专题6.2 黄金分割（4大知识点9类题型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题6.2 黄金分割（4大知识点9类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】黄金分割 黄金分割：如图，将一条线段AB分割成长短两条线段AP、BP(AP>BP),若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比,即,（此时线段AP是线段PB，AB的比例中项)，经计算，这一比值等于则称这种分割叫黄金分割，点P 点P叫做线段AB的黄金分割点，称为黄金分割比，特别注意一条线段的黄金分割点有两个. 【要点说明】 （1）黄金三角形：在等腰三角形中，底和腰（或腰和底）之比为的等腰三角形称为黄金三角形； （2）黄金矩形：在矩形中，宽和长之比为 的矩形称为黄金矩形。 【知识点2】由平行线判断成线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 【知识点3】平行线分线段成比例定理的推论 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例. 【知识点4】“A型图模型”与“8字型图模型” 考点与题型目录 【考点一】黄金分割 【题型1】黄金分割的辨析......................................................3 【题型2】利用黄金分割点求线段长..............................................3 【题型3】求黄金分割点或证明..................................................4 【考点二】由平行判断线段成比例 【题型4】利用平行判断线段成比例求线段的长....................................5 【题型5】利用平行判断线段成比例求比值........................................6 【题型6】构造“A字模型”或“8字模型”求线段长或比值 ........................6 【题型7】通过平行判断线段成比例“中间比搭桥”求线段长或比值..................7 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考............................................................8 【题型9】拓展延伸............................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】黄金分割的辨析 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【变式1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP﹥PB，则下列命题，①AB2=AP•PB，②AP2=PB•AB，③BP2=AP•AB，④AP：AB=PB：AP，其中正确的是 （填序号）． 【题型2】利用黄金分割点求线段长 【例2】（22-23八年级下·江苏苏州·期末）已知线段，点是线段的黄金分割点（），    (1)求线段的长； (2)以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，点把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金“右割”点．根据图形不难发现，线段上另有一点把线段分成两条线段和，若，则称点是线段的黄金“左割”点．若，则 ． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如果一个矩形中，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形中，，分别为边上的点，若为黄金矩形，则 ． 【题型3】求黄金分割点或证明 【例3】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）； ①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P． （2）求证：点P是线段的黄金分割点． 【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·期末）在学习“黄金分割”时，某同学采用下列方法作线段的一个黄金分割点C：如图，过线段的端点B作，使；连接，在上截取，在上截取，则点C即为所求．你认为他的作图是否正确？ （填“正确”或“不正确”） 【变式2】如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 【题型4】利用平行判断线段成比例求线段的长 【例4】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 【变式1】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【变式2】（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 【题型5】利用平行判断线段成比例求比值 【例5】（23-24九年级上·江西萍乡·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，且．若，求的值． 【变式1】（2023·河南商丘·模拟预测）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    【题型6】构造“A字模型”或“8字模型”求线段长或比值 【例6】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． 【变式1】（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，在中，D为的中点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，若点F恰好为的中点，，则 ． 【题型7】通过平行判断线段成比例“中间比搭桥”求线段长或比值 【例7】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：； (2)求证：． 【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在的双曲线上．点的对应点分别是点．若点为的中点，且，则的值为 ． 【例2】（2020·山东东营·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，交轴于点(点在点左侧)，连接直线与轴交于点与上方的抛物线交于点与交于点．   （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9】拓展延伸 【例1】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，D为上一点，以为直径的经过点C，交于点E，且，为的直径，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的直径． 【例2】（2021·辽宁沈阳·二模）已知：四边形，点在直线上，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在直线上，直线交直线于点． （1）如图①，当四边形为矩形时， ①求证：； ②若，，求线段的长； （2） 如图②，当四边形为平行四边形时，若，直接写出此时的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 黄金分割（4大知识点9类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】黄金分割 黄金分割：如图，将一条线段AB分割成长短两条线段AP、BP(AP>BP),若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比,即,（此时线段AP是线段PB，AB的比例中项)，经计算，这一比值等于则称这种分割叫黄金分割，点P 点P叫做线段AB的黄金分割点，称为黄金分割比，特别注意一条线段的黄金分割点有两个. 