吉林省长春市第六中学2024-2025学年高二下学期第三学程（期末）考试数学试题

充二下学期筑三学超考试 2024一2025年度高二下学焖第三学程考试 数学兴科试因 时间：120分钟分数：150命思：李峰审愿：戴友三 一、过弃感：共8小恩，每小恩石分，共·40分、在每小恩给出的四个选变中，只有 一个进项是正辞的.请把正确的选贸填武在谷恩卡相应的位置上 1色知袋合4=ir+x-20B=(eZ1-lkx<2斗，期4机B=() A.{x-1<x<2} B.{x1-2sxs1}c.{-l,0,} D.{0,} 2.会蓝p:r50,x-2r+as0的否定是（) A.x>0,x2-2x+as0 B.3r>0,x2-2x+as0 C.xs0,x2-2x+a>0 D.3xs0,x2-2x+a>0 的展开式中，下列说法不正确的是() A畲数项超1120 B.第四项和第六项的系数相等 C.各项的二项式系数之和为256 D.各项的系数之和为1 .运数)=03'-G的g点所在区间是（) A.(0,03) B.(03,05) c.(0.5,) D.(1,2) 5某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑置，70%的同学爱好滑冰 成及好滑置在法地的中学生中随机设查一位同学，若该同学泛好滑留，则该同学也爱好 滑冰的：率为() A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 6.花函数y=0g05x的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长 度，母到函数y=f(x)的图象，若(a)=-∫()，划a+b的设小值为（) A:-4 B.-3 c 2 D.1 2a-l)n(c-x,x<0, 7已知函数∫()= 2-a2 在R上单调递减，则a的取值范因是() 0 数学学科试题 第1/6页 高二下学期第三学器考试 制 a哈 c.[ .经* 8.己知倜函数(x)的定义域为R,对任旅的x满足∫(-x)=∫(x+2),且∫(x)在区 0上是流看和=3,6=景e极625.周/0)刊， (©的大小关系为() A.(e)>(a)>(b)B.()()>(a)c.f(a)>f()>(c)D.f(a)>s(c)>(b) 二、进择题，共3小题，每小思6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合愿 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（) A.在研究变盘蚁性相关关系时，，越接近】则变量之间的线性相关程度鹅强 B.若x~B(10,),且Y=3X-1,则D(Y)=20 C.决定系数R超小，表示残差平方和越小，即棋型的拟合效果越好 D.已知随机变绿F~N(u,2,若4=0，则函数f()=P(x-1<5<x+)在 (山，+∞)上单调递减 10.以下结论正确的是( A若a2+-l,则a+b的最大值为2 B.若(a+1)(b+1)=4,则a+b≥2 c若a>0,b>0,则a2+b2+的绿小值为2N5 ab D.若0e(0,,则 26eas29+22 1儿已知函数∫因份=+一，则下列结论正确的是( A.函数(x)存在三个不同的零点 B.函数八)既存在极大值又存在极小值 C.若xe,o)时，f八似=三，则的最小值为2 D.若方腿网=有两个实根，则kE(%0LU) 数学学科试题 第2/6页 高二下学期第三学程为试 三、填空题：本愿共3小题，每小恶5分，共15分 12为了解教育改革制度出台后学生每周的银炼时长情况，从菜市中小学抽取样本，经分 析得到改革后学生每周的锻炼时长X(单位，小时)近拟展从正态分布N4,σ)， 者P(X<18)=a,则P0≤Xs14)= 13.将6个不同的球分份3个不同的盒子（每个盘子至少有一个球），则不同的分配方法 的种数为一 4已知函数了)=/4+儿.xs1 c,x>1 若函数g(x)=f(x)-r有三个袋点，则实数m 的取值范围为 四、解答题：共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)己知敬列{a,}是由正数组成的等比数列，且4=256，马+a4=20a2, (1)求数列{a}的通项公式 (2)设数列{亿}搁足6=a+oga,求数列{b,}的前n项和T. 16.(15分)甲.乙两人共同参加某公司的面试，面试分为初试和复试，若初试不通 过，则不用参加复试，复试通过则被录用，否则不被录用.