精品解析：山东省青岛市2025-·2026学年高三上学期8月部分学生调研检测数学试题

青岛市2026届高三年级部分学生调研检测 数学试题 2025.08 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数共轭复数在复平面上对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（ ）（参考数据：） A. 68 B. 75 C. 82 D. 95 5. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 10 C. D. 5 6. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的模为 D. 与的夹角为钝角 10. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 对任意正整数， C. 数列一定是等差数列 D. 数列一定是等比数列 11. 设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________． 13. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为______. 14. 如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为__________.（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分.答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润． 参考公式及数据； ，， ，，，， 16. 如图，平面四边形中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求； （2）求内切圆半径的取值范围． 17. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 18. 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P动点. （1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上． （i）证明：平面平面； （ii）求球O的半径 （2）求二面角的余弦值的最小值. 19 给定正整数，已知对，有，，函数. （1）若，求； （2）若，记为所有零点组成的集合，为的子集，它们各有个元素，且. 设，，，且，，证明： （ⅰ）； （ⅱ）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛市2026届高三年级部分学生调研检测 数学试题 2025.08 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别化简两个集合，并进行交集运算. 【详解】因为， 所以，即 故选：B 2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求复数，进而得共轭复数，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以， 则在复平面上对应的点为位于第四象限， 故选：D. 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B 4. 某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（ ）（参考数据：） A. 68 B. 75 C. 82 D. 95 【答案】A 【解析】 【分析】根据参考数据估计出尺寸在内的零件个数的概率，再根据抽出的总数即可求出最终结果. 【详解】∵，即， ∴， ∵质检员随机抽取100个零件， ∴尺寸在内的零件个数约为：个， 故选：A 5. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式即得. 【详解】的展开式的通项为， ， 则含的项的系数是. 故选：A. 6. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用条件，得到，再由，得，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 得到，所以，由，得到， 所以， 故选：C. 7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处， 设球O与母线切于M点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理，所以， 过A作，垂足为G，则，， 所以，所以，所以，所以， 所以该圆台的体积为. 故选：C 8. 已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据赋值法结合充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】先说明充分性：因为，，， 令，得到：，所以， 再令，得到， 所以，充分性成立； 再说明必要性，因为，所以，且， 所以有，必要性成立； 故“，，”是“”的充要条件. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的模为 D. 与的夹角为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】由模长的计算可得A正确；由向量垂直的坐标表示可得B错误；由投影向量的模的计算可得C正确；由向量的夹角公式可得D错误. 【详解】A：由题意可得，故A正确； B：因为， 所以，故B错误； C：在上的投影向量的模为，故C正确； D：与的夹角的余弦为，所以夹角不是钝角，故D错误； 故选：AC. 10. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 对任意正整数， C. 数列一定是等差数列 D. 数列一定是等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，求出，利用等差数列的定义可判断AC选项；利用基本不等式和等比中项的性质可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】设等差数列的公差为，则，所以，. 对于A选项，，所以，为等差数列，A对； 对于B选项，对任意的，，由等比中项的性质可得， 由基本不等式可得，B对； 对于C选项，令， 所以，， 故数列一定是等差数列，C对； 对于D选项，设等比数列的公比为， 当时，， 此时，数列不是等比数列，D错. 故选：ABC. 11. 设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意确定圆心坐标和半径，易知该圆过原点，作出函数在的图象，结合图形分析，即可求解. 【详解】由，得该圆心为，半径为， 易知该圆过原点，由，当时， 得，作出函数的图象，如图， 由图可知，当时，圆与函数的图象有2个交点， 当时，圆与函数的图象有1个交点， 当时，圆与函数的图象有2个交点， 当时，圆与函数的图象有4个交点， 根据圆与函数的对称性，后续交点情况类比即可. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于理解取整函数的定义，利用数形结合的思想分析圆与函数图象交点的个数. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程，求得，再求离心率即可. 【详解】根据题意可知，该双曲线的一条渐近线方程为：，故， 则其离心率为. 故答案为：. 13. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象特征，结合五点法作图列式求出和，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可求解. 【详解】由，可得，又点及附近点从左到右是上升的，则， 由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得， 联立解得，，而，于是，， 若将函数的图象向右平移个单位后，得到， 则，而，因此， 所以当时，取得最小值为. 