【要点说明】 （1）黄金三角形：在等腰三角形中，底和腰（或腰和底）之比为的等腰三角形称为黄金三角形； （2）黄金矩形：在矩形中，宽和长之比为 的矩形称为黄金矩形。 【知识点2】由平行线判断成线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 【知识点3】平行线判断线段成比例的推论 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例. 【知识点4】“A型图模型”与“8字型图模型” 考点与题型目录 【考点一】黄金分割 【题型1】黄金分割的辨析......................................................3 【题型2】利用黄金分割点求线段长..............................................4 【题型3】求黄金分割点或证明..................................................6 【考点二】由平行判断线段成比例 【题型4】利用平行判断线段成比例求线段的长....................................9 【题型5】利用平行判断线段成比例求比值.......................................11 【题型6】构造“A字模型”或“8字模型”求线段长或比值 .......................13 【题型7】通过平行判断线段成比例“中间比搭桥”求线段长或比值.................15 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考...........................................................19 【题型9】拓展延伸...........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】黄金分割的辨析 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割点的定义得，，，即可得出结论． 解：点是线段的黄金分割点，且， ，，， 故答案为：①③④． 【变式1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴A正确，B，C，D不正确． 故选：A． 【变式2】如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP﹥PB，则下列命题，①AB2=AP•PB，②AP2=PB•AB，③BP2=AP•AB，④AP：AB=PB：AP，其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④． 解：试题分析：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB， ∴根据线段黄金分割的定义得：AP2=PB•AB，AP：AB=PB：AP． 故答案为②④． 考点：黄金分割． 【题型2】利用黄金分割点求线段长 【例2】（22-23八年级下·江苏苏州·期末）已知线段，点是线段的黄金分割点（），    (1)求线段的长； (2)以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据黄金分割点的定义得出； （2）根据角平分线的性质得出P到、的距离相等，可得出，求出，即可得出答案． 解：（1）∵点是线段的黄金分割点（）， ∴； （2）∵平分， ∴P到、的距离相等， ∴， 又由（1）， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查黄金分割点的定义，角平分线的性质等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用． 【变式1】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，点把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金“右割”点．根据图形不难发现，线段上另有一点把线段分成两条线段和，若，则称点是线段的黄金“左割”点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是理解题意，由题意可得：，将，，，代入可得，即可求解． 解：由题意可得：， ，，， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如果一个矩形中，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形中，，分别为边上的点，若为黄金矩形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割定理，矩形的性质，由四边形为黄金矩形，则，求出，，则，然后由矩形的性质和线段和差即可求解，掌握黄金分割定理是解题的关键． 解：∵四边形为黄金矩形， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵四边形和为矩形， ∴，， ∴，即， 故答案为：． 【题型3】求黄金分割点或证明 【例3】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）； ①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P． （2）求证：点P是线段的黄金分割点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】此题考查了基本作图、勾股定理、黄金分割点等知识． （1）按照作图步骤作出图形即可； （2）设长为x，则长为，勾股定理求出则，则，得到，则，即可证明结论． 解：（1）如图，即为所求， （2）证明：设长为x，则长为， ， ． ， ， ， ， 即点P是线段的黄金分割点． 【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·期末）在学习“黄金分割”时，某同学采用下列方法作线段的一个黄金分割点C：如图，过线段的端点B作，使；连接，在上截取，在上截取，则点C即为所求．你认为他的作图是否正确？ （填“正确”或“不正确”） 【答案】正确 【分析】设，则，利用勾股定理求出，则，即可求出，据此即可得到答案． 解：设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴点C是的黄金分割点， 故答案为：正确． 【点拨】本题主要考查了勾股定理和黄金分割，熟知黄金分割比为是解题的关键． 【变式2】如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念． （1）要求的长，只需求得的长，又，，则； （2）根据（1）所求分别求出的值即可证明结论； （3）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是的黄金分割点． 解：（1）在中，，由勾股定理知： ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴； （3）∵， ∴点M是的黄金分割点． 【题型4】利用平行判断线段成比例求线段的长 【例4】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1); (2); 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． （1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算； （2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算． 解：（1）， ， ，，， ， 解得； （2），， . ， ， 解得． 【变式1】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可． 解：∵， ∴ ∴, 解得， 故选：B． 【变式2】（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理，可得，即，求解即可． 解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：， 即点在数轴上表示的数为4， 故答案为：4． 