专题03 二次根式的运算（专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题03 二次根式的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的混合运算 1 题型二、二次根式中的分母有理化 4 题型三、二次根式运算中的新定义型问题 8 题型四、二次根式运算中的规律探究问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次根式的混合运算 1.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，根据二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2.计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2)10 【分析】本题考查二次根式混合运算，最简二次根式，同类二次根式，掌握二次根式混合运算法则，最简二次根式，同类二次根式及合并法则是解题关键． （1）先化简为最简二次根式，先计算括号里的，再计算二次根式乘法即可， （2）先计算二次根式的乘法、化简绝对值和立方根，然后再算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3.化简． (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用平方差公式进行计算即可求解； （）先化简，再合并同类二次根式即可； （）先化简，再合并同类二次根式即可； （）先化简，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， ； （4）解：原式 ， ． 4.计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先利用幂的乘方及积的乘方逆用法则计算，零指数幂，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算立方根，分母有理化，负整数幂，化简绝对值，再加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型二、二次根式中的分母有理化 5.[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题是材料阅读题，考查了二次根式的混合运算，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应用． （1）根据阅读材料提供的方法即可完成； （2）对每一项用阅读材料中提供的方法化简再相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 6.阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵，∴，∴，∴． ∴． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可； （2）先将化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 则， ∴ 则， ∴， 7.阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 8.阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 【答案】(1)①； ② (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可． （1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可． （2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可． 【详解】（1）解：①， ② （2） 题型三、二次根式运算中的新定义型问题 9.定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 10.对于任意的正数，定义运算为：. (1)计算的结果； (2)计算的结果. 【答案】(1)； (2)2； 【分析】本题考查新运算及根式的混合运算： （1）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案； （2）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由题意可得， ，， ∴． 11.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，4和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是2，和，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． (2)若Rt是奇异三角形，直角边的长为a，b（），斜边长为c，写出a和b的等量关系式． 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析 (2) 【分析】考查了直角三角形的性质、勾股定理； （1）根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． （2）由勾股定理得出①，由是奇异三角形，且，得出②，由①②得出，即可得出结论． 熟练掌握奇异三角形的定义、勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形；理由如下： ， 是奇异三角形， （2）中，， ， ， ，， 是奇异三角形， ， ， ， ， 12．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)和 (2) (3) (4)6或 【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （3）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （4）根据新定义，列方程或，解方程进而得出结论． 【详解】（1）解：， 有序数对的一对“对称数对”是和， 故答案为：和； （2）解：有序数对的一对“对称数对”相同， ， ， 故答案为：； （3）解：有序数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：； （4）解：有序数对的一个“对称数对”是， 或， 或， 或． 即的值为6或． 题型四、二次根式运算中的规律探究问题 13.先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： （2）第n个式子为：； （3） ． 14.观察下列各个等式： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； …… 按以上等式规律，解决下面的问题： (1)写出第⑤个等式： ． (2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． （1）根据题目提供的规律写出答案即可； （2）根据题目中的规律得到答案，再利用二次根式的性质进行计算证明即可． 【详解】（1）根据题意： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； 则第⑤个等式： 故答案为： （2） 故答案为： 证明如下： 左边 ∵n为大于或等于1的整数， ∴ ∴左边右边. 成立. 15.观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1） 验证： ； （2）． 验证： ． 16.观察下列各式并解答问题： ；；…… (1)计算：； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 【答案】(1) (2)（n为正整数） 【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简， （1）总结规律，按规律解答； （2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论． 【详解】（1）解：∵； ； ， …… ∴； （2）解：根据（1）得到， 证明： ． 一、单选题 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减乘除及乘法公式的应用．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：中，与不是同类二次根式，无法合并，结果应为，故错误． 选项B：，而非，故错误． 选项C：利用平方差公式，，结果应为，故错误． 选项D：将除法分配至每一项：结果与选项一致，故正确． 故选：D． 2．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于新定义运算，二次根式混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 【详解】解： 故选：D． 3．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可． 【详解】解：若是“最美实数”， 则有或， 若，解得， 若，解得， 综上，a的值为或， 故选：D． 4．先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 【答案】C 【分析】此题考查了分母有理化，由题意得出规律，再根据得出的规律将原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵；；， ∴得出规律， ∴ ， 故选：C． 5．我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，新定义，按照新定义，逐一判断即可，能理解题意熟练计算解此题的关键． 【详解】解：A、，故2025与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； B、，故与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； C、， ， ， 与不是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； D、， ， ， 故与不一定是关于1的平衡数，故该说法符合题意， 故选：D． 二、填空题 6．计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，再计算加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．若规定，，则 ， 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二次根式的混合运算；根据新定义运算法则先列式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，． 8．观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律： ． ；；； 【答案】（，且为整数）． 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，掌握算术平方根的定义是关键． 根据算术平方根的定义和数字的变化规律进行计算． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ∴． 故答案为：（，且为整数）． 9．如图，在中，，，记为第①个直角三角形，以斜边为长直角边，为短直角边作第②个；再以斜边为长直角边，为短直角边作第③个；……依此规律，第⑳个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，根据勾股定理求出，依次类推即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理，得：， ， ∴第⑳个直角三角形的斜边长为； 故答案为：． 10．定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可． 