已知甲通过初试和复试的概率 分别为，，乙通过初试和复试的概率均为·两人是否通过面试相互独立 (1)求甲、乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率： (2)设两人中被录用的人数为X,求X的分布列及数学期望， 数学学科试题 第3/6页 高二下学期第三学程考试 三、填空题：本愿共3小愿，每小题6分，共15分 12为了解敬育改革例度出台府学生每周的炼时长情况，从某市中小学抽取样本，经分 析得到改革后学生每周的银炼时长X(单位，小时)近似底从正态分布N(14,σ)， 者PX<I8)=a,则PI0≤X≤I4)=_ 13.将6个不同的球分给3个不间的盒子（每个盒子至少利一个球），则不同的分配方法 的种数为 14已奥知函数f)=址+儿xs1 c,x>1 若函数g(x)=f(x)-心有三个翠点，则实数m 的取值范围为 四、解答愿：共5小题，共T7分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知数列{a,}是由正数组成的等比数列，且a=256,a+a4=20a2 (1)求数列{a,}的通项公式 (2)设数列{亿}搁足b,=an+og4,求数列{b,}的前n项和T. 16.(15分)甲.乙两人共同参加某公司的面试，面试分为初试和复试，若初试不通 过，则不用参加复试，复试通过则被录用，否则不被录用.已知甲通过初试和复试的概率 分别 21 3分 乙通过初试和复试的极率均为与，两人是否通过面试相互独立 (1)求甲，乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率： (2)设两人中被录用的人数为X,求X的分布列及数学期望。 数学学科试题 第3/6页 高二下学期第三学程考试 I8.(17分)已知函效f(x)=ax+nr+1. (1)4▣-1，求函数(x)的最大值： (2)若f()-∫(x)≤0恒成立，求a的取值集合： (3)令F(x)=(x)--l,过点P(x0,%)作曲线y=F()的两条切线，若两切点 栈坐标互为倒数，求证点P一定在第一象限内. 数学学科试题 第5/6页 高二下学朔剪三学程考试 19.（17分) E版5到台线G号-号=1比 (1)求C的方程： (2)知图，若直线！垂直于直线OA,且与C的右支交于P、? 两点，宜线AP、A0与y轴的交点分别为点从、片，记四边形 MPOW与三角形P2的西锐分别为S与S,宋是的取值范 思. 数学学科试愿 第6/6页高二下学期第三学程考试 数学学科答案 第 1 / 8 页 2024—2025年度高二下学期第三学程考试 数学学科试题答案 时间：120 分钟 分数：150 命题：李峰 审题：戴友三 一、选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 【答案】D【详解】易得  0,1B = ，而 2 20 0 2 2 0,1 1 2 0 0+ − = −  + − =  ， 所以0 ,1A A  ，所以  0,1A B = ，故选：D. 2．【答案】．C由题意知，原命题的否定为： 20, 2 0x x x a  − +  . 3.. 【答案】B【详解】根据二项式定理, 8 1 2x x   −    的通项公式为 ( )8 8 21 8C 2 1 kk k k kT x − − + = − , 对于 A,常 数项为 ( ) 44 4 8C 2 1 1120− = ,故 A正确; 对于 B,第四项的系数为 ( ) 33 8 3 8C 2 1 1792 − − = − ,第六项的系数为 ( ) 55 8 5 8C 2 1 448 − − = − ,故 B错误; 对于 C,因为 8n = ,所以各项的二项式系数之和为 82 256= ,故 C正确; 对于 D,令 1x = ,各项的系数之和为1,故 D正确 故选:B 4．【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知： 0.3xy = 在R 上单调递减， y x= 在 )0, + 单调递增，所以 ( ) 0.3xf x x= − 在定义域上单调递减， 显然 ( ) ( ) ( )0.3 0.5 0.5 0.50 1 0, 0.3 0.3 0.3 0, 0.5 0.3 0.5 0f f f=  = −  = −  ， 所以根据零点存在性定理可知 ( )f x 的零点位于 ( )0.3,0.5 .故选：B 5.【答案】A【详解】同时爱好两项的概率为0.5 0.6 0.7 0.4+ − = ， 记“该同学爱好滑雪”为事件A ,记“该同学爱好滑冰”为事件 B ， 则 ( ) 0.5, ( ) 0.4P A P AB= = ，所以 ( ) 0.4 ( ) 0.8 ( ) 0.5 P AB P B A P A = = =∣ .故选:A . 