故答案为：. 14. 如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为__________.（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】设弧的中点为，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆的位置，分析可得弧上的点与圆上的点的最短距离. 【详解】如图， 设弧的中点为，弧所对的圆心角为， 圆的半径，在弧上取两点，则， 分别过点作圆的切线，并交直线于点， 当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线， 则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点， 过点，分别向作垂线，垂足为，则即为圆的半径， 设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度. 在中，， 则， 即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解： 相离的两个圆（圆心分别为和 ,半径分别为和）上的两个动点之间的距离的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润． 参考公式及数据； ，， ，，，， 【答案】（1）适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型 （2） （3）估计2024年的企业利润为93.3亿元 【解析】 【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案； （2）利用最小二乘法求出即可得解； （3）令即可得解. 【小问1详解】 由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型； 【小问2详解】 由题意得：，， ， ， 所以； 【小问3详解】 令，， 估计2024年的企业利润为99.25亿元． 16. 如图，平面四边形中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求； （2）求内切圆半径的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，再利用余弦定理即可求出. （2）先利用余弦定理求出，再结合（1）的结论及三角形的面积公式得到，再根据正弦定理及辅助角公式得到，进而根据正弦函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由，则由正弦定理得， 整理得，所以由余弦定理得， 又，则． 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理得，得， 所以结合（1）得，即，得， 在中，由 由（1）知， 则. 又由正弦定理有， 所以，， 又， 所以 ， 又，则，则， 所以， 所以． 17. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【小问1详解】 由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为； 【小问2详解】 ①证明：设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 18. 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点. （1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上． （i）证明：平面平面； （ii）求球O的半径 （2）求二面角的余弦值的最小值. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）球O的半径为； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）由题设求证，即可由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得证；（ii）建立以A为原点空间直角坐标系， 设球心，半径，由列方程组即可计算求解. （2）过P作于G，在平面中，过G作，设，，以G为原点建立适当的空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量,即可由向量夹角公式，通过换元，利用二次函数的性质即可求得. 【小问1详解】 在中，由，得， 所以，且，即， （i）证明：因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，设球心，半径， 则， 所以， 解得，所以球O的半径为； 【小问2详解】 在平面中，过P作于G，在平面中，过G作， 因平面,则平面. 则由（1）， 设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则， 所以， 设平面一个法向量分别为，则， 即，取，则得； 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为. 【点睛】方法点睛：求空间二面角常用方法： （1）定义法：根据定义作出二面角的平面角； （2）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的两条交线所成的角就是二面角所成角的平面角； （3）向量坐标法：作几何体的空间直角坐标系，求出二面角的法向量，直接由公式计算即可； （4）射影面积法：求出斜面面积和它在有关平面的射影的面积，再由射影面积公式计算求解. 19. 给定正整数，已知对，有，，函数. （1）若，求； （2）若，记为的所有零点组成的集合，为的子集，它们各有个元素，且. 设，，，且，，证明： （ⅰ）； （ⅱ）. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件得到，再根据的定义求和； （2）（ⅰ）构造恰当的函数，并利用导数工具证明的两根之和小于零；（ⅱ）先说明的取值与的选取无关，再利用函数证明相应的不等式. 【小问1详解】 对，由于，， 故是的极小值点，所以. 而，所以，得 故. 【小问2详解】 （ⅰ）对，由于，故对有，对有. 所以在上递减，在上递增. 利用，可将原条件化为. 注意到，故有一个零点，记. 而，故，所以. 又因为， 且，故在上还有一个零点，记为. 从而由的单调性，知恰有两个零点，且. 而为的子集，它们各有个元素，且，故至少有个元素. 而的元素只可能在之中，这表明它们两两不等， 且.所以包含个正数，个负数. 而为子集，它们各有个元素，且， 故和恰好就是中的一对补集，即，. 设包含个负数，个正数，则包含个负数，个正数. 由于，，，. 故，. 从而. 由于，故. 设，则，而对有， 对有，故在上单调递减，上单调递增. 再设，则，且等号只在处取到. 故单调递增，从而， 即.而在上单调递增，故，即. 所以. 故. （ⅱ）不妨设，则根据的单调性有. 从而由有，再根据单调性有. 由于，. 故的值，其实就是在这个数中， 选出对异号的数，再计算每对之间的距离之和. 在数轴上标出这个数后，可认为就是条端点在原点异侧且端点两两不重复的线段长之和， 故相邻两个数之间的线段被计算的次数，恰为该线段两侧的端点数目较少的一侧的端点数目. 这就说明的值和的具体元素的选取无关，而在， 时，有， 所以任何情况下都有. 由的单调性，知对有，故，即. 对，取，得；取， 得，从而. 由于，故由上面的结论知 ，. 所以. 从而由知 . 设，则. 设，则，故对有， 所以在上递增，从而对有. 所以对有，故在上递增， 从而对有. 又由于，故 . 所以，即. 故. 综上，有. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造恰当的函数，并利用导数工具证明相应的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $