6.2黄金分割教案 2024-2025学年苏科版数学九年级下册

该教案聚焦黄金分割、黄金比及黄金矩形核心知识点，通过上海东方明珠电视塔、芭蕾舞演员身体比例等实例导入，引导学生度量计算线段比值发现规律，衔接线段比与成比例线段知识，搭建生活到数学的学习支架。 特色在于以生活实例培养数学眼光观察现实世界，通过方程推导黄金比发展数学思维中的推理意识，丰富例题练习（如建筑设计、五角星图案）强化数学语言表达应用意识，助力学生建立数学与生活联系，为教师提供结构完整、实例丰富的教学支持。

淮安市北京路中学九年级下学期数学教案 6.2黄金分割 教学目标： 1．通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割、黄金比和黄金矩形的意义； 2．在实际应用中进一步理解线段的比和成比例线段，体会数学与生活的联系； 教学重点：了解黄金分割的意义，并能作出线段的黄金分割点． 教学难点：会用线段的黄金分割来解决一些实际问题． 教学过程： 一、创设情境： 上海东方明珠电视塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽，现请你度量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB的比值． 芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感．请你量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB的比值． 通过计算，你有何发现？ 二、探究新知： 如图，点B在线段AC上，且．设AC＝1，求AB的长． 解：设AB＝x，则BC＝AC－AB＝1－x． 由，得，即． 解这个方程，得 ，（不合题意，舍去） ． 于是，AB的长为． 像上图那样，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割（golden section），点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC（或BC与AB）的比值称为黄金比．在计算中，通常取它的近似值0.618． 三、典型例题： 例1 已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，AB＝100cm，求BC的长度. 例2如图，点B在线段AC上（AB＞BC），若AB＝2，BC＝a－1，则当a为何值时，点B是线段AC的黄金分割点？ 四、课堂练习 1．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ） 第1题 第2题 A． B． C． D． 2．如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（    ） A．和之间 B． 和之间 C．和之间 D． 和之间 4．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 5．两千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中广泛应用，若舞台长，主持人从舞台一侧进入，走到舞台的黄金分割点处，设，则满足的方程是（   ） 第5题 第6题 A． B． C． D． 6．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 7．如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A． B． C． D． 8．已知点是线段的黄金分割点，，已知，则 ． 9．已知线段a，b，c满足a：b：=3：2：4且，将线段b按黄金分割比例分为两条线段，则较长线段的长度为 ． 10．如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为 ．（结果用表示） 第10题 第11题 11．如图，古琴，又称“琴”“瑶琴”“玉琴”“绿绮”或“丝桐”是中国传统拨弦乐器，有三千年以上的历史，琴上的一根弦长，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则、之间的距离 ． 12．顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 13．如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以， 为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则 ． 14．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为 米． 第12题 第13题 第14题 15．鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 第15题 第16题 第17题 16．如图，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形以此类推，第2025个黄金三角形的周长 17．矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的面积为 ． 18．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2) 如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留 作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 五、课堂小结： 板书设计： 教学反思： 学科网（北京）股份有限公司 $$