6. 【答案】B【详解】由题意可得 ( ) ( )0.5log 2 1f x x= + − ，因为 ( ) ( )f a f b= − ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( )0.5 0.5log 2 1 log 2 1 0f a f b a b+ = + − + + − = ， 所以 ( )( )0.5log 2 2 2a b+ + = ，即 ( )( ) 1 2 2 4 a b+ + = ，且 2 0, 2 0a b+  +  . 因为 ( ) ( ) ( )( )2 2 4 2 2 2 4 3a b a b a b+ = + + + −  + + − = − ，当且仅当 3 2 a b= = − 时，取到最小值.故 选：B 7【答案】C【详解】由题意有：当 0x  时， ( ) ( ) ( )2 1 ln ef x a x= − − ， 所以 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 0 e e a f x a x x − = −  − = −   − ， 所以1 2 0a−  ，当 0x  时， ( ) 22 eax a f x − = ，所以 ( ) ( )2 2 0 eax a a f x −  =  ，所以 ( ) ( )( )2 2 2 2 0a a a a a− = − +  ， 又 ( )f x 在R 上单调递减，所以 ( )( ) 2 1 2 0 2 2 0 2 1 2 a a a a a a −   − +   −  − ，解得1 2a  ， 所以 )1, 2a  ，故选：C. 高二下学期第三学程考试 数学学科答案 第 2 / 8 页 8. 【答案】D【详解】因为 ( ) ( )2f x f x− = + ，所以 ( )f x 关于 1x = 对称， 又因为 ( )f x 为偶函数，所以 ( ) ( ) ( )2f x f x f x= − = + ， 所以 ( )f x 为周期函数， 2T = ， 因为 3 3 3 3 2 1 log log 2 log 81 log 2 4 81 2 b = = − = − ，且 30 log 2 1  ， 所以 7 4 2 b−   − ， 1 0 4 2 b +  ， 因为 3 4 4 4 4 4log 4 log 2 2 log 3 log 4 1=   = ，所以 4 3 log 3 ,1 4 a   =     又因为 2 1 3 log 2 2 4 4 c = = ，所以0 4 1b c a +    ， 因为 ( )f x 在 ( )1,0− 上单调递减， ( )f x 为偶函数， 所以 ( )f x 在 ( )0,1 上单调递增，所以 ( 4) ( ) ( )f b f c f a+   ， 所以 ( ) ( ) ( )f b f c f a  ，故选：D. 9.【答案】BD【详解】选项 A，在线性相关关系中，相关系数 r的取值范围是  1,1− ． 当 0r  时，表示两个变量正相关；当 0r  时，表示两个变量负相关． r 越接近 1，说明变量之间的线性相关程度越强； r 越接近 0，说明变量之间的线性相关程度越弱． 所以 r 越接近 1 则变量之间的线性相关程度越强，该选项错误． 选项 B，若随机变量 ( ),X B n p ，则其方差 ( ) ( )1D X np p= − ． 已知 1 10, 3 X B        ，则 1 10, 3 n p= = ，那么 ( ) 1 1 1 2 20 10 1 10 3 3 3 3 9 D X   =   − =   =    ． 因为 3 1Y X= − ，根据方差的性质：若Y aX b= + （ ,a b为常数），则 ( ) ( )2D Y a D X= ． 所以 ( ) ( )2 20 3 9 20 9 D Y D X=  =  = ，该选项正确． 选项 C：应该是决定系数 2R 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好故 C不正确． 选项 D，已知随机变量 ( )2,N   ，若 0 = ，则正态分布曲线关于 0x = 对称． 函数 ( ) ( )1 1f x P x x= −   + 表示的是随机变量落在区间 ( )1, 1x x− + 上的概率． 随着 x 在 ( )1, + 上增大，区间 ( )1, 1x x− + 离对称轴 0x = 越来越远，根据正态分布的性质， 该区间对应的概率越来越小，即函数 ( )f x 在 ( )1, + 为单调递减，该选项正确． 故选：BD． 10. 