第一章 集合与常用逻辑用语 章末综合题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 一、单选题 1．二元一次方程组 的解集是（    ） A． B． C． D． 2．满足条件的集合的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 3． 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 5．已知集合，，若，则实数a满足（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 7．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 二、多选题 8．下列说法正确的是（ ） A．命题“”的否定是“” B．命题“，”的否定是“，” C．“”是“”的必要条件. D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 9．已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 10．若集合，且，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 11．下列命题是真命题的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，则，中至少有一个大于3 C．，的否定是， D．已知：，，则：， 三、填空题 12．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 13．若命题：，，命题：，，若和都是真命题，则实数的取值范围是 ． 14．“，”是假命题，则实数的取值范围为 . 15．已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数．定义若，则实数a的所有可能取值构成的集合为 ． 四、解答题 16．已知命题，为假命题． (1)求实数a的取值集合A； (2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围． 17．已知集合，，. (1)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 18．集合如果存在一组两两不交的（两个集合交集为空集时，称为不交）非空子集、、…、，满足，则称子集组、、…、构成集合的一个划分．子集组：（），与子集组：（）的并集都是集合． (1)用列举法写出集合． (2)判断其子集组、是否分别是的划分与划分． (3)在子集组、中任取7个子集，求其并集中元素个数的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C C B D C C BD ABC 题号 10 11 答案 ABD AC 1．B 利用代入消元法解二元二次方程组，用集合表示解集即可. 由，所以二元一次方程组 的解集是， 故选：B 2．C 先由可知是的子集，且中必然含有元素，列举即可写出结果. 因为，所以且，所以可能为或，共2个； 故选C 本题主要考查集合间的关系，依题意列举即可，属于基础题型. 3.C 由一元二次方程根与系数的关系求解即可； ∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 故选：C. 4．B 判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案. 对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题； 对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确； 对选项C：，故C为假命题； 对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题. 故选：B 5．D 由并集结果得到，分和讨论，得到实数a的取值范围. 因为，所以，当时，，即，满足题意； 当时，若，则或4，当时，，满足题意；当时，，满足题意； 若，则-2,2是方程的两根，显然，故不合题意， 综上：实数a满足. 故选：D 6．C 题图中的阴影部分是的子集，但该子集中不含集合P中的元素，且该子集包含于集合P的补集，用关系式表示出来即可． 由图知，首先阴影部分是的子集，其次不含集合P中的元素且在集合P的补集中， 可得阴影部分所表示的集合是. 故选：C. 7．C 把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解. 把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合， 选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合， 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， 除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人， 单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人， 单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人， 以上人数最少32人，可作出如下图所示的韦恩图， 所以单选物理、化学的人数至多8人， 所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人. 故选：C.    本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力. 8．BD 根据全称、特称命题的否定判断选项AB； 根据不等式与必要条件的判定判断选项C； 根据充要条件的判定结合一元二次方程根与系数的关系判断选项D. 对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项错误； 对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确； 对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误； 对于D选项，关于x的方程有一正一负根，则，解得，则“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D选项正确. 故选：BD. 9．ABC 求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断． ，若，则，且，故A正确. 时，，故D不正确. 若，则且，解得，故B正确. 当时，，解得或，故C正确. 故选：ABC． 10．ABD 根据子集关系逐项进行判断可得答案. 因为，所以， 因为，所以，，，， 故选：ABD 11．AC 根据充分条件和必要条件的定义即可判断A；举例即可判断B；根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断C；根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断D. 对于A，，所以“”是“”的必要不充分条件，故A是真命题； 对于B，当时，满足，所以B中命题是假命题； 对于C，，的否定为，，所以C是真命题； 对于D，为，，故D是假命题． 故选：AC． 12． 根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解. 因为命题“”是命题“”的充分不必要条件， 所以集合真包含于集合， 又集合，集合， 所以. 故答案为： 13． 根据全称命题与特称命题，结合二次函数的性质，可得答案. 由命题是真命题，根据二次函数的性质，可得； 由命题为真命题，根据二次函数的性质，可得，解得. 综上可得，. 故答案为： 14． 存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围. 由题意可知，“，”的否定是真命题， 即“，”是真命题， 当时，，不等式显然成立， 当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 15． 先由题中条件，得到或，结合方程分别求解，即可得出结果. 因为，，所以或． 当时，或． 当时，关于x的方程有3个实数解， 所以关于x的方程只有一个解且不为1和， 则，解得． 当时，的解为1，不符合题意； 当时，的解为-1，符合题意． 综上，a的所有可能取值为0，1，，即所求集合为． 故答案为：. 16．(1) (2)或 （1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可； （2）根据题意先求得，再分情况求得的范围即可． （1）解：命题的否命题为，为真， 且， 解得． ∴． （2）解：由解得 ， 若“”是“”的必要不充分条件， 则， ∴当时，即， 解得； 当时，， 解得， 综上：或． 17．(1)或. (2)或. （1）由题设有、，讨论、分别判断是否符合题设，并确定的值； （2）由题设有，讨论集合，并利用一元二次方程根与系数关系、判别式求的取值范围. （1）， 因为命题：“，都有”是真命题，所以， 因为， 所以当时，，则，即； 当时，，显然是的真子集. 综上，或. （2）由可得， 当时，，即； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，解得； 综上，的取值范围或. 18．(1)； (2)是； (3)40. （1）根据给定条件，直接写出集合作答. （2）利用给定的定义直接判断作答. （3）按所取7个子集的来源分类求出并集中元素个数作答. （1）依题意，子集组：中的每个数是除以7余数是的前8个正整数，是前8个整除7的正整数， 子集组：中的每个数是除以8余数是的前7个正整数，是前7个整除8的正整数， 所以. （2）由（1）知，是非空集合，且两两不相交， ，所以子集组是的划分； 是非空集合，且两两不相交， ，所以子集组是的划分. （3）， ， ， ， ， ， ， ， 子集组、中任取7个子集，当7个子集来自于子集组时，并集中元素个数是56； 当7个子集来自于子集组时，并集中元素个数是49； 显然中任意一个集合与中任意一个集合有且只有1个公共元素， 当6个子集来自于子集组，1个子集来自于子集组时，并集中元素个数是； 当5个子集来自于子集组，2个子集来自于子集组时，并集中元素个数是； 当4个子集来自于子集组，3个子集来自于子集组时，并集中元素个数是； 当3个子集来自于子集组，4个子集来自于子集组时，并集中元素个数是； 当2个子集来自于子集组，5个子集来自于子集组时，并集中元素个数是； 当1个子集来自于子集组，6个子集来自于子集组时，并集中元素个数是， 所以并集中元素个数的最小值是40，当且仅当子集组取3个，子集组中取4个时取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$