【题型5】利用平行判断线段成比例求比值 【例5】（23-24九年级上·江西萍乡·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，且．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由平行线分线段成比例可求，，即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2023·河南商丘·模拟预测）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的值． 解：∵， ， ． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再进行变形，即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6】构造“A字模型”或“8字模型”求线段长或比值 【例6】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． 【分析】本题考查平行线分线段成比例的推论，过点作，交于点，中，根据，可得，得出．中，根据，可得，等量代换可得． 证明：如图，过点作，交于点． ∵是的中线， ∴， ∵中，， ∴， ∴． ∵中，， ∴， 即， ∴． 【变式1】（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键．过点作交于点，利用，得，再利用平行线分线段成比例可得，再利用比例的性质即可求解． 解：过点作交于点，如图， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，在中，D为的中点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，若点F恰好为的中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，线段中点的含义，如图，过作，证明与，从而可得答案，熟记平行线分线段成比例是解本题的关键． 解：如图，过作， ∴， ∵为的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点，即， ∴， ∴， 故答案为： 【题型7】通过平行判断线段成比例“中间比搭桥”求线段长或比值 【例7】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：； (2)求证：． 【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． （1）证明：由菱形可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质逐项验证即可得到答案． 解：A、，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 与的关系不确定， 不正确，不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 不正确，不符合题意； C、， ， ， ， ， 正确，符合题意； D、 ， 由可得， 与的关系不确定， 不正确，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 【变式2】（17-18九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在的双曲线上．点的对应点分别是点．若点为的中点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】先利用轴对称和中点的定义，确定EG和EO之间的关系，再利用平行线分线段成比例定理及推论，得到FG和OD之间的关系，设EG=x，FG=y，用它们表示出D点坐标，接着得到B点坐标，利用，得到，再利用反比例函数的定义，计算出B点横纵坐标的积，即为所求k的值． 解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE=GA，CG=OG，BC=OD， ∵点为的中点， ∴AE=OA， ∴, ∵MN∥y轴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， 设EG=x，FG=y，则OG=3x，OD=4y， ∴， 因为D点和B点关于MN对称， ∴ ∵， ∴ ∴, ∵点恰好落在的双曲线上， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、平行线分线段成比例定理的推论、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 【例2】（2020·山东东营·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，交轴于点(点在点左侧)，连接直线与轴交于点与上方的抛物线交于点与交于点．   （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，当时，有最大值且最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）直接将代入求出a，即可确定抛物线解析式；然后令y=0求得x的值，再结合已知即可确定A、B的坐标； （2）作轴，交于点，由平行线等分线段定理可得；再根据题意求出D点坐标和CD的长，可得；然后再根据B、C的坐标求出直线BC的解析式；再设，则，运用两点间距离公式求得EG，然后再代入，根据二次函数的性质即可说明 解：把代入，即，解得 ∴抛物线的解析式为 令 可得: ∴； 存在， 如图，由题意，点在轴的右侧，作轴，交于点    直线与轴交于点 ∴， 设所在直线的解析式为， 将代入上述解析式得： 解得: 的解析式为 设 则，其中. ∴抛物线开口方向朝下 ∴当时，有最大值，最大值为. 将t=2代入=-2+3+2=3 ∴点的坐标为． 【点拨】本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、平行线等分线段定理以及运用二次函数的性质求最值，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键． 【题型9】拓展延伸 【例1】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，D为上一点，以为直径的经过点C，交于点E，且，为的直径，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的直径． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）想办法证明AD∥FG，AF∥BC即可解决问题． （2）首先证明AF=CD=DG，推出BG：DG=2：3，利用平行线分线段成比例定理求出AE，AC，利用勾股定理求出BC，CD即可解决问题． 解：（1）证明：连接． ， ， ， 是直径， ， ， ， ，是直径， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ． 的直径为． 【点拨】本题考查圆周角定理，平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【例2】（2021·辽宁沈阳·二模）已知：四边形，点在直线上，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在直线上，直线交直线于点． （1）如图①，当四边形为矩形时， ①求证：； ②若，，求线段的长； （2） 如图②，当四边形为平行四边形时，若，直接写出此时的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）或3 【分析】（1）①欲证明，只要证明． ②想办法求出，，利用勾股定理求解即可． （2）如图②中，延长交的延长线于．设，，则，，，由，推出，可得，，，推出，设，，则，推出，由此即可解决问题．当点E在BC的延长线上时，同法可求． 解：（1）①证明：如图①中， 四边形是平行四边形， ， ， 由翻折的性质可知，， ， ． ②四边形是矩形， ， ，， ， ， 由翻折的性质可知，， ， ， ， ． （2）如图②中，延长交的延长线于． 设，，则，，， ， ， ，， ，， ， ， 设，，则， ， ， ． 当点E在BC的延长线上时，同法可得， 综上所述，的值为或3． 【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$