【答案】ACD 【详解】对于 A， ( ) ( ) 2 2 2 2 22 1 2 1 2a b a b ab ab a b+ = + + = +  + + = ， 当且仅当 2 2 a b= = 时等号成立，所以 2 2a b−  +  ，故 A正确； 对于 B， ( )( )1 1 1 4a b ab a b+ + = + + + = ，所以 ( ) ( ) 2 3 4 a b ab a b + = − +  ， 即 ( ) ( ) 2 124 0b aa b+ −+ + ，解得 2a b+  （当且仅当 1a b= = 时等号成立）或 6a b+  − （当且仅 当 3a b= = − 时等号成立），故 B错误； 对于 C，因为 0a  ， 0b  ，所以 2 2 1 12 2 2a b ab ab ab + +  +  ， 高二下学期第三学程考试 数学学科答案 第 3 / 8 页 当且仅当 1 2 a b ab ab =   =  ，即 2 2 2 2 a b= = 时等号成立，故 C正确； 对于 D， ( )2 22 2 2 2 1 1 1 1 1 sin cos 1 sin cos 1 2 sin cos 1         + = + + +  + +  ( ) 2 2 2 2 cos 1 sin 1 sin c 2 s 1 1 1 2 2 2 o 1 2       = + + + + +  + =    ， 当且仅当 2 2 2 2 cos 1 sin sin cos 1     + = + ，即cos 0 = ， sin 1 = ，即 π 2  = 时等号成立，故 D正确 故选：ACD 11.【解析】对于 A ：令 ( ) 0f x = ，得 2 1 0x x+ − = ，△ 21 4 1 ( 1) 5 0= −   − =  ， 对于 B ：所以方程 2 1 0x x+ − = 有两个不相等的实数根， 所以函数 ( )f x 有两个零点，故 A 错误； 函数 2 1 ( ) x x x f x e + − = 定义域为 R ， 2 2 2 (2 1) ( 1) 2 ( ) ( ) x x x x x e e x x x x f x e e + − + − − + +  = = ， 令 ( ) 0f x = 得 1x = − 或 2x = ， 所以在 ( , 1)− − 上 ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减， 在 ( 1, 2)− 上 ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增， 在 (2, )+ 上 ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减， 所以 ( )f x 有极小值 ( 1)f e− = − ，极大值 f （2） 2 5 e = ，故 B 正确； 对于C ：当 [x t ， )+ ， 2 5 ( )maxf x e = ， 因为 f （2） 2 5 e = ，且 [2x ， )+ ， ( )f x 单调递减， 所以 t 的最大值为 2，故C 错误； 对于 D ：作出函数 ( )f x 的图象： 若方程 ( )f x k= 有两个实根，则 2 5 ( ,0]k e e    −     ，故 D 正确． 故选： BD ． 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 1 2 a − 【详解】由题设 1 ( 14) 2 P X  = 且 ( 10) ( 18) 1 ( 18) 1P X P X P X a =  = −  = − ， 所以 1 1 (10 14) (1 ) 2 2 P X a a  = − − = − . 13. 【答案】540 【详解】先给不同的6 个球分成三组，不同的分组方式如下： 第一种情况，一组1个、一组 2个、一组3个，此为不平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的3个盒子，则不同的分配方法种数为 1 36 32 5 33C AC C 360= 种； 第二种情况，一组1个、一组1个、一组4个，此为部分平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的3个盒子，则不同的分配方法种数为 1 1 4 3 6 5 4 3 2 2 C C C A 90 A = 种； 第三种情况，一组2个、一组 2 个、一组2 个．此为平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的3个盒子，则不同的分配方法种数为 2 2 2 3 6 4 2 3 3 3 C C C A 90 A = 种. . 