 是等腰直角三角形， ，故正确， 正确的结论有， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的一次函数解析式，进而把代入求出的值即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，得到的新的一次函数的解析式为， 当时，， ∴新的一次函数的图象与轴的交点坐标是， 故答案为：． 14. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长14.5尺． 故答案为：14.5． 15. 如图，在中，，，为的中点，为边上的一点，将沿翻折得到，与交于点，若的面积是的倍． （1） ______； （2）的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及平行四边形的判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质，证明四边形是平行四边形． （1）由，得，根据三角形同高可得； （2）连接，，求出，，由，可得，即得，由翻折可知，，，可得，从而四边形是平行四边形，有，根据勾股定理得． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为： （2）连接，，如图： 在中，，，， 由勾股定理得：， 点是的中点， ， ， ， ， ， 由翻折可知，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的性质计算后再算加减即可； （）利用二次根式的乘法及除法法则，有理数的乘方法则，零指数幂计算后再算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先求出x+y、x-y，然后再对原式因式分解，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识点，灵活应用因式分解解决问题成为解答本题的关键． 18. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，已知，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，，然后得到，然后结合，即可得到四边形是平行四边形． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 19. 如图在平面直角坐标系中，点在直线：上，直线：经过点，且与轴交于点． （1）先求的值，再求出直线的表达式； （2）直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了两条直线平行或相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围． （1）先求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出的范围． 【小问1详解】 解：由题意，点在直线：上， ， ， 直线：经过点，且与轴交于点， ， ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，不等式的解集是一次函数在的图象上方的部分对应的自变量的取值范围， 又一次函数与的图象交于， 结合图象可得，不等式的解集是． 20. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）86.5，87； （2）126； （3），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据样本估计总体的方法求解即可； （3）根据两个年级抽取的20名学生的成绩在的人数判断出，的大小，进而比较即可． 【小问1详解】 ∵一共抽取20名学生 ∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数 ∴第10名学生和第11名学生成绩分别为86，87 ∴； 抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多 ∴众数； 【小问2详解】 （人） ∴估计七、八两个年级成绩在的人数一共为126人； 【小问3详解】 ∵七年级抽取20名学生的成绩在的有4人 ∴排名第5的学生的成绩中最高成绩， ∴ ∵八年级抽取的20名学生的成绩在的有6人 ∴排名第5的学生的成绩 ∴． 21. 如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）过点作，垂足为点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，，求出，，则，，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）利用勾股定理求出，，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解答本题的关键． 22. 年月，某次大型羽毛球比赛在荆州圆满落幕，荆州作为“羽毛球之乡”已培养出谌龙、王祉怡等多位世界冠军，各中小学也在大力发展羽毛球运动，某体育用品商店抓住商机，计划购进，两种型号羽毛球拍共副进行销售，其中购进型号球拍不超过副，它们的进价和售价如表所示．已知购进副型球拍和副型球拍共需花费元，购进副型球拍和副型球拍共需花费元． 商品 进价 售价 型球拍元副 型球拍元副 （1）求，的值； （2）该商店根据以往的销售经验，决定购进型球拍数不少于型球拍数的一半．设购进型球拍副，售完这批体育用品共获利元． 求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？试求出最大利润． 【答案】（1）50；65 （2）①取整数；②购进型球拍副、型球拍副时，获利最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）根据“购进副型球拍和副型球拍共需花费元，购进副型球拍和副型球拍共需花费元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①由题意即可得出关于的函数关系式，根据“购进型球拍数不少于型球拍数的一半”列出不等式，求出的取值范围即可； ②根据一次函数的性质求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得， ，； 【小问2详解】 解：①由题意得， 整理得：， 由条件可知， 购进型球拍数不少于型球拍数的一半， ， 解得：， 则取值范围为：， 关于的函数关系式为 取整数； ②由中，，可得随的增大而减小， ，取整数， 当时，， 答：购进型球拍副、型球拍副时，获利最大，最大利润元． 23. 问题情境：如图，在平行四边形中，，垂足为，为的中点，连接，． （1）求证：；请阅读下文“思路领航”解决问题 思路领航： 思路：如图，从已知条件出发，考虑点垂足、中点的特殊性，小智同学分别延长和相交于点，构造了三角形全等和直角三角形解决了问题； 思路：如图，小慧同学则过点作，交于点，交的延长线于点，构造直角三角形全等解决问题；请你任意选择一种思路证明；也可用其他方法解决 拓展探究：小聪同学突发奇想，将平行四边形沿为中点所在的直线折叠，如图，点的对应点为，连接，并延长交于点； （2）求证：为直角三角形； （3）猜想并证明与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）思路1：如图2，分别延长，相交于点，根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质得到，得到，求得； 思路2：过点作，交于点，交的延长线于点，由平行四边形的性质得到，则可证明，证明，得到；证明四边形是平行四边形，得到，则可证明，进而证明； （2）根据折叠的性质得到，推出，根据等边对等角和三角形内角和定理可证明； （3）如图，由翻折可知：，，由为的中点，得到，证明，得，根据平行四边形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到． 【小问1详解】 证明：思路1：如图2，分别延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ，， 为的中点， ， ， ，即为的中点， ， ， ， 思路2：如图3，过点作，交于点，交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， 为的中点， ， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：是由翻折得到， ∴， （线段中点的定义）， ， ∴， ∵， ∴ ，即为直角三角形； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图，由翻折可知：，， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 24. 如图，已知直线：与轴，轴分别交于，两点，过点的直线与轴负半轴交于点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）如图，若将沿线段方向平移得到点的对应点为点，点的对应点为点，连接，过点的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； （3）如图，若直线：与轴正半轴交于点，与直线交于点，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）由求出，，根据，得到，再用待定系数法可得直线的函数表达式； （）设的中点为，由将沿线段方向平移得到，知四边形是平行四边形，故直线经过点的中点，求出，，再用待定系数法可得直线的表达式； （）过点作直线交于点，过点作轴，交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，设点、点，可得直线：过定点，证明，得到，，解方程组得到点，代入即可求解． 【小问1详解】 解：在中，令得，令得， ，， ， ， ， 设直线的函数表达式为，把、代入得： ， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设的中点为，如图： ∵将沿线段方向平移得到， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵直线恰好将四边形的面积分成相等的两部分， ∴直线经过平行四边形的对称中心，即直线经过点的中点， ，， ， ，， ∴直线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴， 设直线的表达式为，把、代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问3详解】 解：过点作直线交于点，过点作轴，交过点和轴平行线于点，交过点和轴的平行线于点，如图： 设点、点， 在中，令得， ∴直线：过定点， ，直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ∴点， 将点的坐标代入，得， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，图象的平移，一次函数几何应用，平行四边形的判定和性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $