专题02 二次根式的性质（专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题02 二次根式的性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二次根式的定义求字母的值 1 题型二、根据二次根式有意义条件求范围 3 题型三、根据二次根式有意义求值 4 题型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 5 题型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 6 题型六、复杂的复合二次根式化简 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据二次根式的定义求字母的值 1.已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 2.若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 4.已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 题型二、根据二次根式有意义条件求范围 5.若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 8.使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 题型三、根据二次根式有意义求值 9.若，则 ． 10.已知为实数，且，则的值为 ． 11.已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 12.已知，则 ． 题型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 13.化简： ． 14.当时，化简： ． 15.已知的三边分别为，化简 ． 16.已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 化简： ． 题型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 17.二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 18.当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 19.已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 20.化简： ． 题型六、复杂的复合二次根式化简 21.阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 22.有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 23.观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 24.像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 一、单选题 1．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若二次根式在实数范围内没有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不能确定 4．若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 5．已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 二、填空题 7．若，则的值为 ． 8．已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 9．已知，则的值为 ． 10．已知，化简二次根式的正确结果是 ． 11．已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为 ． 12．观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 三、解答题 13．已知，求的值． 14．已知x，y，z满足． (1)求x，y，z的值； (2)以x，y，z为边能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 15．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为正整数）， 则有，．这样小明找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ； (2)利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空： ； (3)化简 16．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 17．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 18．阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 19．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 20．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二次根式的定义求字母的值 1 题型二、根据二次根式有意义条件求范围 3 题型三、根据二次根式有意义求值 4 题型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 5 题型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 6 题型六、复杂的复合二次根式化简 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据二次根式的定义求字母的值 1.已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 2.若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 3.已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 4.已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是5． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 题型二、根据二次根式有意义条件求范围 5.若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：． 故选：B． 6.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 故选：C． 7.若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式被开方数必须为非负数，否则二次根式无意义．掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式性质，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：B． 8.使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故选C． 题型三、根据二次根式有意义求值 9.若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 10.已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 11.已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分． 【详解】解：由题意可得：， 则， 则， ， ， 则的小整数部分是2，小数部分是， 故答案为：． 12.已知，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用二次根式有意义的条件进行求解即可； 【详解】解：由题意知：， 解得：， ， ， 故答案为：25； 题型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 13.化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即中，， ∴中，， ∴， 故答案为： ． 14.当时，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由得到，从而将化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 15.已知的三边分别为，化简 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键． 首先根据三角形的三边的关系求得的范围，然后根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：、、5是三角形的三边， ， ，， 原式． 故答案为：4． 16.已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解本题的关键．先根据数轴判断a、b、c的取值范围，利用二次根式、立方根性质化简，判断绝对值里面的数的正负号，去掉绝对值，最后再合并同类项． 【详解】解：由图可知：，且， ， 故答案为：． 题型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 17.二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简． 【详解】∵，， ∴原式， ， 故选：． 18.当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果． 【详解】 解：，与异号， ，， ， 则． 故选：C． 19.已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 20.化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】根据题意有：，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型六、复杂的复合二次根式化简 21.阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 22.有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 23.观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 【答案】(1)， (2)；理由见解析 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用； （1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可； （2）由题意知，，用完全平方公式，再进行比较即可确定m、n与a、b的关系． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）∵， ∴ 即， ∴ 24.像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 一、单选题 1．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 2．若二次根式在实数范围内没有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义，即被开方数为非负数，当二次根式没有意义，则被开方数为负数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内没有意义， ∴ ∴， 故选：C 3．若，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件，是解答本题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，绝对值化简，再合并同类项即可； 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：． 5．已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 二、填空题 7．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式结果的非负性求出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 8．已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 9．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，结合已知条件求得的值是解题的关键．利用二次根式有意义的条件求得的值，然后求得的值，将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 10．已知，化简二次根式的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：由中被开方数总要大于等于0可知， ∵分母， ∴分子，则， 又，则， ∴， 故答案为：． 11．已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了二次根式的性质和奇数的定义．根据奇数的定义得到，则，所以，，根据二次根式的性质化简，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：，是两个连续的正奇数，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 三、解答题 13．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握二次根式有意义的条件，是解题的关键． 先根据被开方数为非负数求出x的值，进而求出y的值，然后代入代数式计算解题． 【详解】解：由已知可得， 解得． 则． ∴． 则． 14．已知x，y，z满足． (1)求x，y，z的值； (2)以x，y，z为边能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了非负数的性质、二次根式的化简和勾股定理的逆定理，熟练掌握上述基本知识是解题的关键； （1）根据非负数的性质结合二次根式的性质求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理计算判断即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得； （2）解：不能构成直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴以x，y，z为边不能构成直角三角形． 15．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为正整数）， 则有，．这样小明找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ； (2)利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空： ； (3)化简 【答案】(1)， (2)13，4，1，2 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键． （1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得到，根据二次根式的性质可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； 故答案为：，． （2）由（1）可得，，，； 故答案为：13，4，1，2． （3）∵， ∴， ∴，， ∵m、n均为正整数， ∴，； ∴ ∴． 16．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键． 17．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）1；（3）． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及绝对值的化简，三角形的三边关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式． （1）根据二次根式被开方数非负的性质回答即可； （2）根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，根据二次根式的性质进行化简计算； （3）根据三角形三边关系确定和的正负性，再对二次根式进行化简计算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3），b，c为的三边长， ，， ，， ． 18．阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解； （2）先利用分母有理化的方法对各式子进行整理，再代入式子化简求解即可； （3）先求出，再计算出，结合，，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2），， ． ． ． ， ， ， 解得：； （3）， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 19．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的运算法则，读懂题意，根据材料中的方法化简双重二次根式． （1）根据材料中的方法，得到且；且，即可将配方成，配方成，进而得出答案； （2）将化成，再根据，，可将配方成，即可得出答案； （3）将化成，再根据材料中的方法，化简得，，然后再代入计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：． （2）解： 因为且， ， ， ． （3）解：， 因为且， ， ， 因为且， ， ， ． 20．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴，则． 【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$