高二下学期第三学程考试 数学学科答案 第 4 / 8 页 综上所述，不同的分配方法种数为360 90 2 540+  = 种.故答案为：540. 14. 【答案】 ( ) ( )0,1 2, + 【详解】易知 0x = 为 ( )g x 的零点，当 0x  时，令 ( ) ( ) 0g x f x mx= − = ，得 ( )f x m x = ， 令 ( ) ( )f x h x x = ，可得到 ( ) 1 1 , 1 0 , 1 x x x x h x e x x −  +    =    且 ，作出 ( )h x 的图像， 如下图，依题意，只需 y m= 与 ( )y h x= 有两个交点即可. 由图可得 ( ) ( )0,1 2,m   + . 故答案为： ( ) ( )0,1 2,  + 15.【答案】（1） 14nna −= （2） 2 4 1 3 3 n nT n n= + − − 【小问 1详解】 设等比数列 na 的公比为 ( )0q q  ，由 3 4 220a a a+ = ， 得 2 3 1 1 120a q a q a q+ = ，………………………………………..1分 ∵ na 是由正数组成的等比数列，则 1 0a  ， 0q  ， 则 2 20 0q q+ − = ，解得 4q = 或 5q = − （舍），…………………….3分 又 5 256a = ，所以 4 1 256a q = ， …………………….4分 解得 1 1a = ，……………………5分 所以 1 1 1 4 n n na a q − −= = ……………………..6分 【小问 2详解】 1 1 1 2 2log 4 log 4 4 2 2 n n n n n nb a a n − − −= + = + = + − ，……………………..8分 所以 ( ) ( ) ( ) ( )11 0 4 2 16 4 4 2 2nnT n−= + + + + + + + + − ……………………..9分 ( ) ( )11 4 16 4 0 2 4 2 2n n−= + + + + + + + + + − ……………………..10分 ( ) ( )1 1 4 0 2 2 1 4 2 n n n − + − = + − ……………………..12 分 24 1 3 3 n n n= + − − ……………………..13分 16. 【答案】（1） 7 12 （2）分布列见解析， 17 . 36 【小问 1详解】记“甲､乙两人至少有 1人通过初试且没有通过复试”为事件 A， 甲通过初试且没有通过复试的概率为 1 2 1 4 1 3 3 9 P   =  − =    ，…………………….2分 乙通过初试且没有通过复试的概率为 2 1 1 1 1 2 2 4 P   =  − =    ，…………………….4分 高二下学期第三学程考试 数学学科答案 第 5 / 8 页 所以 ( ) ( )( )1 2 4 1 7 1 1 1 1 1 1 9 4 12 P A P P     = − − − = − −  − =        ，…………………….6分 即甲､乙两人至少有 1人通过初试且没有通过复试的概率为 7 12 .…………………….7分 【小问 2详解】 由题意知 X 的所有可能取值为0,1,2.…………………….8分 甲被录用的概率为 2 1 2 3 3 9  = ， ……………………..9 分 乙被录用的概率为 1 1 1 2 2 4  = ， …………………….10.分 所以 ( ) 2 1 7 0 1 1 9 4 12 P X     = = −  − =        ，…………………….11.分 ( ) 2 1 2 1 13 1 1 1 9 4 9 4 36 P X     = = −  +  − =        ，…………………….12.分 ( ) 2 1 1 2 9 4 18 P X = =  = ，……………………..13分 则 X 的分布列为 X 0 1 2 P 7 12 13 36 1 18 ……………………..14分 ( ) 7 13 1 17 0 1 2 . 12 36 18 36 E X =  +  +  = …………………….15分 17【详解】（1）由题意得： 14 28 35 41 46 32.8 5 y + + + + = = ；…………….1.