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵， ∴ 故答案为：7． 三、解答题 11．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先算平方差公式，完全平方公式，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质与化简，注意运算顺序和符号处理是解题的关键． （1）将每一个二次根式化为最简二次根式，再去括号，最后合并被开方数相同的项即可； （2）先将每个二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的除法运算，最后合并被开方数相同的项即可． 【详解】（1）， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 13．定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 14．对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 15．观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)请直接写出第5个等式：______（不用化简）； (2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（为正整数），并证明等式成立； (3)利用（2）的结论计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、规律型数字的变化美，解决本题的关键是根据示例发现规律写出式子． （1）根据示例，可得第5个等式：不用化简； （2）； （3）利用（2）的结论，将数据代入计算即可． 【详解】（1）解：第5个等式是：不用化简， 故答案为：； （2）第n个等式为正整数为：， 证明：因为n为正整数， 所以有： ； （3） ． 16．学习二次根式时，小昆发现一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的变化，竟然可以“跑”到根号的外面，好像“穿墙”，数字2称为“穿墙数”．类似的“穿墙”现象还有许多，例如：等． (1)根据上述规律，__________； (2)请你用一个正整数（为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式__________（不需要证明）； (3)按此规律，若（为正整数），求的值． 【答案】(1) (2) (3)71 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律，进行计算即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，证明如下： ； 故答案为：； （3）解：由条件可知， ∴， ∴． 17．先阅读，后解答： ． 在上述解题过程中，与相乘，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化： ①______；②______； ③______；④______； (3)类比（2）中④的计算结果，计算：． 【答案】(1)； (2)①；②；③；④ (3)44 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据分母有理化的定义即可得到答案； （2）按照分母有理化的方法进行计算即可； （3）把每个式子分别进行有理化，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是；的有理化因式是； 故答案为：；． （2）①； ②； ③； ④． （3） ． 18．【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 【答案】 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①，验证见解析；② 【分析】本题考查了实数的规律题． [观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案； [归纳•猜想]由已知等式总结规律即可； [应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可； ②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可． 【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 19．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)的有理化因式是_______，分母有理化得_______； (2)比较大小：_______（用“＜”“＞”或“＝”填空）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的应用，平方差公式，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）按照题干中的步骤进行有理化因式，分母有理化即可求解． （2）将和分母有理化，即可比较大小． （3）将原式分母有理化，化简就可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴分母有理化得， 故答案为：，； （2）解：∵，， 又， ∴， 故答案为：． （3）解：将分母有理化，可得 原式 ． 20．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可； （）分母有理化即可得答案； （）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可； 本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化． 【详解】（1）解：因为， 所以， 故答案为：； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：原式 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的混合运算 1 题型二、二次根式中的分母有理化 4 题型三、二次根式运算中的新定义型问题 8 题型四、二次根式运算中的规律探究问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次根式的混合运算 1.计算： (1)； (2)． 2.计算： (1)； (2)． 3.化简． (1)； (2) (3) (4) 4.计算： (1) (2) 题型二、二次根式中的分母有理化 5.[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 6.阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵，∴，∴，∴． ∴． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 7.阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 8.阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 题型三、二次根式运算中的新定义型问题 9.定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 10.对于任意的正数，定义运算为：. (1)计算的结果； (2)计算的结果. 11.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，4和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是2，和，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． (2)若Rt是奇异三角形，直角边的长为a，b（），斜边长为c，写出a和b的等量关系式． 12．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 题型四、二次根式运算中的规律探究问题 13.先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 14.观察下列各个等式： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； …… 按以上等式规律，解决下面的问题： (1)写出第⑤个等式： ． (2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性． 15.观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 16.观察下列各式并解答问题： ；；…… (1)计算：； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 一、单选题 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 3．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 4．先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 5．我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 二、填空题 6．计算的结果等于 ． 7．若规定，，则 ， 8．观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律： ． ；；； 9．如图，在中，，，记为第①个直角三角形，以斜边为长直角边，为短直角边作第②个；再以斜边为长直角边，为短直角边作第③个；……依此规律，第⑳个直角三角形的斜边长为 ． 10．定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ． 三、解答题 11．计算： (1) (2)． 12．计算题 (1) (2) 13．定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 14．对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 15．观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)请直接写出第5个等式：______（不用化简）； (2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（为正整数），并证明等式成立； (3)利用（2）的结论计算：． 16．学习二次根式时，小昆发现一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的变化，竟然可以“跑”到根号的外面，好像“穿墙”，数字2称为“穿墙数”．类似的“穿墙”现象还有许多，例如：等． (1)根据上述规律，__________； (2)请你用一个正整数（为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式__________（不需要证明）； (3)按此规律，若（为正整数），求的值． 17．先阅读，后解答： ． 在上述解题过程中，与相乘，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化： ①______；②______； ③______；④______； (3)类比（2）中④的计算结果，计算：． 18．【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 19．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)的有理化因式是_______，分母有理化得_______； (2)比较大小：_______（用“＜”“＞”或“＝”填空）； (3)计算：． 20．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$