分 设 lnt x= ，则 5 1 ln 5 1 1 i i xt = =  ， 5 1 188 i i it y =   ， 5 2 1 6.2i i t =  ，…………….3分 5 1 5 2 2 2 1 5 188 5 1 32.8ˆ 20 6.2 5 1 5 i i i i i t y t y b t t = =  −  −    = = = −  −   ，……………………..5分 ˆˆ 32.8 20 1 12.8a y bt= − = −  = ，……………………..6分 回归方程为： ˆ 12.8 20lny x= + . …………………….7.分 （2）由题意知： X 所有可能的取值为0,1,2,3，…………………….8.分 ( ) 4 5 4 8 C 5 1 0 C 70 14 P X = = = = ；…………………….9.分 ( ) 1 3 3 5 4 8 C C 30 3 1 C 70 7 P X = = = = ；…………………….10.分 ( ) 2 2 3 5 4 8 C C 30 3 2 C 70 7 P X = = = = ；…………………….11.分 ( ) 3 1 3 5 4 8 C C 5 1 3 C 70 14 P X = = = = ；……………………..12分 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14 ……………………. .13 分 高二下学期第三学程考试 数学学科答案 第 6 / 8 页 数学期望 ( ) 1 3 3 1 3 0 1 2 3 14 7 7 14 2 E X =  +  +  +  = . …………. .15分 18. 【答案】（1）0；（2） 2− ；（3）证明见解析． 【详解】解：（1）当 1a = − 时， ( ) ln 1f x x x= − + + ，定义域为 ( )0,+ ，…..1分 ( ) 1 1 1 x f x x x  − = − + = ， …………………..2分 令 ( ) 0f x  ，得0 1x  ；令 ( ) 0f x  ，得 1x  ．…………………..3分 因此，函数 ( )y f x= 的单调递增区间为 ( )0,1 ，单调递减区间为 ( )1,+ ；………..4分 所以 ( ) ( )max 1 0= =f x f ． …………………5分 （2）令 1 ( ) ( ) '( )= ln 1 ( 0)g x f x f x ax x a x x = − + + − −  ， 2 2 2 1 1 1 ( ) ax x g x a x x x + +  = + + = ， …………………6分 若 0a  ，存在 1 ( ) (e 1) (2 ) 0g e a e = − + −  ，与 ( ) ( ) '( ) 0g x f x f x= −  恒成立矛盾， 所以必有 0a  ，…………………7分 2 1 0(*)ax x+ + = ，方程的 0  ， 1 2 1 0x x a  =  ，所以方程必有一正根记 2x ，…8 分 所以函数 ( )g x 在 2(0, )x 单调递增，在 2( , )x + 单调递减，…………………9分 若满足条件必有 max 2( ) ( ) 0g x g x=  ，注意到 (1) 0g = ． 则有 2 1x = ，代入*式，解得 2a = − ．所以 a 的取值集合为 2− ．………………10分 （3）因为 ( ) lnF x x= ，设两切点为 ( ), lnA t t ， 1 , lnB t t   −    ， 不妨设 A在 B 的右边，则 1t  因为 ( ) 1 F x x  = ， …………………11分 所以 A， B 两点处的切线方程分别为 1 ln 1y x t t = + − ， ln 1y tx t= − − ，…………12分 令 1 ln 1 ln 1x t tx t t + − = − − ，解得 0 2 2 ln 1 t x t t = − ， ( )2 0 2 1 ln 1 1 t t y t + = − − ．………13分 因为 1t  ，所以 0 2 2 ln 0 1 t x t t =  − ， …………………14 分 要证明 ( )2 0 2 1 ln 1 0 1 t t y t + = −  − ， 即证明 ( )2 2 1 ln 1 1 t t t +  − ，因为 2 1t  ，即证 2 2 1 ln 1 t t t −  + ， 设 ( ) ( ) 2 2 1 ln 1 1 t h t t t t − = −  + ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 1 1 t h t t t t −  =   + ，…………………15分 所以 ( )h t 在 ( )1,+ 上是增函数，所以 ( ) ( )1 0h t h = ， …………………16分 则 2 2 1 ln 1 t t t −  + ，所以 ( )2 0 2 1 ln 1 0 1 t t y t + = −  − ， 故点 P 一定落在第一象限． …………………17 分 高二下学期第三学程考试 数学学科答案 第 7 / 8 页 19.【答案】（1） 2 2 1x y− = （2） 3 ( ,1) 4 【小问 1详解】 解：由点 ( )5,2A − 在双曲线 2 2 2 2 : 1 x y C a a − = 上，可得 2 2 5 4 1 a a − = ，……………2分 解得 2 1a = ，…………………3分 所以双曲线C 的方程为 2 2 1x y− = . …………………4分 【小问 2详解】 解：由直线 l 垂直于OA，可得直线 l 的斜率为 1 5 2OA k k = − = ，………………5 设直线 l 的方程为 5 2 y x m= + ，且 1 1 2 2 )( , ), ( ,P x y Q x y ， 联立方程组 2 2 5 2 1 y x m x y  = +   − = ，整理得 2 24 5 4( 1) 0x mx m+ + + = ，…………………6分 因为直线 l 与双曲线C 的右支交于 ,P Q两点， 则 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 Δ 4 5 16( 1) 0 4 5 0 4 1 0 m m x x m x x m  = − +    + = −   = +   ，解得 1 2 m  − ， …………………7分 可得 2 1 2 1 24 5 , 4( 1)x x m x x m+ = − = + ， …………………8分 则 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 1 1 ( ) ( ) 4 2 PQ k x x x x x x= + − = + + − 2 2 2 251 ( ) ( 4 5 ) 4 4( 1) 6 4 1 2 m m m= + − −  + = − ， …………………9分 又由点A 到直线 : 5 2 2 0l x y m− + = 的距离为 2 2 5 5 2 2 2 1 2 9 3( 5) ( 2) m d m −  −  + = = − + − ， …………………10分 所以 2 2 1 4 1 2 9 2 S PQ d m m=  = −  − ，…………………11分 直线 AP 的方程为 1 1 2 2 ( 5) 5 y y x x − − = + + ，令 0x = ，可得 1 1 2 5 ( ) 2 5 M y y x − =  + + ， 直线 AQ的方程为 2 2 2 2 ( 5) 5 y y x x − − = + + ，令 0x = ，可得 2 2 2 5 ( ) 2 5 N y y x − =  + + …………………12分 则 1 2 1 2 1 2 1 2 5 5 2 2 2 2 2 25 5 5 5 5 5 M N x m x m y y MN y y x x x x + − + − − − = − = − = − + + + + 高二下学期第三学程考试 数学学科答案 第 8 / 8 页 ( ) ( )( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 9 ( ) 2 9 ( ) 4 5 5 2 2 5( ) 102 5 5 m x x m x x x x x x x xx x − − − + − = = + + ++ + 2 2 2 2 (2 9) ( 4 5 ) 16( 1) 2 5 4 1 5 2 18( 1) 2 5 ( 4 5 ) 10 m m m m mm m − − − +  − = = −+ +  − + ，…………………13分 所以∆𝐴𝑀𝑁的面积 2 3 5 4 1 2 1 m S m  − = − ，…………………14 分 又由 2 3 31 2 2 2 1 S S SS S S S − = = − ，则 1 2 2 5 5 1 1 1 , (2 1)(2 9) 24 20 9 S m S m m m m = − = −  − − − − + ， …………………15分 令 ( ) 2 2 5 4 20 9 4( ) 16 2 f m m m m= − + = − − ， 可得函数 ( )f m 在 1 ( , ) 2 − − 上单调递减，且 1 ( ) 20 2 f − = ，所以 ( ) 20f m  ，…………………16分 所以 1 2 3 ( ,1) 4 S S  ，即 1 2 S S 的取值范围为 3 ( ,1) 4 . …………………17分